Карта сайта

Это автоматически сохраненная страница от 07.01.2013. Оригинал был здесь: http://2ch.hk/b/res/41216234.html
Сайт a2ch.ru не связан с авторами и содержимым страницы
жалоба / abuse: admin@a2ch.ru

Пнд 07 Янв 2013 02:50:14
Доброаноны, прошу, помогите на подарок брату. Очень хочу подарить ему http://www.ozon.ru/context/detail/id/4915654/ Не хватает 250р. Просить, кроме вас, мне больше не кого. Очень вас прошу. wmr r297035297121


Пнд 07 Янв 2013 02:51:56
>>41216234
запили пак с этим котом

Пнд 07 Янв 2013 02:56:25
>>41216497
Их не так много, лучше сюда попощу

Пнд 07 Янв 2013 02:56:57
>>41216564
ок. скажи как закончишь, я схороню

Пнд 07 Янв 2013 02:57:36
>>41216604
Анон, больше нет. Буду рад если у кого есть ещё такие комиксы. Накидайте в тред.

Пнд 07 Янв 2013 03:03:31
http://sagoth.io.ua/album150541

Пнд 07 Янв 2013 03:05:55
>>41216910
ебать нахуй 130 файлов я же охуею качать по одной

Пнд 07 Янв 2013 03:06:46
>>41216910
Спасибо

Пнд 07 Янв 2013 03:25:52
>>41218163
только не говори что ты и правда думал что тебе закинут хоть рубль

Пнд 07 Янв 2013 03:26:44
>>41218208
Надеюсь на это

Пнд 07 Янв 2013 03:27:13
>>41218261
хдд проиграл с тебя лолка

Пнд 07 Янв 2013 03:28:23
>>41218279
С тобой никто не играл

Пнд 07 Янв 2013 03:29:56
>>41218339
я не буду постить уилиса, хер тебе

Пнд 07 Янв 2013 03:31:14
>>41216234
Ааааа, блядь! Вы опять начинаете неделю попрошайка - тредов?!

Пнд 07 Янв 2013 03:32:04
>>41218421
Так и быть. Я сам запощу

Пнд 07 Янв 2013 03:33:06
>>41218339
Я с ним играл

Пнд 07 Янв 2013 03:33:22
ОПчик, на озоне постоянно всякие акции проходят, ты гуглил промокоды/скидки и т.д.?

Пнд 07 Янв 2013 03:34:09
>>41218597
So close

Пнд 07 Янв 2013 03:35:00
>>41218607
Нет, там сказанно что и так скидка 200р почти

Пнд 07 Янв 2013 03:36:28
>>41216234
Представляю реакцию его брата: " Гы-гы, епта, а че эт за хуйня? Я, блядь, костет хотел."

Пнд 07 Янв 2013 03:40:06
>>41218809
А я разве петросянил тут? Я написал горькую правду, ожидающую ОПа, ну может немного приукрасил.

Пнд 07 Янв 2013 03:42:17
>>41218947 ты ошибаешься

Пнд 07 Янв 2013 03:47:33
>>41219057
Может он тебе и не скажет, но ему будет плевать на твою книгу.

Пнд 07 Янв 2013 03:49:52
>>41219303
Откуда такая уверенность?

Пнд 07 Янв 2013 03:52:20
>>41216234
НЕ ВЕРЬТЕ ЭТОМУ ПИДОРАСУ!ОН ЭТИ ДЕНЬГИ ПОТРАТИ СЕБЕ НА РОЛЛТОН!ПОШОЛ НА ХУЙ НИЩЩЕБРОД, БОРДА ДЛЯ УСПЕШНЫХ ЛЮДЕЙ!РАКА ЯИЦ ТЕБЕ ПИЗДАБЛЯСКИЙ АБОРТНЫЙ ВЫРЫГ ОБОССАНОЙ ДОХЛОЙ СОБАКИ!

Пнд 07 Янв 2013 03:53:08
>>41219536
Сажу забыл, говноед

Пнд 07 Янв 2013 03:53:53
>>41219415
Лишь предположение, но у кого сегодня книга вызовет радость? Только у человека, коллекционирующего их. Твой брат поставит ее на полку, не прочитав.

Пнд 07 Янв 2013 03:54:26
>>41219536
ВНЕЗАПНО

Пнд 07 Янв 2013 03:55:31
>>41219581
>сажа с картинкой

Пнд 07 Янв 2013 03:55:36
>>41219621
Ты не читаешь?

Пнд 07 Янв 2013 03:57:09
>>41219581
САЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИСАЖИ
теперь, не забыл

Пнд 07 Янв 2013 03:57:14
>>41219718
Sage самый действенный способ показать своё недовольство тредом. Я бы всё равно потом бампнул

Пнд 07 Янв 2013 03:57:30
>>41219725
никто не читает, анон
а тема про "кто не читает тот быдло" для таких лопухов как ты

Пнд 07 Янв 2013 03:57:38
>>41216234
А остальные шесть - пусть сам покупает? Нахуй надо вообще говно такое дарить?

Пнд 07 Янв 2013 03:57:52
>>41219815
Молодец. Скрой и иди спать

Пнд 07 Янв 2013 03:58:44
>>41219725
Я книги сам себе покупаю, но читаю в основном с читалки. Я бы не сильно обрадовался если бы мне подарили книгу, ведь люди не могут идеально знать мои вкусы.

Пнд 07 Янв 2013 03:59:01
>>41219833
Я не говорю про быдло. Но поверь мне - читают многие

Пнд 07 Янв 2013 03:59:20
>>41219856
Нет, я лучше еще посагаю

Пнд 07 Янв 2013 03:59:58
>>41219925
Опять сажу забыл

Пнд 07 Янв 2013 04:00:20
>>41219969
Ан, нет не забыл

Пнд 07 Янв 2013 04:00:45
>>41219898
Я знаю своего брата. Его интересует всякая такая изотерика, философия.

Пнд 07 Янв 2013 04:00:56
>>41219925
Зачем? Сажей ты не опустишь тред, а лишь не поднимешь его, ньюфаг.

Пнд 07 Янв 2013 04:01:29
>>41219989
Ты такой смешной

Пнд 07 Янв 2013 04:01:42
>>41220010
Ну как знаешь.

Пнд 07 Янв 2013 04:01:57
>>41219989
Кстати, ты обосрался с запятой.

Пнд 07 Янв 2013 04:02:54
>>41219820
Wut? Что ты несешь? Зачем сначала сагать, а потом бампать тред?

Пнд 07 Янв 2013 04:04:07
>>41220126
Я ОП. Сагал не я.

Пнд 07 Янв 2013 04:05:37
>>41220048
Антона, прошу, пожертвуйте на лечение ОП
R423634144836

Пнд 07 Янв 2013 04:06:31
>>41220188
Я, блядь, понял, что ты не сагал. Нахуя ОПу сагать свой тред.

Пнд 07 Янв 2013 04:07:29
>>41220271
Будапешт не лечится.

Пнд 07 Янв 2013 04:08:11
>>41220323
Тогда я тебя не понял, в чём ты меня не понял.

Пнд 07 Янв 2013 04:08:16
>>41220323
Я, же говорю больной человек!

Пнд 07 Янв 2013 04:12:24
>>41220271
Блять,промахнулся
[spoile]Не спал два дня[/spoiler]

Пнд 07 Янв 2013 04:12:56
>>41220422
Так, я возмутился по поводу того, что кто-то саганул с картинкой, потом кто-то написал что сага с картинкой является способом возмутиться в треде, ну наверно для говноедов, и потом после саги он еще и бампанет тред. Вот тут я и написал зачем бампать тред и одновременно его сагать. А потом ОП написал, что он не сагал тред, а я написал, что это очевидно.

Пнд 07 Янв 2013 04:14:04
>>41220634
Ну,на хуй, вот тебе еще сажи говноед и я иду спать

Пнд 07 Янв 2013 04:14:22
>>41220730
Пиздуй

Пнд 07 Янв 2013 04:15:11
>>41220658
Нет, вернее я возмутился по поводу того, что кто-то кому-то написал, что он пишет без саги, хотя у того стояла картинка, вот.

Пнд 07 Янв 2013 04:15:48
>>41220658
Ты меня запутал вконец.

Пнд 07 Янв 2013 04:16:10
Тригонометри±ческие фу±нкции элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

синус (sin x)
косинус (cos x)

производные тригонометрические функции

тангенс (tg x)
котангенс (ctg x)

другие тригонометрические функции

секанс (sec x)
косеканс (cosec x)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках apn + p/2, а котангенс и косеканс в точках apn.

Пнд 07 Янв 2013 04:16:35
еометрическое определение
Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок).

Синусом называется отношение \sin\alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом называется отношение \cos\alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс определяется как \operatorname{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс определяется как \operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс определяется как \sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс определяется как \operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.

Рис. 3
Численные значения тригонометрических функций угла \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если a вещественное число, то синусом a в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна a, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Пнд 07 Янв 2013 04:16:58
Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB треугольник с углом a. Тогда:

Синусом угла a называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Косинусом угла a называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
Тангенсом угла a называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Котангенсом угла a называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Секансом угла a называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
Косекансом угла a называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Пнд 07 Янв 2013 04:17:14
>>41220792 пояснение написал.

Пнд 07 Янв 2013 04:17:24
Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

с начальными условиями \cos\left(0\right) = \sin '\left(0\right) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,
\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right.
Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны±х рядов:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, \operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x} и \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, можно найти разложения в ряд

Пнд 07 Янв 2013 04:17:31
>>41220658
Сажа с пикче не учитывается,вот и все дела
тот-который-пошол-спать-кун

Пнд 07 Янв 2013 04:17:37
>>41220892
Хули ты спать не ушёл?

Пнд 07 Янв 2013 04:17:59
Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. ([k означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).
\alpha \,\! 0`(0 рад) 30` (p/6) 45` (p/4) 60` (p/3) 90` (p/2) 180` (p) 270` (3p/2) 360` (2p)
\sin \alpha \,\! {0} \,\! \frac{1}{2}\,\! \frac{\sqrt{2}}{2}\,\! \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! {1}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\!
\cos \alpha \,\! {1} \,\! \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! \frac{\sqrt{2}}{2}\,\! \frac{1}{2}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\! {1}\,\!
\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\! {0} \,\! \frac{\sqrt{3}}{3}\,\! {1}\,\! \sqrt{3}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\!
\mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\! {\infty}\,\! \sqrt{3}\,\! {1} \,\! \frac{\sqrt{3}}{3}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\!
\sec \alpha \,\! {1} \,\! \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\! \sqrt{2}\,\! {2}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\! {1}\,\!
\operatorname{cosec}\, \alpha \,\! {\infty}\,\! {2}\,\! \sqrt{2}\,\! \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\! {1}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!
Значения косинуса и синуса на окружности.


Значения тригонометрических функций нестандартных углов
\alpha\, \frac{\pi}{12} = 15^\circ \frac{\pi}{10} = 18^\circ \frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ \frac{\pi}{5} = 36^\circ \frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ \frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ \frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ \frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}
\cos \alpha\, \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}
\operatorname{tg}\,\alpha 2-\sqrt{3} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}-1 \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}+1 \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} 2 + \sqrt{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha 2 + \sqrt{3} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}+1 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}-1 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} 2-\sqrt{3}
Значения тригонометрических функций прочих углов [показать]
Свойства тригонометрических функций
Простейшие тождества
Основная статья: Тригонометрические тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу a, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},\,
1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},\,
\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Непрерывность

Синус и косинус непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва \pm\frac{\pi}{2},\;\pm\frac{3\pi}{2},\;\pm\frac{5\pi}{2},\;\dots; котангенс и косеканс 0,\;\pm\pi,\;\pm2\pi,\;\dots.
Чётность

Косинус и секанс чётные. Остальные четыре функции нечётные, то есть:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,
\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,
\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,
\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.


Пнд 07 Янв 2013 04:18:06
>>41220910
Я всё равно не знаю

Пнд 07 Янв 2013 04:18:30
Периодичность

Функции y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x периодические с периодом 2p, функции y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x и y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x c периодом p.
Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),\,
f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha),\,
f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right) = \pm g (\alpha),\,
f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).\,

Здесь f любая тригонометрическая функция, g соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол a острый, например:

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

Некоторые формулы приведения:
\beta\, \frac{\pi}{2} + \alpha \pi + \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} + \alpha \frac{\pi}{2} - \alpha \pi - \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} - \alpha 2\,\pi - \alpha
\sin\beta\, \cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \cos\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\,
\cos\beta\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \sin\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\, \cos\alpha\,
\operatorname{tg}\,\beta -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha
\operatorname{ctg}\,\beta -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha
Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,
\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,
\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},
\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,
\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Формулы для кратных углов

Пнд 07 Янв 2013 04:18:49
Формулы двойного угла:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.

Формулы тройного угла:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.

Прочие формулы для кратных углов:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции

Формулы половинного угла:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.

Пнд 07 Янв 2013 04:19:13
Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},
\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
Степени
\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2}, \operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2}, \operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha},
\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4}, \operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},
\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4}, \operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},
\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8}, \operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},
\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8}, \operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.
Суммы

\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .

Для функций от аргумента x существует представление:

Пнд 07 Янв 2013 04:19:22

A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),

где угол \phi находится из соотношений:

\sin \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}
Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

( \sin x )&amp;#39; = \cos x \,,

( \cos x )&amp;#39; = -\sin x \,,

( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )&amp;#39; = \frac{1}{\cos ^2 x},

( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )&amp;#39; = -\frac{1}{\sin ^2 x},

( \sec x)&amp;#39; = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},

( \operatorname{cosec}~x)&amp;#39; = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,

\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,

\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left \cos x\right + C \,,

\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left \sin x \right + C \,,

\int\sec x\, dx=\ln \left \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right + C \,,

\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right + C.

Пнд 07 Янв 2013 04:20:00
Определение

Формула Эйлера:

e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z;

\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};

\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};

\sec z = \frac{1}{\cos x} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};

\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin x} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, где i^2=-1.\,

Пнд 07 Янв 2013 04:20:30
Соответственно, для вещественного x,

\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}), \,
\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}). \,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,\,
\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.\,

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.
Тригонометрические функции в комплексной плоскости
Complex sin.jpg

Complex cos.jpg

Complex tan.jpg

Complex Cot.jpg

Complex Sec.jpg

Complex Csc.jpg
\sin\, z\, \cos\, z\, \operatorname{tg}\, z\, \operatorname{ctg}\, z\, \sec\, z\, \operatorname{cosec}\, z\,

Пнд 07 Янв 2013 04:20:50
История названий

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась [арха-дживаk ([полутетиваk, то есть половина хорды), затем слово [архаk было отброшено и линию синуса стали называть просто [дживаk. Арабские переводчики не перевели слово [дживаk арабским словом [ватарk, обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса [джибаk. Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое [иk в слове [джибаk обозначается так же, как полугласная [йk, арабы стали произносить название линии синуса [джайбk, что буквально обозначает [впадинаk, [пазухаk. При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово [джайбk латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины [тангенсk (от лат. tangens касающийся) и [секансk (лат. secans секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (15611656) в его книге [Геометрия круглогоk (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Пнд 07 Янв 2013 04:21:11
Гиперболические функции задаются следующими формулами:

гиперболический синус:

\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

(в англоязычной литературе обозначается \sinh(x))

гиперболический косинус:

\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

(в англоязычной литературе обозначается \cosh(x))

гиперболический тангенс:

\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}

(в англоязычной литературе обозначается \tanh(x))

гиперболический котангенс:

\operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x}

Иногда также определяются

гиперболические секанс и косеканс:

\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x}
\operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x}

Пнд 07 Янв 2013 04:21:31
Геометрическое определение
Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы ~x^2-y^2=1 (x=\operatorname{ch}t, y=\operatorname{sh}t). При этом аргумент t=2S, где S площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком [+k, если сектор лежит выше оси OX, и [k в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: x=t, y=f(t), где f(t) ордината точки гиперболы, соответствующей площади t=2S. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Свойства
Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

\operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad \operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad \operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix) .

\operatorname{sh}(ix) = i\operatorname{sin}x,\quad \operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad \operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x .

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
Важные соотношения

\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1 (Тождество)
Чётность:
\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x
\operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x
\operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x

Пнд 07 Янв 2013 04:21:50
Формулы сложения:

\operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x
\operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x
\operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y}
\operatorname{cth}(x \pm y)=\frac{\operatorname{cth}x\,\operatorname{cth}y \pm 1}{\operatorname{cth}y \pm \operatorname{cth}x}

Формулы двойного угла:

\operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}
\operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}
\operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}
\operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x)
\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}
\operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2

Формулы кратных углов:

\operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x
\operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x
\operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}
\operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x
\operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x
\operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}

Произведения

\operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}
\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}
\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}
\operatorname{th}x\,\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}


Пнд 07 Янв 2013 04:22:06
>>41221050
Давай

Пнд 07 Янв 2013 04:22:09
Суммы

\operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}
\operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}
\operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}
\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}(x \pm y)}{\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y}

Формулы понижения степени

\operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}
\operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}

Производные:

(\operatorname{sh}x)^\prime=\operatorname{ch}x
(\operatorname{ch}x)^\prime=\operatorname{sh}x
(\operatorname{th}x)^\prime=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}
\operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt
\operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt
\operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}


Пнд 07 Янв 2013 04:22:32
Интегралы:

\int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C
\int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C
\int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C
\int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C
\int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C

Пнд 07 Янв 2013 04:22:44
Неравенства

Для всех x\in\R выполняется:

0 \le \operatorname{ch}x-1 \le \operatorname{sh} x < \operatorname{ch}x
\operatorname{th}x <1

Разложение в степенные ряды

\operatorname{sh}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\operatorname{ch}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\operatorname{th}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad x <\frac{\pi}{2}
\operatorname{cth}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0< x <\pi (Ряд Лорана)

Пнд 07 Янв 2013 04:23:03
Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z=i\pi(n+1/2), где n целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z=i\pi n, вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции
Основная статья: Обратные гиперболические функции

Читаются ареа (-синус и т. д.) от лат. [areak [площадьk.

\operatorname{Arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус: \operatorname{sh}(\operatorname{Arsh}x)=x.
\operatorname{Arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1 обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.
\operatorname{Arth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.
\operatorname{Arcth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
\operatorname{Arsch}x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс,

Пнд 07 Янв 2013 04:23:17
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

\operatorname{Arsh}x=-i\arcsin(-ix),
\operatorname{Arsh}(ix)=i\arcsin x,
\arcsin x=-i\operatorname{Arsh}(ix),
\arcsin (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),

где i мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

\operatorname{Arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1;

\operatorname{Arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1;

\operatorname{Arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x <1.

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, \operatorname{Arth}\,x пишут как \operatorname{tanh}^{-1}x (причём (\operatorname{tanh}\,x)^{-1} обозначает другую функцию \operatorname{cth}\,x), и т. д.

Пнд 07 Янв 2013 04:23:38
История

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году ([Opusculorumk, том I), он же предложил их обозначения: sh, ch. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения \operatorname{sinhyp}, \operatorname{coshyp}, в русскоязычной литературе закрепились обозначения \operatorname{sh}, \operatorname{ch}, в англоязычной закрепились \sinh, \cosh.
Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида \begin{pmatrix}\cos x &amp; \sin x\\ -\sin x &amp; \cos x\end{pmatrix} описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы \begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x &amp; \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x &amp; \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a} (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Пнд 07 Янв 2013 04:24:05
Обра±тные тригонометри±ческие фу±нкции (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

аркси±нус (обозначение: arcsin)
аркко±синус (обозначение: arccos)
аркта±нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
арккота±нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
арксе±канс (обозначение: arcsec)
арккосе±канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки [арк-k (от лат. arc дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin1 для арксинуса и т. п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень 1.



Пнд 07 Янв 2013 04:24:44

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}

Функция arcsin
График функции y = \arcsin x.

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, m \leqslant 1.

Функция y=\sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arcsin x является строго возрастающей.

\sin (\arcsin x) = x\qquad при -1 \leqslant x \leqslant 1,
\arcsin(\sin y) = y\qquad при -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},
D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad (область определения),
E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad (область значений).


Свойства функции arcsin

\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad (функция является нечётной).
\arcsin x>0 \, при 0 < x \leqslant 1.
\arcsin x = 0\, при x=0.
\arcsin x < 0\, при -1 \leqslant x < 0.
\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.
\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.

Получение функции arcsin

Дана функция y=\sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y= \arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]. Так как для функции y=\sin x на интервале \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y=\arcsin x, график которой симметричен графику функции y=\sin x на отрезке \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] относительно прямой y=x.
Функция arccos
График функции y=\arccos x.

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, m \leqslant 1.

Функция y=\cos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arccos x является строго убывающей.

\cos (\arccos x)=x при -1 \leqslant x \leqslant 1,
\arccos (\cos y) = y при 0 \leqslant y \leqslant \pi.
D(\arccos x)=[-1; 1], (область определения),
E(\arccos x)=[0; \pi]. (область значений).

Пнд 07 Янв 2013 04:25:33
>>41221301
Заебался?

Пнд 07 Янв 2013 04:28:31
Свойства функции arcsin

\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad (функция является нечётной).
\arcsin x>0 \, при 0 < x \leqslant 1.
\arcsin x = 0\, при x=0.
\arcsin x < 0\, при -1 \leqslant x < 0.
\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.
\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.

Получение функции arcsin

Дана функция y=\sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y= \arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]. Так как для функции y=\sin x на интервале \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y=\arcsin x, график которой симметричен графику функции y=\sin x на отрезке \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] относительно прямой y=x.

Пнд 07 Янв 2013 04:28:46
Функция arccos
График функции y=\arccos x.

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, m \leqslant 1.

Функция y=\cos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arccos x является строго убывающей.

\cos (\arccos x)=x при -1 \leqslant x \leqslant 1,
\arccos (\cos y) = y при 0 \leqslant y \leqslant \pi.
D(\arccos x)=[-1; 1], (область определения),
E(\arccos x)=[0; \pi]. (область значений).

Свойства функции arccos

\arccos(-x) = \pi - \arccos x\, (функция центрально-симметрична относительно точки \left (0; \frac{\pi}{2}\right)), является индифферентной.
\arccos x > 0\, при -1 \leqslant x < 1.
\arccos x = 0\, при x=1.\,
\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.
\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.
\arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2}
\arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2}
\arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x}

Пнд 07 Янв 2013 04:28:59
Получение функции arccos

Дана функция y=\cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения [0; \pi]. На этом отрезке y=\cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0; \pi] существует обратная функция y = \arccos x, график которой симметричен графику y=\cos x на отрезке [0; \pi] относительно прямой y=x.
Функция arctg
График функции y=\operatorname{arctg}\, x.

Арктангенсом числа m называется такое значение угла \alpha, для которого \operatorname{tg}\, \alpha = m , \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.

Функция y=\operatorname{arctg} x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arctg} x является строго возрастающей.

\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x при x \in \mathbb R,
\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y при -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},
D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty),
E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)

Пнд 07 Янв 2013 04:29:11
Свойства функции arctg

\operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}


\operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} , при x > 0.

Получение функции arctg

Дана функция y=\operatorname{tg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right). На этом отрезке y=\operatorname{tg}\, x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) существует обратная y=\operatorname{arctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{tg}\,x на отрезке \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) относительно прямой y=x.
Функция arcctg
График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого \operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.

Функция y=\operatorname{arcctg}\, x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arcctg}\, x является строго убывающей.

\operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x при x \in \mathbb R,
\operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y при 0<y<\pi,
D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),
E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).

Пнд 07 Янв 2013 04:29:25
Свойства функции arcctg

\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x (график функции центрально-симметричен относительно точки \left(0; \frac{\pi}{2}\right).
\operatorname{arcctg}\, x > 0 при любых x.
\operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0 \\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.

Получение функции arcctg

Дана функция y=\operatorname{ctg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arcctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз (0; \pi). На этом отрезке y=\operatorname{ctg}\, x строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0; \pi) существует обратная функция y=\operatorname{arcctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{ctg}\, x на отрезке (0; \pi) относительно прямой y=x. График симметричен к арктангенсу

Пнд 07 Янв 2013 04:29:40
Функция arcsec

\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\,
Функция arccosec

\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (x)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{x}\right)\,
Производные от обратных тригонометрических функций

(\arcsin x)&amp;#39; = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\arccos x)&amp;#39; = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\operatorname{arctg}\, x)&amp;#39; = \frac{1}{\ 1+x^2}.
(\operatorname{arcctg}\, x)&amp;#39; = -\frac{1}{\ 1+x^2}.
Интегралы от обратных тригонометрических функций
Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

\begin{align} \int \arcsin x\,dx &amp;{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &amp;{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C. \end{align}

Пнд 07 Янв 2013 04:29:52
Для действительных x 1:

\begin{align} \int \arcsec x\,dx &amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Интегралы от обратных тригонометрических функций
Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

\begin{align} \int \arcsin x\,dx &amp;{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &amp;{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C. \end{align}

Для действительных x 1:

\begin{align} \int \arcsec x\,dx &amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &amp;{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}

Пнд 07 Янв 2013 04:29:54
>>41221466
Я пойду покурю. Приду - бампу. А ты пока повайпай.

Пнд 07 Янв 2013 04:30:09
>>41221589
Окей.

Пнд 07 Янв 2013 04:34:27
>>41221602
Я уже вернулся.


← К списку тредов