Карта сайта

Это автоматически сохраненная страница от 22.10.2013. Оригинал был здесь: http://2ch.hk/b/res/56559487.html
Сайт a2ch.ru не связан с авторами и содержимым страницы
жалоба / abuse: admin@a2ch.ru

Втр 22 Окт 2013 23:25:17
Мне очень плохо. Чувствую себя шлюхой. Он - полный идиот. Сейчас набегут колобки, но мне плевать.
Тут полно тянок, я знаю. И, может тут и много поезавших, но шлюх среди нас в десятки раз меньше, чем лицемерных шлюхокунов. На словах - осуждающие шлюх, а на деле - бляди, готовые ебаться со всеми и при первой же возможности. И не аплите на гармоны и потребности, если вы их рабы - то 0 у вас идеиности и силы воли.
Можете называть меня зеленым, но я говорю правду. Я знакомилась в соце с дюжиной якобы альф. Закомплексовпнные китайские подделки.
Они как бабки на лавочке. Куча больных тем в голове. Трещат обо всем, что перед глазами. Социальные импотенты. Педорашки, быдло, шлюхи, успешность, хата в дс.
Нахрена этим грузить незнакомого человека? Вы запрограммировпнные двачем мистеры шаблоны.
Один залез в душу. Ну туда тоже, блядь
Глупо. Знаю. Дала слабину. Расслабилась.
Просто немного поддержите, сестренки.
Зачем вообще нужны куны? Битарды, так вообще мусор.
Да, я хочу просто гармонии во всем, хочу не быть одинокой, кочу найти человека с такими же взглядами, целями. Но, не на словах. Анон сегодня = пиздабол. Ставши другим - человек просто сюда не заходит. И я пишу вам. Я такая же, как вы, пропащая.
Это очень грустно. Чувствую что замкнусь в себе еще глубже.
Где вообще обитает человек разумный в сети?


Втр 22 Окт 2013 23:27:23
пошла нахуй шлюха, ты же не нужна кто отпишет в тред без сажи, у того будет рак яичек
мимогей

Втр 22 Окт 2013 23:28:28
>>56559487
ты знаешь правила

Втр 22 Окт 2013 23:28:44
>>56559487
Ты подностью права, сис. Послежу за тредом.

Втр 22 Окт 2013 23:29:27
>>56559487
Пили свои хобби, цели, интересы. А то на словах вы все Цветаевы Марины, а на деле вагины немыты.

Втр 22 Окт 2013 23:30:36
>>56559587
Сначала хуй с супом. Это тянский тред = тянские правила.

Втр 22 Окт 2013 23:33:05
>>56559487
Но ты же порванная шлюха. Я берегу себя для девственняшки.
тот самый анон

Втр 22 Окт 2013 23:34:04
>>56559487
Сажи тебе, шлюха.

Втр 22 Окт 2013 23:34:25
>>56559487
Расслабься, большинство кунов такая же дрянь, как и большинство тян. Но бывают исключения.
мимо-разочаровался-в-людях-няша-кун

Втр 22 Окт 2013 23:35:53
круто тебя приложило.
Можешь рассказать, если хочешь. Правда, я кун. Не хочешь тут - можно в скайпе или мейлом.

Втр 22 Окт 2013 23:37:05
>>56559487
Почему не стоит нормальной тянке связываться с битардами.

Втр 22 Окт 2013 23:37:05
>>56559487
>Где вообще обитает человек разумный в сети?
Вне сети.
Я сам недочеловек, который не умеет общаться с людьми. Но знакомиться на борде, кстати, это вообще пушка.

Втр 22 Окт 2013 23:37:42
>>56559487
> Куча больных тем в голове. Трещат обо всем, что перед глазами.
А о чем еще с тобой говорить, шлюха тупая?

Втр 22 Окт 2013 23:37:51
Что получит сей годный тред?порцию сажи

Втр 22 Окт 2013 23:38:15
>>56559804 >>56559763 >>56559722

Пикаперы уровня /b/.

Втр 22 Окт 2013 23:38:51
>>56559487

Слушай, иди соси хуи дальше, тупая ты шлюха! Здесь либо люди, которые тебе за щеку могут напихать, либо те, которые вообще совсем иначе на всё смотрят. Но самое главное, что ты, тупая шлюха, изначально полезла искать себе хуй в рот, о чём сама и пишешь. И теперь пытаешься своим обспермленным ртом писать что-то жалостливое и безысходное. Но я тебе скау вот что: "Иди сначала рот помой, внатуре, а потом говори уже что-то!"
Потому что ты и понятия ни о чём не имеешь, твоё дело сосать хуйцы, большего нету просто в твоей жизни.

Втр 22 Окт 2013 23:39:06
>>56559835
я познакомился с бывшей на бордах (на самом деле в irc, но не суть). Прожили десять лет. Так что борда - не показатель.

Втр 22 Окт 2013 23:39:08
>>56559487

пиздец, и этим существам разрешают голосовать, водить машину и все такое? у них такой пиздец в голове блять, как в говно ужратого/убитого

>человек разумный
>в сети

а я чото не пойму, чо вам в /dev то не сидится в последнее время? Завоняли своей селедкой весь /б

Втр 22 Окт 2013 23:39:09
>>56559861
Вариантов нет, даун?

Втр 22 Окт 2013 23:39:29
Сочувствую, сис. Та же история, только общались два года, а вчера он меня бросил просто так. Кнн.

Втр 22 Окт 2013 23:40:11
>>56559908

блять забыл сажу, лучей поноса мне

Втр 22 Окт 2013 23:40:28
>>56559909
Конечно нет. Ты же ТП, сама не знаешь чего хочешь, а потом приходишь на борды за очередной порцией говна. Бери ложку, я уже покакал.

Втр 22 Окт 2013 23:40:33
А я хоть и пиздабол, но отпишусь в треде без сажи. Сам не знаю зачем. Внезапно проснулось сочувствие к ОПу

Втр 22 Окт 2013 23:41:17
>>56559487
Ебаный пиздец. Пост, суть которого: "Все пидорасы, а я Д'Артаньян". Да ещё и состоящий на 75% из шаблонов. Съеби отсюда, тупая пизда.

Втр 22 Окт 2013 23:42:01
>>56559487
Алёна, ты охуела?

Втр 22 Окт 2013 23:42:15
Опять ты? В какой раздел ни сунусь, везде ты ноешь.

Втр 22 Окт 2013 23:42:23
>>56559920
Они боятся о ветственности. Наличие яиц не делает их мужиками.

Втр 22 Окт 2013 23:42:34
>>56559487
Квантовая механика — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием макроскопических объектов, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.

Основные уравнения квантовой динамики — уравнение Шрёдингера, уравнение фон Неймана, уравнение Линдблада, уравнение Гейзенберга и уравнение Паули.

Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.

Втр 22 Окт 2013 23:43:10
>>56560017
Теперь это хиккитред.

Втр 22 Окт 2013 23:43:15
Основная статья: История квантовой механики

На заседании Немецкого физического общества Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввёл универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.

Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями (квантами). Эти порции состоят из целого числа квантов с такой энергией \mathcal{E}, что эта энергия пропорциональна частоте с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:
\mathcal{E} = h \nu = \hbar \omega\,

где h — постоянная Планка, и \hbar=\frac{h}{2\pi}.

В 1905 году, для объяснения явлений фотоэффекта, Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов. Впоследствии «кванты» получили название фотонов.

Для объяснения структуры атома Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.

В 1923 году Луи де Бройль выдвинул идею двойственной природы вещества, опиравшуюся на предположение о том, что материальные частицы обладают и волновыми свойствами, неразрывно связанными с массой и энергией. Движение частицы Л. де Бройль сопоставил с распространением волны, что в 1927 году получило экспериментальное подтверждение при исследовании дифракции электронов в кристаллах.

Высказанные в 1924 году идеи корпускулярно-волнового дуализма были в 1926 году подхвачены Э. Шрёдингером, развернувшим на их основе свою волновую механику.

В 1925—1926 годах были заложены основы последовательной квантовой теории в виде квантовой механики, содержащей новые фундаментальные законы кинематики и динамики. Первая формулировка квантовой механики содержится в статье Вернера Гейзенберга, датированной 29 июля 1925 года. Эту дату можно считать днем рождения нерелятивистской квантовой механики.

Развитие и формирование основ квантовой механики продолжается до сих пор. Оно связано, например, с исследованиями открытых и диссипативных квантовых систем, квантовой информатикой, квантовым хаосом и пр. Помимо квантовой механики, важнейшей частью квантовой теории является квантовая теория поля.

Втр 22 Окт 2013 23:43:55
В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании условия Вульфа — Брэгга для волн с длиной Де Бройля (см. Волны де Бройля). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условием Вульфа — Брэгга, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.

Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.

Втр 22 Окт 2013 23:45:03
>>56559487
Соглашусь, то отребье, с которым тебе пришлось общаться - параша. Но, поспешу тебя огорчить, ты само не лучше, безмозглая шлюха.
А я, кстати, Особенный и очень умный молодой человек.

Втр 22 Окт 2013 23:45:08
Математические основания квантовой механики
Основная статья: Математические основы квантовой механики

Существует несколько различных эквивалентных математических описаний квантовой механики:

При помощи уравнения Шрёдингера;
При помощи операторных уравнений фон Неймана и уравнений Линдблада;
При помощи операторных уравнений Гейзенберга;
При помощи метода вторичного квантования;
При помощи интеграла по траекториям;
При помощи операторных алгебр, так называемая алгебраическая формулировка;
При помощи квантовой логики.

Шрёдингеровское описание

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях[1]:

Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами \psi\rangle комплексного сепарабельного гильбертова пространства ~H, причем векторы \psi_1\rangle и \psi_2\rangle описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда \psi_2\rangle=c \psi_1\rangle, где ~c — произвольное комплексное число.
Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой \hat A, при чистом состоянии системы \psi\rangle в среднем получается значение, равное

\langle A\rangle=\frac{\langle\psi \hat A \psi\rangle}{\langle\psi \psi\rangle}=\frac{\langle\psi \hat A \psi\rangle}{\langle\psi \psi\rangle}

где через \langle\psi \phi\rangle обозначается скалярное произведение векторов \psi\rangle и \phi\rangle.

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера

~i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi\rangle= \hat{H} \psi\rangle

где ~\hat{H} — гамильтониан.

Основные следствия этих положений:

При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.
Стационарное уравнение Шрёдингера

Пусть \psi (\vec{r}) амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет ее определить.
Функция \! \psi (\vec{r}) удовлетворяет уравнению:
- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\nabla}^{\, 2} \psi + U(\vec{r}) \psi = E \psi

где {\nabla}^{\, 2}—оператор Лапласа, а U=U(\vec{r}) — потенциальная энергия частицы как функция \vec{r}.
Решение стационарного уравнения [скрыть]

Пусть E и U две постоянные, независимые от \vec r.
Записав стационарное уравнение как:
{\nabla}^{\, 2} \psi(\vec r) + {2m \over {\hbar}^2} (E-U) \psi(\vec r) = 0

Если E - U > 0, то:

Решение стационарного уравнения в случае, когда E-U>0
\psi(\vec r) = A e^{-i\vec k \cdot \vec r} + B e^{i\vec k \cdot \vec r}

где: k=\frac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar} — модуль волнового вектора; A и B — две постоянные, определяющиеся граничными условиями.


Если E - U < 0, то:

\psi(\vec r) = C e^{-\vec k \cdot \vec r} + D e^{\vec k \cdot \vec r}

где: k=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar} — модуль волнового вектора; C и D — две постоянные, также определяющиеся граничными условиями.


Втр 22 Окт 2013 23:45:48
Ярмарка вагин и хуёв в /b/. Спешите видеть.

Втр 22 Окт 2013 23:46:06
Принцип неопределённости Гейзенберга

Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.
Неопределенность между координатой и импульсом

Пусть \Delta x\, — среднеквадратическое отклонение координаты частицы M\, , движущейся вдоль оси x\, , и \Delta p\, — среднеквадратическое отклонение ее импульса. Величины \Delta x\, и \Delta p\, связаны следующим неравенством:
\Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}

где h — постоянная Планка, а \hbar=\frac h {2\pi}.

Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными.
Неопределенность между энергией и временем

Пусть Е — среднеквадратическое отклонение энергии частицы, и t — время, требуемое для обнаружения частицы.
Время t для обнаружения частицы с энергией E±Е определяется следующим неравенством:
\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}
Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики

Соотношение неопределённостей Гейзенберга
Корпускулярно-волновой дуализм
Дифракция электронов
Сверхтекучесть (Бозе-конденсат)
Сверхпроводимость
Квантовая телепортация
Квантовая запутанность (Квантовая нелокальность, «Квантовое Вуду»)
Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена
Парадокс Клейна
Квантовый парадокс Зенона («Парадокс незакипающего чайника», связанный с аксиомой идеального измерения)
Кот Шрёдингера
Надбарьерное отражение
Теорема о запрете клонирования
Обменное взаимодействие

Втр 22 Окт 2013 23:46:34
>>56559487
А ты блять, что думала? Что вся эта толпа анононов которые тут вещают на каждом углу, что ТЯН НЕ НУЖНЫ и организовывают треды травли каких-то там левых шлюх на полном серьезе такие идеальный и изменять не будут? Так нет же дорогая моя, все эти травли и заявления про тян главный показатель, того, что если пред ними замаячит особь противоположного пола они прямиком не раздумывая пойдут ее сношать, они и озлобленные такие потому, что им куска пиздятены не достается, а шлюхи которых они травят им никогда не дадут, вменяемому, то человеку похуй на этих шлюх.

Втр 22 Окт 2013 23:46:53
Разделы квантовой механики

В стандартных курсах квантовой механики изучаются следующие разделы

математическая основа квантовой механики и теория представлений;
точные решения одномерного стационарного уравнения Шрёдингера для различных потенциалов;
приближённые методы (квазиклассическое приближение, теория возмущений и т. д.);
нестационарные явления;
уравнение Шрёдингера в трёхмерном случае и теория углового момента;
теория спина;
тождественность частиц;
строение атомов и молекул;
рассеивание частиц;

Интерпретации квантовой механики
Question book-4.svg
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 22 февраля 2013.


Существует множество интерпретаций квантовой теории, которые иногда плохо согласуются друг с другом. В то же время разногласия в интерпретациях не влияют на предсказания исходов конкретных экспериментов в рамках квантовой теории, и потому интерпретации являются нефальсифицируемыми, а следовательно, и ненаучными концепциями. Практическая ценность различных интерпретаций усматривается их сторонниками в некотором упрощении хода рассуждений при рассмотрении различных экспериментов, или обосновывается философскими соображениями.
Интерпретации квантовой механики [показать]
Комментарии

Обычно квантовая механика формулируется для нерелятивистских систем. Рассмотрение частиц с релятивистскими энергиями в рамках стандартного квантовомеханического подхода, предполагающего фиксированное число частиц в системе, сталкивается с трудностями, поскольку при достаточно большой энергии частицы могут превращаться друг в друга. Эти трудности устраняются в квантовой теории поля, которая и является самосогласованной теорией релятивистских квантовых систем.

Важным свойством квантовой механики является принцип соответствия: в рамках квантовой механики доказывается, что в пределе больших величин действия (квазиклассический предел) и в случае, когда квантовая система взаимодействует с внешним миром (декогеренция), уравнения квантовой механики редуцируются в уравнения классической физики (см. Теорема Эренфеста). Таким образом, квантовая механика не противоречит классической физике, а лишь дополняет её на микроскопических масштабах.

Некоторые свойства квантовых систем кажутся непривычными (невозможность одновременно измерить координату и импульс, несуществование определённой траектории частицы, вероятностное описание, дискретность средних значений наблюдаемых величин). Это вовсе не значит, что они неверны: это означает, что наша повседневная интуиция никогда не сталкивалась с таким поведением, т. е. в данном случае «здравый смысл» не может быть критерием, поскольку он годится только для макроскопических систем. Квантовая механика — самосогласованная математическая теория, предсказания которой согласуются с экспериментами. В настоящее время огромное число приборов, используемых в повседневной жизни, основываются на законах квантовой механики, как например — лазер или сканирующий туннельный микроскоп.

Классическая механика оказалась неспособной объяснить движение электронов вокруг атомного ядра. Например, согласно классической электродинамике, электрон, вращающийся с большой скоростью вокруг атомного ядра, должен излучать энергию. Тогда его кинетическая энергия должна уменьшаться и он должен упасть на ядро. Для понимания процессов, происходящих на уровне элементарных частиц, потребовалась новая теория. Квантовая теория — это совершенно новый взгляд на систему, позволяющий с огромной точностью описать необычное поведение электронов и фотонов.[2]

Втр 22 Окт 2013 23:47:18
>>56559920
Какие же тут тупые шлюхи собрались, даже не то что раздражение, сожаление какое-то. Чем я так вот провинился в прошлых жизнях, что мне тут находится приходится? Я же хороший парень, всегда помогу по мере сил, если меня попросят, мне всего-то надо чуть-чуть интернетов и по-больше свободного времени. И всё, мне этого достаточно. Но вот почему, почему я должен жить рядом с такими вот моральными уродами, которые даже сами не понимают, что из-за них всё так вот хуёво. Ну вот за что мне это? Почему они не могут просто умереть и не мешать никому?

Втр 22 Окт 2013 23:48:13
А я один честный и непорочный асексуал.

Втр 22 Окт 2013 23:48:12
Квантовая теория поля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль!].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.
Содержание

1 История зарождения
2 Сущность квантовой теории поля
2.1 Лагранжев формализм в теории поля
2.1.1 Теорема Нётер
2.1.2 Гамильтониан поля
2.2 Поле и гармонические осцилляторы
2.3 Квантование поля. Операторы рождения и уничтожения квантов
2.3.1 Квантование по Бозе-Эйнштейну и Ферми-Дираку. Связь со спином
3 S-матричный формализм и диаграммы Фейнмана
4 Аксиоматическая квантовая теория поля
5 Функциональный интеграл
6 Расходимости и теория перенормировок
7 Примечания
8 См. также
9 Литература

История зарождения

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. В 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Как известно, в классической механике (включая нерелятивистскую квантовую механику) энергия (кинетическая, поскольку потенциальная предполагается нулевой) и импульс свободной частицы связаны соотношением E=p^2/2m. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид E^2=p^2c^2+m^2c^4. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, получим уравнение Клейна — Гордона:

{\hbar^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}={\hbar^2}{c^2} \mathbf{\nabla}^2\psi-{m^2c^4}\psi или \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{\partial^2\psi}{\partial {(ct)^2}}= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы \hbar=c=1:

(\square\ - m^2) \psi = 0, где \square\ — оператор Д’Аламбера.

Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иное обоснование имеет уравнение Дирака, предложенное им в 1928 году. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса.

H_D=mc^2 \alpha_0 + c \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{\hat{p}}

и с учетом формулы связи энергии и импульса, на квадрат этого оператора налагаются ограничения, а значит и на "коэффициенты"\alpha — их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а "волновая функция" — четырехкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В таком случае уравнение Дирака формально имеет вид, идентичный уравнению Шредингера (с гамильтонианом Дирака).

Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака следует рассматривать как уравнения для полевых операторных функций, действующих на вектор состояния системы квантовых полей, удовлетворяющих уравнению Шрёдингера.
Сущность квантовой теории поля

Втр 22 Окт 2013 23:48:58
Лагранжев формализм в теории поля

Поле описывается полевой функцией \psi(x) и характеризуется так называемой лагранжевой плотностью \mathcal{L} (плотность лагранжиана) в данной точке пространства. Обычно предполагается, что лагранжева плотность зависит только от полевой функции и ее производной по времени: \mathcal{L}=\mathcal{L}(\psi, \dot{\psi}). Лагранжева плотность не должна содержать производных полевой функции выше первой степени, чтобы уравнения движения получались "правильными" (соответствовали классической механике). Собственно лагранжиан системы (поля) будет равен интегралу от лагранжевой плотности по трехмерному пространству: L=\int \mathcal{L}(\psi, \dot{\psi})d^3x. Действие, как и в классической лагранжевой механике равно интегралу от лагранжиана по времени. Следовательно, действие в теории поля можно рассматривать как интеграл от лагранжевой плотности по четырехмерному пространству-времени: S=\int \mathcal{L}(\psi, \dot{\psi})d^4x. Поэтому иногда лагранжеву плотность и называют собственно лагранжианом. Для релятивистских полей минимальное требование к лагранжиану (лагранжевой плотности) — релятивистская инвариантность. Есть также и иные требования (локальность, унитарность и др.).

Принцип наименьшего действия применяется к этому четырехмерному интегралу, что позволяет получить полевые уравнения — уравнения Эйлера-Лагранжа[1]:

\frac {\partial} {\partial x^{\nu}} \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}\psi^l)}\right )=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^l}

Пример: cкалярное поле c лагранжианом \mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial_\mu}{\psi}{\partial^\mu}{\psi}-\frac{m^2}{2}{\psi^2}. Уравнения движения для данного поля приводят к уравнению Клейна-Гордона: \partial_{\mu}\partial^{\mu}\psi=m^2\psi.
Теорема Нётер
Основная статья: Теорема Нётер

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно k-параметрических преобразований приводит к k динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. В частности, инвариантность действия относительно трансляций (пространственно-временных сдвигов) приводит к сохранению тензора энергии-импульса, в том числе 4-импульса p^{\mu}.
Гамильтониан поля

На основании лагранжевой плотности с помощью преобразования Лежандра можно определить гамильтониан поля:

H=\sum_l \int \Pi_l \dot{\psi}^l d^3x - \mathcal{L}

где \Pi_l - вариационная производная лагранжиана по \dot{\psi}^l.
Поле и гармонические осцилляторы

Можно показать, что, например, скалярное поле Клейна-Гордона может быть представлено как совокупность осцилляторов. Разлагая полевую функцию в бесконечный ряд Фурье по трехмерному вектору импульса можно показать, что из уравнения Клейна-Гордона следует, что амплитуды разложения удовлетворяют классическому дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора с параметром (частотой) \omega_k =\sqrt {\overrightarrow k^2+m^2}. Рассмотрим ограниченный куб V=L^3 и наложим условие периодичности по каждой координате с периодом L.Условие периодичности приводит к квантованию допустимых импульсов и энергии осциллятора:

\overrightarrow k (n)= \frac {2 \pi}{L}(n_1, n_2, n_3)~~~, ~~~\omega_n^2=m^2+\frac {4\pi^2} {L^2} n^2

Втр 22 Окт 2013 23:49:31
19 лвл кун, который любит классику кино, дарк джаз, и другую интересную музыку, писателей битников, и буковского с кафкой, не против потрещать с кем угодно из тней, никаких личностей и тем более интима, просто интересное конструктивное общение. На любой платформе в любой вечер, фейко мыло ivan1281994ad@gmail.com

Втр 22 Окт 2013 23:49:42
в общем, хороший вброс, годный

ну или пиши в скайп shoreditch.twat, вытру сопли

Втр 22 Окт 2013 23:50:15
>>56560098
Ты меня не знаеешь, а даешь оценки = ты быдло. Я была непредвзята. Прочто добра и наивна.

Втр 22 Окт 2013 23:50:16
Квантование поля. Операторы рождения и уничтожения квантов

Квантование означает переход от полей к операторам, действующим на вектор (амплитуду) состояния . По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, что и для классических полей (с учетом порядка перемножения)

Для квантового гармонического осциллятора получена известная формула квантования энергии E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2). Собственные функции, соответствующие указанным собственным значениям гамильтониана, оказываются связанными друг с другом некоторыми операторами {\hat{a}}^+{\psi}_n={\sqrt{n+1}}{\psi}_{n+1} — повышающий оператор, {\hat{a}}{\psi}_n={\sqrt{n}}{\psi}_{n-1} — понижающий оператор. Следует отметить, что эти операторы некоммутативны (их коммутатор равен единице). Применение повышающего или понижающего оператора увеличивает квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому увеличению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией {\hbar} {\omega}. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения квантов данного поля. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается через указанные операторы следующим образом H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}, где {\hat{n}}={\hat{a}}^+{\hat{a}} — оператор числа квантов поля. Как нетрудно показать {\hat{n}}{\psi}_n=n{\psi}_n — то есть, собственные значения этого оператора — число квантов. Любое n-частичное состояние поля может быть получено действием операторов рождения на вакуум

{\psi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\psi_0

Для вакуумного состояния результат применения оператора уничтожения равен нулю (это можно принять за формальное определение вакуумного состояния).

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов индивидуальных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения \hat{a}^+_k, k=1, ..., N. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения n_k — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

\psi(n_1, ..., n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\psi_0

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания функции \psi функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.
Квантование по Бозе-Эйнштейну и Ферми-Дираку. Связь со спином

Коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна основаны на обычном коммутаторе (разность "прямого" и "обратного" произведения операторов), а коммутационные соотношения Ферми-Дирака — на антикоммутаторе (сумма "прямого" и "обратного" произведения операторов). Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.


>>56560226
Спасибо :3

Втр 22 Окт 2013 23:50:52
Мария Ивановна Арбатова встала утром, села в автомобиль, собранный и придуманный мужчинами из металла, вылитого мужчинами из руды добытой мужчинами, налила бензин из нефти добытой мужчинами, переработанной мужчинами, поехала по дороге построенной мужчинами, зашла в дом, построенный мужчинами из бетона залитого мужчинами и кирпича положенного мужчинами, отапливаемого котельной построенной мужчинами, топливом добытого мужчинами, поднялась на лифте смонтированного мужчинами, включила свет по сети проложенной мужчинами от электростанции генерирующей электричество мужчинами, залила кипятком подогретой на газе добытого мужчинами, водопроводу проложенному мужчинами, кофе, привезённого самолётом мужчинами из плантаций обрабатываемых мужчинами, с булочкой из пшеницы посаженной мужчинами и собранной мужчинами, привезённые мужчинами в магазины построенными мужчинами, нажала на кнопку компьютера собранного мужчинами, изобретённого мужчинами, открыла программы созданные мужчинами, зашла в интернет созданного мужчинами и написала буквами из алфавита созданного мужчинами — "Я независимая женщина, зачем мне эти алкоголики?"

Втр 22 Окт 2013 23:51:03
Лучше бы мне дала, шлюха.
Алсо, заебала с предложениями из одного слова, шлюха.

Втр 22 Окт 2013 23:51:22
У этого термина существуют и другие значения, см. Метод множителей Лагранжа.

Лагранжиан, функция Лагранжа \mathcal {L} [\varphi_i] динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией обобщённых координат \ \varphi_i (s) и описывает эволюцию системы. Например уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как:

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

где действие — функционал \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\, d^ns},

а \varphi_i — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные), \ s_j обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком еще электрические или другие физические параметры.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения уравнений геодезических и проблема Плато.
Содержание

1 Пример из классической механики
2 Классический лагранжиан быстрой свободной частицы
3 Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля
4 Электромагнитный лагранжиан[2]
4.1 Электростатика
4.2 Электродинамика
4.2.1 Трёхмерная формулировка
4.2.2 Четырёхмерная формулировка
5 Лагранжиан квантовой теории поля
5.1 Лагранжиан квантовой электродинамики
5.2 Лагранжиан Дирака
5.3 Лагранжиан квантовой хромодинамики
6 Примечания
7 Ссылки


Втр 22 Окт 2013 23:51:25
>>56559906
Ну ты сравнил жопу с пальцем. В ирке все тогда сидели. Это как сейчас с кем-то в ВК познакомиться.

Втр 22 Окт 2013 23:51:28
>>56559487
Я разумный, я в сети, но я стрёмный, так что тебе на меня автоматом похуй. Поэтому съеби.

Втр 22 Окт 2013 23:51:54
>>56560231
съеби в соц, кусок говна. даркджаз блять, линч-хуинч.

Втр 22 Окт 2013 23:51:59
Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, \vec{x} — радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0, где \nabla — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала \vec{F}=- \nabla V(x), тогда мы получим уравнение \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению \vec{F}=d\vec{p}/dt, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, , с лагранжианом

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V®

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,

\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,

\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Классический лагранжиан быстрой свободной частицы

Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан быстрой (релятивистской) свободной частицы с точностью до множителя — минус массы частицы, умноженной на универсальную константу — совпадает со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского — или собственного времени:

-m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},

где v — обычная трёхмерная скорость частицы, c — скорость света, m — масса частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).
Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

В теории поля делают различие между лагранжианом L, через который действие выражается как интеграл только по времени

S = \int{\mathcal{L} \, dt}

и плотностью лагранжиана \mathcal{L}, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному[1] пространству-времени:

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

В последнее время плотность лагранжиана \mathcal{L} часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные \vec x в индекс i или в параметры s в \varphi_i(s). Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах \mathcal{L}. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Втр 22 Окт 2013 23:52:23
>>56559487
>Один залез в душу. Ну туда тоже, блядь

сама виновата, такие рефликсированные как ты тян нинужны.

мимокун встречался с такой, самый негативный опыт

Втр 22 Окт 2013 23:52:29
>>56560193
Жаль что пиздабол.
Занятно от припекания сагателей. Могли просто проигнорить, так нет. Надо показать свой будапешт.

Втр 22 Окт 2013 23:52:41
>>56559487
Все твои невзгоды и переживания снимет ЧЕЛОВЕК АШОТ
Нет правда найди огромного черного волосатого хача, ты поймешь что такое женское счастье. Базарю еще захочешь.

Втр 22 Окт 2013 23:52:42
Электромагнитный лагранжиан[2]
Электростатика

Электростатика (физика статических — то есть достаточно медленно меняющихся) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным[3] потенциалом и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом Ньютоновской механике, может быть в целом описана практически в рамках классической механики.

В классической механике лагранжиан есть

\mathcal{L} = T - V

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой m и зарядом q, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом \phi\ , кинетическая энергия задаётся выражением

T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} — для одной частицы (для многих берётся сумма).

Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как

V = q\phi\ для одного точечного заряда (для многих суммируется),

или

V = \int \rho\phi\ dx dy dz — в виде для непрерывного распределения заряда.

(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц[4], записываясь как:

T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,

где \varkappa — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

\mathcal{L} = T_f - V + T_s,

(каждый член его выписан выше).

Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом[5], легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):

\nabla^2 \phi = - \varkappa \rho

и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):

m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \phi.

Электродинамика
Трёхмерная формулировка

В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):

V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}

или

V = \int (\rho\phi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz

где c — скорость света, v — скорость частицы, j — вектор плотности тока.

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля[6]:

T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,

где E и H следует считать выраженными через скалярный потенциал \phi и векторный потенциал А:

\mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}, ~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A.


Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

L = T_f - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.

или

L = T_f + \int (-\rho\phi + {1 \over c} \mathbf j\ \cdot \mathbf{A}) dx dy dz + T_s.

Здесь в качестве лагранжиана вещества T_s можно использовать приближенное выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля итд, что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по ф и по A_x, A_y, A_z (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

d\mathbf p/d t = \mathbf F_L, ,

где p — (трехмерный) импульс частицы, \mathbf F_L — сила Лоренца (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см.далее).

Втр 22 Окт 2013 23:52:47
http://2ch.hk</span>
>/b/

Обитают, причем в довольно таки большом количестве, но ты их не найдешь, а они тебя искать и подавно не станут.

Втр 22 Окт 2013 23:52:57
>>56560258
Зачем мне тебя знать? Мне достаточно было прочитать твой пост, гниль.

Втр 22 Окт 2013 23:53:21
Четырёхмерная формулировка

В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (используя систему единиц c=1):

L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:

S_{int} = - \int q A_i dx^i.

(Член L_s — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь c — скорость света, F^{ik} — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), A_i — 4-потенциал, j^i — четырёхмерная плотность тока, dx^i — 4-перемещение; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.

Варьированием по A_i легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:

\partial_i F^{ik} = \varkappa j^k,

а варьированием по x^i — уравнение движения для частицы:

d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k, \

где p_i = m u_i — 4-импульс, u^k — 4-скорость.
Лагранжиан квантовой теории поля

Лагранжиан квантовой теории поля в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или их корректно проинтерпретировать; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они в квантовой теории поля используются, представляя в определенном отношении её основу.
Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для КЭД

\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

где — биспинор, \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 — его дираковское сопряжение, \! F^{\mu\nu} — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная, и \not \!\, D — обозначение Фейнмана для \! \gamma^\sigma D_\sigma .
Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для дираковского поля

\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi .

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1]

\mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n

где \! D_\mu — калибровочная ковариантная производная КХД, и \! F^\alpha {}_{\mu\nu} — тензор напряжённости глюонного поля.

Втр 22 Окт 2013 23:53:30
>>56559487
Сочувствую тебе, сестрёнка. Ты ещё найдешь, своего принца, а про этого козла забудь, полно таких. Главное, помни, что ты - БОГИНЯ

Втр 22 Окт 2013 23:53:35
Вайпер, блядь, вайпай чем-нибудь другим, будь няшей. Я из-за теоретической физики из инста вылетел просто, видишь ли.

Втр 22 Окт 2013 23:53:42
>>56560165
Почему вы имеете право создавать треды с пиздостраданиями, а мы — нет? Делите /b, пидоры.

Втр 22 Окт 2013 23:54:19
>>56560301
чувак, внатуре ты неправильно делаешь, что сагаешь, ты этим совсем ничего не добьёшься, это всё равно что технику пинать когда у тебя что-то не получается, по-нормальному нуно донести до человека всё словами в разговоре чтобы он внатуре осознал свою гнилую натуру

Втр 22 Окт 2013 23:54:31
>>56560302
1995 году? все сидели в ирке? расскажи мне еще

Втр 22 Окт 2013 23:54:41
Ищу тян с московской области 17-20лет. С нормальным восприятием юмора :3

Втр 22 Окт 2013 23:54:48
Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства {{\mathbb{R}}^{3}}, но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.
Содержание

1 Определения
2 Криволинейный интеграл первого рода
2.1 Свойства
2.2 Вычисление
3 Криволинейный интеграл второго рода
3.1 Свойства
3.2 Вычисление
4 Взаимосвязь криволинейных интегралов
5 Механические приложения
6 См. также

Определения

Пусть l — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

l:\left\{ \begin{align} &amp; x=x\left( t \right) \\ &amp; y=y\left( t \right) \\ &amp; z=z\left( t \right) \\ \end{align}\right.~~~~~, t\in\left[a, b\right] — (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть \theta =\left\{ {{t}_{k}} \right\}_{k=0}^{n} — разбиение отрезка параметризации \left[ a, b \right], причем a={{t}_{0}}&lt;{{t}_{1}}&lt;\ldots &lt;{{t}_{n-1}}&lt;{{t}_{n}}=b.

Зададим разбиение кривой M=\left\{ {{M}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0, n}\ {{M}_{k}}=\left( x\left( {{t}_{k}} \right), y\left( {{t}_{k}} \right), z\left( {{t}_{k}} \right) \right)\in l.

За \ {{l}_{k}} обозначим часть кривой от точки \ {{M}_{k-1}} до точки \ {{M}_{k}}, k=\overline{1, n}.

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации \theta : \Delta \theta =\underset{k=\overline{1, n}}{\mathop{\max }}\, \left\{ {{t}_{k}}-{{t}_{k-1}} \right\}.

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации l: \xi =\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1, n}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[ {{t}_{k-1}}, {{t}_{k}} \right].

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой N=\left\{ {{N}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0, n}\ {{N}_{k}}=\left( x\left( {{\xi }_{k}} \right), y\left( {{\xi }_{k}} \right), z\left( {{\xi }_{k}} \right) \right)\in {{l}_{k}}.

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой l: f\left( x, y, z \right), P\left( x, y, z \right), Q\left( x, y, z \right), R\left( x, y, z \right).

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

\sigma \left( f, M, N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{N}_{k}} \right)\left {{l}_{k}} \right }.

Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

{{\sigma }_{1}}\left( P, M, N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{P\left( {{N}_{k}} \right)\left( x\left( {{t}_{k}} \right)-x\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)},
{{\sigma }_{2}}\left( Q, M, N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Q\left( {{N}_{k}} \right)\left( y\left( {{t}_{k}} \right)-y\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)},
{{\sigma }_{3}}\left( R, M, N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{R\left( {{N}_{k}} \right)\left( z\left( {{t}_{k}} \right)-z\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}.

Если \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\, \sigma \left( f, M, N \right)=I, то говорят, что функция f интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой l, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции f по кривой l и обозначают \int\limits_{l}{f\left( x, y, z \right)dl}=I. Здесь \ dl — дифференциал кривой.

Если \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\, {{\sigma }_{1}} \left( P, M, N \right)={{I}_{1}}, \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\, {{\sigma }_{2}} \left( Q, M, N \right)={{I}_{2}}, \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\, {{\sigma }_{3}} \left( R, M, N \right)={{I}_{3}}, то говорят, что функции P, Q и R интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой l, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций P, Q и R по кривой l и обозначают

\int\limits_{l}{P\left( x, y, z \right)dx}={{I}_{1}}
\int\limits_{l}{Q\left( x, y, z \right)dy}={{I}_{2}}
\int\limits_{l}{R\left( x, y, z \right)dz}={{I}_{3}}

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций P, Q и R также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции \vec{a}\left( x, y, z \right)=\left\{ P\left( x, y, z \right), Q\left( x, y, z \right), R\left( x, y, z \right) \right\} и обозначают:

\int\limits_{l}{P\left( x, y, z \right)dx+Q\left( x, y, z \right)dy+R\left( x, y, z \right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}=\tilde{I}.

Если кривая l замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка \int{{}} принято писать \oint{{}}.

>>56560378
Ну окей.

Втр 22 Окт 2013 23:55:25
>>56560344
Ой спасибо. А я и не знала. по себе людей не судят.

Втр 22 Окт 2013 23:55:27
>>56559652

а не пошла бы ты в тянач

Втр 22 Окт 2013 23:55:43
>>56560403
Мне лень что-то объяснять идиотам.

риволинейный интеграл первого рода
Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле
Свойства

Линейность:

~\int\limits_l(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int\limits_l fdl + \beta\int\limits_l gdl

Аддитивность: если l_1\cap l_2 в одной точке, то

\int\limits_{l_1\cup l_2}fdl = \int\limits_{l_1}fdl + \int\limits_{l_2}fdl

Монотонность: если f \le g на l, то

\int\limits_l fdl \le \int\limits_l gdl

Теорема о среднем для непрерывной вдоль l функции f:

\exists \xi \in l:\int\limits_{l}{f}dl=f\left( \xi \right)\left l \right

Очевидно, что: \int\limits_{l}{d}l=\left l \right .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: \int\limits_{AB}{f}dl=\int\limits_{BA}{f}dl.

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
Вычисление

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f\left( x, y, z \right) определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

\int\limits_{l}{f\left( x, y, z \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right), y\left( t \right), z\left( t \right) \right)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}}}dt}.

Здесь точкой обозначена производная по t: \dot{x}={x}'\left( t \right).
Криволинейный интеграл второго рода
Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле
Свойства

1. Линейность:

\int\limits_{AB}(\alpha f+\beta g)dx = \alpha\int\limits_{AB}fdx + \beta\int\limits_{AB}gdx

2. Аддитивность:

\int\limits_{AB}fdx + \int\limits_{BC}fdx = \int\limits_{ABC}fdx

3. \int\limits_{BA}f(x, y, z)dx = -\int\limits_{AB}f(x, y, z)dx

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.
Вычисление

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f\left( x, y, z \right) определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

\int\limits_{l}{f\left( x, y, z \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right), y\left( t \right), z\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt},
\int\limits_{l}{f\left( x, y, z \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right), y\left( t \right), z\left( t \right) \right){y}'\left( t \right)dt},
\int\limits_{l}{f\left( x, y, z \right)dz}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right), y\left( t \right), z\left( t \right) \right){z}'\left( t \right)dt}.

Если обозначить за {\vec{\tau }} единичный вектор касательной к кривой l, то нетрудно показать, что

{x}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{i}, \vec{\tau }} \right)dl
{y}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{j}, \vec{\tau }} \right)dl
{z}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{k}, \vec{\tau }} \right)dl

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), \vec{\tau }\left( x, y, z \right)=\left\{ \cos \left( \widehat{\vec{i}, \vec{\tau }} \right), \cos \left( \widehat{\vec{j}, \vec{\tau }} \right), \cos \left( \widehat{\vec{k}, \vec{\tau }} \right) \right\} — единичный вектор, касательный к кривой l. Пусть также координаты вектор-функции \vec{a}\left( x, y, z \right)=\left\{ P\left( x, y, z \right), Q\left( x, y, z \right), R\left( x, y, z \right) \right\} определены и интегрируемы вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

\int\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int\limits_{l}{\left( \vec{a}, \vec{\tau } \right)dl}
\int\limits_{l}{P\left( x, y, z \right)dx}=\int\limits_{l}{P\left( x, y, z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{i}, \vec{\tau }} \right)dl
\int\limits_{l}{Q\left( x, y, z \right)dy}=\int\limits_{l}{Q\left( x, y, z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{j}, \vec{\tau }} \right)dl
\int\limits_{l}{R\left( x, y, z \right)dz}=\int\limits_{l}{R\left( x, y, z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{k}, \vec{\tau }} \right)dl


Механические приложения

Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы \mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) вычисляется по формуле

A = \int\limits_{l} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна (x, y, z), выражается интегралом

m = \int\limits_{l} \mu(x, y, z) \, ds

Координаты (xc, yc, zc) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью (x, y, z) находятся по формулам:

x_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} x\mu(x, y, z) \, ds,

y_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} y\mu(x, y, z) \, ds,

z_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} z\mu(x, y, z) \, ds,

где m — масса кривой l

Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

I_x = \int\limits_{l} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds,

I_y = \int\limits_{l} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds,

I_z = \int\limits_{l} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z) \, ds

Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

\mathbf{F} = \gamma m_0 \int\limits_{l} \frac{\mu(x, y, z)}{r^3} \, ds,

где (z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точки с координатами (x0, y0, z0); — постоянная тяготения,

\mathbf{r} = (x - x_0)\mathbf{i} + (y - y_0)\mathbf{j} + (z - z_0)\mathbf{k}, \quad \boldsymbol{r} = \left \mathbf{r} \right

Втр 22 Окт 2013 23:56:08
>>56559487
Хотел ответить нормально пока не прочитал все... Ну вот одни пишут что все тян шлюхи, а ты пришла писать что все куны - мудаки. Ты достойна этих своих поклонников. Больше сказать нечего

Втр 22 Окт 2013 23:56:15
>>56560415
будешь с ней говорить за жизнь. откуда вы понаехали только, а

Втр 22 Окт 2013 23:56:16
>>56560428
О квантовой механике.

Втр 22 Окт 2013 23:56:20
>>56560352
Признание опущенца. :D

Втр 22 Окт 2013 23:56:35
Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.
Содержание

1 Общие понятия
2 Бесконечно удалённая точка
3 Дифференцирование
3.1 Определение
3.2 Другие свойства
3.3 Геометрический смысл производной
4 Интегрирование
4.1 Контурный интеграл
5 Теоремы единственности и аналитическое продолжение
6 Разложение в ряд
6.1 Степенной ряд
6.2 Ряд Лорана
7 Приложения в вещественном анализе
8 История
9 См. также
10 Примечания
11 Литература

Общие понятия

Каждая комплексная функция w = f(z) = f(x+iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: f(z)=u(x, \;y)+iv(x, \;y), определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции f(z).

Далее всюду, где говорится об ограниченности комплексной функции, имеется в виду ограниченность её модуля (из чего следует ограниченность в обычном смысле обеих компонент).

Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если \lim_{z\to a+bi}f(z)=A+Bi, то \lim_{x\to a, \;y \to b}u(x, \;y)=A и \lim_{x\to a, \;y\to b}v(x, \;y)=B. Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, отсутствует прямой аналог теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.

\varepsilon-окрестность числа z_0 определяется как множество точек z, удалённых от z_0 менее чем на \varepsilon:

~ z-z_0 &lt;\varepsilon

На комплексной плоскости \varepsilon-окрестность представляет собой внутренность круга радиуса \varepsilon с центром в z_0.
Бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: z=\infty. При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

\frac{z}{\infty}=0; z+\infty=\infty (z \ne \infty)
z \cdot \infty=\infty; \frac{z}{0}=\infty (z \ne 0)

\varepsilon-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z, модуль которых больше, чем \varepsilon, то есть внешняя часть \varepsilon-окрестностей начала координат.

Втр 22 Окт 2013 23:57:10
Дифференцирование
Определение

Производная для комплексной функции одного аргумента w=f(z) определяется так же, как и для вещественной:

f^\prime(z)=\frac{df}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

(здесь h — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

f(z+h)-f(z)=\frac{df}{dz}\cdot h+o(h).

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент u, \;v и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Отсюда следует, что дифференцируемости компонент u и v недостаточно для дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используется также его синоним «голоморфная функция»).
(Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0;\qquad\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.

Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида u+iv, где u, \;v — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.
Другие свойства

Пусть функции f(z) и g(z) дифференцируемы в области G\subset\mathbb C. Тогда f(z)\pm g(z) и f(z)\cdot g(z) также дифференцируемы в этой области. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то \frac{f(z)}{g(z)} будет дифференцируема в G. Композиция функций f(g(z)) дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции w=f(z) в области G не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция z=\varphi(w), и она будет дифференцируема.

Производная для суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.
Геометрический смысл производной
Пример конформного отображения. Видно, что углы сохраняются.

Каждая комплексная функция w=f(z)=u(x, \;y)+iv(x, \;y) определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами (x, \;y) на другую комплексную плоскость с координатами (u, \;v). При этом выражение:

\left \frac{f(z+h)-f(z)}{h}\right = k(h)

при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент масштабирования, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z+h. Существование предела ~\lim_{h \to 0} k(h), то есть модуля производной f^\prime(z) =k, означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки z, то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.

Если коэффициент масштабирования k>1, то в окрестности точки z расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом растяжения. Если коэффициент масштабирования k&lt;1, то в окрестности точки z расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия.

Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике[3].
Интегрирование

Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от a до b на комплексной плоскости, вообще говоря, не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути. Ниже будут указаны условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути, и тогда интеграл «от точки до точки» может быть определён корректно.

Пусть уравнение z=z(t), \;a\leqslant t\leqslant b определяет некоторую кусочно-гладкую кривую \gamma в комплексной плоскости, а функция f(z) определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей: a=t_0&lt;t_1&lt;\ldots&lt;t_n=b и рассмотрим интегральную сумму:

\sum_{1\leqslant k\leqslant n}f(z(t_k))(z(t_k)-z(t_{k-1})).

Предел этой суммы при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой \gamma от данной функции f(z); он обозначается:

\int\limits_\gamma\!f(z)\, dz.

Для любой функции f(z), непрерывной вдоль \gamma, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

\int\limits_\gamma\!f(z)\, dz=\int\limits_a^b\!f(z(t))z'(t)\, dt=\int\limits_\gamma\!(u\, dx-v\, dy)+i\int\limits_\gamma\!(v\, dx+u\, dy).

Здесь u, \;v — компоненты f(z). Из этого представления сразу следует, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам вещественного криволинейного интеграла.

Втр 22 Окт 2013 23:57:37
>>56560419
Во, спасибо, в эту тему я в своё время въехал.
>>56560411
Я думал, что дело было лет 10-13 назад. Ну ок тогда. Но всё равно как бы не каждый мог так. Только илита, наверное. А вообще мне в 95м было два года, лол. Я плохо помню то время. Что привело тебя сюда, олдфаг?

Втр 22 Окт 2013 23:58:05
онтурный интеграл

Особый практический интерес представляют интегралы по (замкнутому) контуру, то есть по кусочно-гладкой кривой без точек самопересечения, у которой начальная точка совпадает с конечной. Контур можно обходить в двух направлениях; положительным считается направление, при котором ограниченная контуром область располагается слева по ходу движения.

Если кривая \gamma образует замкнутый контур, употребляется особое обозначение интеграла:

\oint\limits_\gamma\!f(z)\, dz.

Имеет место важная интегральная теорема Коши: для любой функции f(z), аналитической в односвязной области A\subset\C и для любого замкнутого контура \gamma\subset A справедливо соотношение:

\oint\limits_\gamma\!f(z)\, dz=0.

Следствие: пусть функция f(z), аналитична в односвязной области A\subset\C, а точки z_1, z_2 из области A соединены некоторой кривой \gamma. Тогда интеграл \int\limits_\gamma\!f(z)\, dz зависит только от точек z_1, z_2, но не от выбора соединяющей их кривой \gamma, так что можно обозначить его \int\limits_{z_1}^{z_2} {f(z)\, dz}, и имеет место теорема Ньютона — Лейбница:

\int\limits_{z_1}^{z_2} {f(z)\, dz} = F(z_2) - F(z_1),

где F(z) — первообразная для f(z).

Другие мощные инструменты для исследования комплексных и вещественных интегралов:

Интегральная формула Коши и её следствия: принцип максимума модуля, теоремы о среднем
Основная теорема о вычетах

Теоремы единственности и аналитическое продолжение

Нулём функции f(z) называется точка z_0, в которой функция обращается в ноль: f(z_0)=0.

Теорема о нулях аналитической функции. Если нули функции f(z), аналитической в области D, имеют предельную точку внутри D, то функция f(z) всюду в D равна нулю.

Следствие: если функция f(z) аналитическая в области D и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти C \subset D у неё может быть лишь конечное число нулей.

Теорема единственности аналитической функции. Пусть \{z_n\} — сходящаяся последовательность различных точек области D. Если две аналитические функции f(z), g(z) совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в D.

В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в D, то они совпадают всюду в D. Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области её определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем её расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется аналитическим продолжением исходной функции.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость. При этом для их аналитических продолжений будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

\sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}

Разложение в ряд
Степенной ряд

Определение суммы числового ряда и признаки сходимости в комплексном анализе практически такие же, как в вещественном, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль; исключение составляют признаки сходимости, в которых происходит сравнение на больше-меньше самих элементов ряда, а не их модулей.

Всякая дифференцируемая в точке z_0 функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n

Коэффициенты ряда вычисляются по обычным формулам. Этот ряд сходится к функции f(z) в некотором круге радиуса R с центром в точке z_0, который служит аналогом интервала сходимости вещественного ряда. В этом круге ряд абсолютно сходится, а вне его расходится. При этом возможны 3 случая.

Ряд сходится в круге конечного и ненулевого радиуса.
Ряд сходится во всей комплексной плоскости, то есть R=\infty. Такие функции называются целыми.
Ряд сходится только в точке z_0. Пример: \sum_{n=0}^\infty n! (z-z_0)^n. Такие точки z_0 называются особыми для функции f(z). Неособые точки называются правильными. Внутренность круга сходимости состоит из правильных точек.

Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке z_0 равен расстоянию от z_0 до ближайшей к ней особой точки.

Теорема Абеля: если R — радиус круга сходимости степенного ряда, то в любом круге с тем же центром, но меньшего радиуса, ряд сходится равномерно.
Ряд Лорана

Представляет большой практический интерес исследование поведения функции вблизи изолированной особой точки, то есть точки, в окрестности которой функция аналитична, но в самой точке либо не аналитична, либо не определена. Степенной ряд здесь бесполезен, поэтому вводится более общий ряд Лорана:

\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {c_{-n}} {(z-z_0)^n}

Если область сходимости ряда Лорана не пуста, она представляет собой круговое кольцо: ~r&lt; z-z_0 &lt;R.

Основная теорема: если функция f(z) аналитична в круговом кольце, то она может быть представлена в этом кольце сходящимся рядом Лорана, причём однозначно.

Как и для степенного ряда, границы кольца сходимости определяются распределением особых точек функции. По виду ряда Лорана можно сделать некоторые выводы о поведении функции вблизи точки z_0.

Устранимая особая точка: если ряд Лорана не содержит элементов с отрицательными степенями ~z-z_0. Тогда это просто степенной ряд, определяющий функцию в некотором круге, окружающем ~z_0. Сумма ряда в этом круге конечна и может отличаться от f(z) только в точке z_0, так что достаточно переопределить ~f(z_0), чтобы функция стала аналитичной во всём круге. Имеет место следующий признак: если функция вблизи z_0 аналитична и ограничена, то z_0 — устранимая особая точка.
Полюс: если ряд Лорана содержит конечное число элементов с отрицательными степенями ~z-z_0. В этом случае функция в точке z_0 бесконечна (по модулю).
Существенно особая точка: если ряд Лорана содержит бесконечное число элементов с отрицательными степенями ~z-z_0. В этом случае функция в точке z_0 не может быть корректно определена так, чтобы быть непрерывной.

Приложения в вещественном анализе

С помощью теории вычетов, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведем классический пример: функция

f(x)=\frac{1}{1+x^2}

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots

Этот ряд сходится только в интервале (-1;\;1), хотя точки \pm 1 не являются какими-то особенными для f(x).

Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного f(z)=\frac{1}{1+z^2}, у которой обнаруживаются две особые точки: \pm i. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге \Delta=\{z\colon z &lt;1\}.

Втр 22 Окт 2013 23:58:14
Двач-образовач просто. Шишка гипоталамуса встала, сейчас матан сдавать буду.

Втр 22 Окт 2013 23:58:32
>>56560357
Угораю с таких постов.
Мимо учитель физики, отнимавший у школьников двачевальни.

Втр 22 Окт 2013 23:59:43
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания).

Тензор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление.
Тензор механического напряжения второго ранга. Компоненты тензора в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу \scriptstyle\sigma = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} &amp; \sigma_{12} &amp; \sigma_{13} \\ \sigma_{21} &amp; \sigma_{22} &amp; \sigma_{23} \\ \sigma_{31} &amp; \sigma_{32} &amp; \sigma_{33} \end{bmatrix} столбцами которой являются силы, действующие на \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, и \mathbf{e}_3 грани куба.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу d\times d\times \cdots \times d, заполненную числами — компонентами тензора (где d — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом. Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.

Тензор обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов: X^{i_1i_2\dots i_r}_{j_1j_2\dots j_s}. При смене базиса ковариантные компоненты меняются так же как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные — обратно изменению базиса (обратным преобразованием).
Содержание

1 Определения
1.1 Современное определение
1.2 Тензор как полилинейная функция
2 Компоненты тензора
2.1 О классическом определении
3 Примеры
4 Тензорные операции
5 Симметрии
6 Тензоры в физике
7 См. также
8 Литература

Определения
Современное определение

Тензор ранга (n, m) над d-мерным векторным пространством V это элемент тензорного произведения n пространств V и m сопряжённых пространств V^* (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на V)

\begin{matrix} \tau \in T^n_m(V) &amp; = &amp; \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V} &amp; \otimes &amp; \underbrace{ V^\otimes \ldots \otimes V^} \\ &amp; &amp; n &amp; &amp; m \end{matrix}

Сумма чисел n+m называется валентностью тензора (её также часто называют рангом). Тензор ранга (n, m) также называется n раз контравариантным и m раз ковариантным.
Тензор как полилинейная функция

Точно так же как тензор ранга (0, 1) можно представлять как линейный функционал на пространстве V, тензор \tau ранга (0, n) удобно представлять себе как функцию \tau(v_1, v_2, \ldots, v_n) от n векторных аргументов v_i\in V, которая линейна по каждому аргументу v_i (такие функции называются полилинейными), то есть для любой константы c из поля F (над которым определено векторное пространство)

\tau(v_1, \ldots, cv_A, \ldots, v_n)=c\tau(v_1, \ldots, v_A, \ldots, v_n)
\tau(v_1, \ldots, v_A+v_A', \ldots, v_n)=\tau(v_1, \ldots, v_A, \ldots, v_n)+\tau(v_1, \ldots, v_A', \ldots, v_n).

В том же ключе, тензор \tau произвольного ранга (n, m) представляется полилинейным функционалом от m векторов и n ковекторов:

\tau(v_1, v_2, \ldots, v_m, \omega^1, \omega^2, \ldots, \omega^n)
\tau:V^m\times (V^*)^n \to F

Срд 23 Окт 2013 00:00:16
Топология (от др.-греч. — место и — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы.
Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.
Содержание [убрать]
1 История
2 Разделы топологии
2.1 Общая топология
2.2 Алгебраическая топология
2.3 Дифференциальная топология
2.4 Вычислительная топология
3 См. также
4 Примечания
5 Литература
6 Ссылки
История[править править исходный текст]



Семь мостов Кёнигсберга — одна из первых задач топологии, рассмотренная Эйлером
Раздел математики, который мы теперь называем топологией, берет свое начало с изучения некоторых задач геометрии. Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:
Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов, или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их
совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин[1]
Когда топология еще только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрия размещения (лат. geometria situs) или анализ размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.
Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX в. Основополагающие работы принадлежат Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Срд 23 Окт 2013 00:00:19
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания).

Тензор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление.
Тензор механического напряжения второго ранга. Компоненты тензора в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу \scriptstyle\sigma = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} &amp; \sigma_{12} &amp; \sigma_{13} \\ \sigma_{21} &amp; \sigma_{22} &amp; \sigma_{23} \\ \sigma_{31} &amp; \sigma_{32} &amp; \sigma_{33} \end{bmatrix} столбцами которой являются силы, действующие на \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, и \mathbf{e}_3 грани куба.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу d\times d\times \cdots \times d, заполненную числами — компонентами тензора (где d — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом. Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.

Тензор обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов: X^{i_1i_2\dots i_r}_{j_1j_2\dots j_s}. При смене базиса ковариантные компоненты меняются так же как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные — обратно изменению базиса (обратным преобразованием).
Содержание

1 Определения
1.1 Современное определение
1.2 Тензор как полилинейная функция
2 Компоненты тензора
2.1 О классическом определении
3 Примеры
4 Тензорные операции
5 Симметрии
6 Тензоры в физике
7 См. также
8 Литература

Определения
Современное определение

Тензор ранга (n, m) над d-мерным векторным пространством V это элемент тензорного произведения n пространств V и m сопряжённых пространств V^* (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на V)

\begin{matrix} \tau \in T^n_m(V) &amp; = &amp; \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V} &amp; \otimes &amp; \underbrace{ V^\otimes \ldots \otimes V^} \\ &amp; &amp; n &amp; &amp; m \end{matrix}

Сумма чисел n+m называется валентностью тензора (её также часто называют рангом). Тензор ранга (n, m) также называется n раз контравариантным и m раз ковариантным.
Тензор как полилинейная функция

Точно так же как тензор ранга (0, 1) можно представлять как линейный функционал на пространстве V, тензор \tau ранга (0, n) удобно представлять себе как функцию \tau(v_1, v_2, \ldots, v_n) от n векторных аргументов v_i\in V, которая линейна по каждому аргументу v_i (такие функции называются полилинейными), то есть для любой константы c из поля F (над которым определено векторное пространство)

\tau(v_1, \ldots, cv_A, \ldots, v_n)=c\tau(v_1, \ldots, v_A, \ldots, v_n)
\tau(v_1, \ldots, v_A+v_A', \ldots, v_n)=\tau(v_1, \ldots, v_A, \ldots, v_n)+\tau(v_1, \ldots, v_A', \ldots, v_n).

В том же ключе, тензор \tau произвольного ранга (n, m) представляется полилинейным функционалом от m векторов и n ковекторов:

\tau(v_1, v_2, \ldots, v_m, \omega^1, \omega^2, \ldots, \omega^n)
\tau:V^m\times (V^*)^n \to F

Компоненты тензора

Срд 23 Окт 2013 00:00:42


>>56560382
Это форум корзиночек. Ты жестока. И не даешь им.

Срд 23 Окт 2013 00:00:53
Компоненты тензора

Выберем в пространстве V базис \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_d\}, и соответственно \{\mathbf{f}^1, \mathbf{f}^2, \ldots, \mathbf{f}^d\} — дуальный базис в сопряжённом пространстве V^* (то есть (\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b, где \delta_a^b — символ Кронекера).

Тогда в пространстве тензоров \Tau^n_m(V)=\left(\bigotimes_{i=1}^n V\right) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^m V^*\right) естественным образом возникает базис

\{ \mathbf{e}_{i_1}\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_2}\, \otimes\, \ldots\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_n}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_1}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_2}\, \otimes\, \ldots\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_m}\}, \quad 1\leqslant i_a, j_b \leqslant d.

Произвольный тензор \tau\in \Tau^n_m(V) можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

\tau = \sum_{j_1, j_2, \ldots, j_n} \sum_{i_1, i_2, \ldots, i_m} {\tau^{i_1, i_2, \ldots, i_m}_{j_1, j_2, \ldots, j_n}} \mathbf{e}_{i_1}\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_2}\, \otimes\, \ldots\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_m}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_1}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_2}\, \otimes\, \ldots\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_n}.

Используя соглашение Эйнштейна это разложение записывается как

\tau = {\tau^{i_1, i_2, \ldots, i_m}_{j_1, j_2, \ldots, j_n}} \mathbf{e}_{i_1}\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_2}\, \otimes\, \ldots\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_m}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_1}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_2}\, \otimes\, \ldots\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_n}.

Числа \tau^{i_1, i_2, \ldots, i_m}_{j_1, j_2, \ldots, j_n} называются компонентами тензора \tau. Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние — контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора h будет таким:

h = \sum_{j, k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе \Tau^m_n(V)=\left(\bigotimes_{i=1}^n V^*\right) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^m V\right):

{\tau^{i_1, i_2, \ldots, i_m}_{j_1, j_2, \ldots, j_n}} = \tau( \mathbf{f}^{i_1}, \mathbf{f}^{i_2}, \ldots, \mathbf{f}^{i_m}, \mathbf{e}_{j_1}, \mathbf{e}_{j_2}, \ldots, \mathbf{e}_{j_n} ), \quad 1\leqslant i_a, j_b \leqslant d.

О классическом определении

Классический подход к определению тензора, более распространённый в физической литературе, начинает с представления тензоров в компонентах. Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом, то есть набором чисел, занумерованных несколькими индексами, или, иначе говоря, таблицей (вообще говоря, n-мерной, где n — валентность тензора (см. выше)).

Так вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом (строкой или лучше — столбцом), а такие объекты как линейный оператор и квадратичная форма — двумерной матрицей. Скаляр же (тензор нулевого ранга) задаётся одним числом (которое можно рассматривать как нульмерный массив с единственным элементом). (Скаляры и векторы удобно рассматривать в качестве частных случаев тензоров, так как все тензорные определения и теоремы для них в силе и векторы со скалярами можно при общем рассмотрении не упоминать отдельно.)

Вводятся тензорные операции, которые можно считать прямым обобщением матричных операций (умножение матриц между собой и с векторами), а также векторных операций, таких, как скалярное произведение. Эти операции, если исходить из современного (аксиоматического) определения, прямо вытекают из (поли-)линейности тензоров в этом определении, после разложения векторов, свёртываемых с тензорами, по базису векторного пространства, точно так же, как и матричные операции вытекают из линейности линейных операторов и билинейных форм, представлением каждого из которых в конкретном базисе является конкретная матрица.

С помощью этих операций тензоры связываются с такими фундаментальными геометрическими объектами, как векторы и скаляры, чем, в конечном счёте, определяется их геометрический смысл. Эти же операции связывают тензоры с матрицами преобразований координат (матрицами Якоби). Если речь идёт о тензорном анализе на (римановом или псевдоримановом, с которыми обычно имеют дело в классическом подходе, по крайней мере, на первом этапе) многообразии общего вида, все эти операции определяются обычно общековариантным способом (то есть способом, не зависящим от выбора криволинейных координат) с помощью метрического тензора.

Основными тензорными операциями являются сложение, в этом подходе сводящееся к покомпонентному сложению, аналогично векторам, и свёртка — с векторами, между собой и сами с собой, обобщающая матричное умножение, скалярное произведение векторов и взятие следа матрицы. Умножение тензора на число (на скаляр) можно при желании считать частным случаем свёртки, оно сводится к покомпонентному умножению.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность, от них не зависит.

Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое.

Например, скалярное произведение и длина векторов не меняется при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным. Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ построения скалярных инвариантов.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону.

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса


Следует заметить, что при этом подразумевается, что все тензоры (все тензоры над одним векторным пространством), независимо от их ранга (то есть и векторы в том числе), преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы). Компоненты тензора, таким образом, преобразуются по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент.

Например, компоненты тензора

\tau^i_{jk}

преобразуется так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов

\ a^ib_jc_k

Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора.

Срд 23 Окт 2013 00:00:56
>>56560382
> Почему вы имеете право создавать треды с пиздостраданиями, а мы — нет? Делите /b, пидоры
лол

Срд 23 Окт 2013 00:01:49
>>56560514
а, прости, из моих слов не было ясно, что прошло больше десяти лет. Ну да, мы и были в то время илита и сейчас еще некоторым образом. Сюда привело любопытство и, как ни странно, желание помочь кому-нибудь, если вдруг кому нужна моя помощь.

Срд 23 Окт 2013 00:02:11
>>56559487
Жирно.

Срд 23 Окт 2013 00:02:24
Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучаются понятия «непрерывности» и «предела» в наиболее общем смысле.
Содержание [убрать]
1 Область изучения
2 История
3 См. также
4 Замечания
5 Литература
Область изучения[править править исходный текст]

Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный. Множество называется топологическим пространством, когда задано определённое семейство его открытых подмножеств, удовлетворяющее аксиомам. Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой «антидискретной (тривиальной) топологии», склеивающей все точки вместе.
Базовые понятия теории множеств (множество, функция, ординальные числа и кардинальные числа, аксиома выбора, лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображаениями, классификация топологических пространств.
В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии, общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений (топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами: алгебраическими и т.п.). Язык общей топологии включает такие понятия как окрестности, замыкания множеств (а также внутренности), компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров.
Общая топология включает в себя теорию размерности.

Срд 23 Окт 2013 00:02:27
Примеры

Тензор ранга (0, 0) есть скаляр;
Тензор ранга (1, 0) есть вектор (точнее контравариантный вектор) — это просто элемент пространства V;
Тензор ранга (0, 1) есть ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства V^*;
Тензор ранга (0, 2) есть билинейная форма, например метрический тензор g_{ij} на касательном пространстве.
Тензор ранга (1, 1) есть линейный оператор A:V\to V или A:V^\to V^
В частности, единичный оператор, который может быть представлен единичной матрицей \delta^i_j — тензор ранга (1, 1).
Форма объёма на n-мерном линейном пространстве есть пример антисимметрического тензора ранга (0, n) (или n раз ковариантного)
Риманова кривизна в естественном виде R^i_{\ jkl} — пример тензора ранга (1, 3), её свёртки — тензор Риччи R_{ij} и скалярная кривизна R=R_{ij}g^{ij} — примеры тензоров соответственно ранга (0, 2) и (0, 0), то есть последний — скаляр.

Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат. Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.

Простым, хотя в целом несколько искусственным, примером такой таблички, не представляющей тензор, может быть табличка, компоненты которой представляют набор произвольных чисел, никак не меняющихся при произвольных преобразованиях координат. Такой объект не представляет тензора, или, во всяком случае, не представляет тензора на линейном пространстве, в котором произошло преобразование координат. Так, набор из трёх чисел не представляет трёхмерного вектора, если эти числа не преобразуются при замене координат совершенно определённым образом.

Также в общем случае подмножество компонент тензора высшего ранга не является тензором низшего ранга.
Не представляет тензора также объект, все компоненты которого нули хотя бы в одной невырожденной системе координат (в полном базисе), тогда как в другой хотя бы одна компонента ненулевая. Этот факт — следствие (поли-)линейности тензоров.

Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся:

Прежде всего к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат (матрицы Якоби), являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.

Символы Кристоффеля \Gamma^i_{\ jk} также не представляют тензора, хотя бы потому, что они могут быть обращены в ноль выбором координат вблизи произвольной точки, так же, как выбором (криволинейных) координат могут быть сделаны ненулевыми. Однако свёртка компонент связности с вектором дает настоящий вектор, а их разность — настоящий тензор (тензор кручения). Символы Кристоффеля, как и любые коэффициенты связности на расслоении, являются элементами более сложного пространства, чем пространство тензоров — расслоения струй.

Тензорные операции

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

Умножение на скаляр — умножение каждого компонента тензора на скаляр. Аналогично умножению вектора или скалярной величины (и то, и другое являются частными случаями тензора);

Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством.

Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга (m, n) на тензор ранга (m', n') является тензор суммарного ранга (m+m', n+n'), то есть если \sigma\in T^m_n и \tau \in T^{m'}_{n'} то их произведение

\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}.

Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:

P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}

Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:

B^i_{\ kl}\ = \sum_j A^{ji}_{\ \ jkl} = A^{ji}_{\ \ jkl}

(последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.
След матрицы — частный случай свёртки тензора с собой.

Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:

C^i_{jk}\ = \sum_m B^i_m A^m_{jk} = B^i_m A^m_{jk} (последнее — в записи Эйнштейна).
— операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.

Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:

u^i\ = \sum_j A^i_j v^j = A^i_j v^j (последнее — в записи Эйнштейна).

Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:

C^i_j\ = \sum_k B^i_k A^k_j = B^i_k A^k_j (последнее — в записи Эйнштейна).

Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора T_{ij} — это симметричный тензор \scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right), а антисимметризация — антисимметричный тензор \scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right). В общем случае симметризация по n индексам имеет вид

T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},
а антисимметризация:
T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\over n!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\, (\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}
Здесь \sigma — всевозможные перестановки индексов i_1, \ldots, i_n, а \mathrm{sign}\, (\sigma) — чётность перестановки \sigma. Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

Если T_{i_1\ldots i_n} симметричен по i_1\ldots i_n, то симметризация по этим индексам совпадает с T, а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.
Если T_{ij} \in V\otimes V, то T_{(ij)} \in V \vee V, T_{[ij]} \in V \wedge V. Здесь \vee — симметричное, а \wedge — внешнее произведение векторных пространств.


Срд 23 Окт 2013 00:02:56
Алгебраическая топология (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.
Содержание [убрать]
1 Основная идея
2 Теорема Брауэра (пример)
3 История
4 Литература
5 См. также
Основная идея[править править исходный текст]

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что алгебраические структуры устроены проще, чем топологические.
Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или K-теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы \pi_n(X). Из них главной является \pi_1(X) — так называемая фундаментальная группа, которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой.
Теорема Брауэра (пример)[править править исходный текст]

В качестве примера применения методов алгебраической топологии можно привести доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь D_n означает замкнутый n-мерный шар, S_{n-1} — его (n-1)-мерную границу (сферу):
Всякое непрерывное отображение f n-мерного шара D_n в себя имеет неподвижную точку, то есть такую точку x, что f(x)=x
Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:
Не существует непрерывного отображения g n-мерного шара D_n на свою границу S_{n-1} такого, что g(x)=x для всех точек границы (так называемой ретракции)
В самом деле, если у отображения f нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение g шара на сферу, проведя для каждой точки шара x луч, выходящий из f(x) и проходящий через x (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой S_{n-1} обозначим через y и положим g(x)=y. Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если x принадлежит сфере, то g(x)=x. Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.
Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция g. Обозначим i — вложение сферы в шар i(x)=x. Имеем:
произведение отображений gi=\mathrm{id} — тождественное отображение сферы (вначале i, затем g). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии являются так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству X соответствует в каждой размерности n своя абелева группа гомологий H_n(X), а каждому непрерывному отображению f:X\to Y соответствует гомоморфизм групп f_*:H_n(X)\to H_n(Y), причём произведению отображений fg соответствует произведение гомоморфизмов f_*g_*, а тождественному отображению \mathrm{id} соответствует тождественный изоморфизм \mathrm{id}_*. (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп.)
Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}, а H_{n-1}(D_n)=0. Тогда отображение g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1}) будет отображением в 0, но, с другой стороны, так как gi=\mathrm{id}, имеем g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z} — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.
Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом.

Срд 23 Окт 2013 00:03:54
>>56560550
ггг, клева

олдфаг 40lvl

Срд 23 Окт 2013 00:03:57
Симметрии

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

T(\underline{e^{j_1}, e^{j_2}}, \ldots, e^{j_n}, e_{i_1}, e_{i_2}, \ldots, e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2}, e^{j_1}}, \ldots, e^{j_n}, e_{i_1}, e_{i_2}, \ldots, e_{i_m});

T(e^{j_1}, e^{j_2}, \ldots, e^{j_n}, \underline{e_{i_1}, e_{i_2}}, \ldots, e_{i_m}) = T(e^{j_1}, e^{j_2}, \ldots, e^{j_n}, \underline{e_{i_2}, e_{i_1}}, \ldots, e_{i_m})

или в компонентах

{T_{\underline{j_1, j_2}, \ldots, j_n}}^{i_1, i_2, \ldots, i_m} = {T_{\underline{j_2, j_1}, \ldots, j_n}}^{i_1, i_2, \ldots, i_m}, \quad \forall j_1, j_2 = 1, 2, \ldots, (\dim(V)=\dim(V^*));

{T_{j_1, j_2, \ldots, j_n}}^{\underline{i_1, i_2}, \ldots, i_m} = {T_{j_1, j_2, \ldots, j_n}}^{\underline{i_2, i_1}, \ldots, i_m}, \quad \forall i_1, i_2 = 1, 2, \ldots, (\dim(V)=\dim(V^*)).

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

T(\underline{e^{j_1}, e^{j_2}}, \ldots, e^{j_n}, e_{i_1}, e_{i_2}, \ldots, e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2}, e^{j_1}}, \ldots, e^{j_n}, e_{i_1}, e_{i_2}, \ldots, e_{i_m});

T(e^{j_1}, e^{j_2}, \ldots, e^{j_n}, \underline{e_{i_1}, e_{i_2}}, \ldots, e_{i_m}) = -T(e^{j_1}, e^{j_2}, \ldots, e^{j_n}, \underline{e_{i_2}, e_{i_1}}, \ldots, e_{i_m})

или в компонентах

T_{\underline{j_1, j_2}, \ldots, j_n}^{i_1, i_2, \ldots, i_m} = -T_{\underline{j_2, j_1}, \ldots, j_n}^{i_1, i_2, \ldots, i_m}, \quad \forall j_1, j_2 = 1, 2, \ldots, (\dim(V)=\dim(V^*));

T_{j_1, j_2, \ldots, j_n}^{\underline{i_1, i_2}, \ldots, i_m} = -T_{j_1, j_2, \ldots, j_n}^{\underline{i_2, i_1}, \ldots, i_m}, \quad \forall i_1, i_2 = 1, 2, \ldots, (\dim(V)=\dim(V^*)).

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя любые индексы, учитывая, правда, следующее: симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии же, смешивающие ко- и контравариантные индексы тензоров, как правило, не имеют особого смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения (то есть неинвариантны).

Впрочем, в присутствии метрического тензора, наличие операций поднятия или опускания индекса устраняет это неудобство, и ограничение этим по сути снимается, когда тензор представлен подходящим образом (так, например, тензор кривизны Римана R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell} антисимметричен по первым двум и последним двум индексам).

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.
Тензоры в физике

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твердое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела.

Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся.

Срд 23 Окт 2013 00:04:35
Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.
История[править править исходный текст]

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.
Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии[править править исходный текст]

Дифференциальная геометрия кривых
Дифференциальная геометрия поверхностей
Риманова геометрия
Симплектическая топология
Теория поверхностей
Финслерова геометрия

Срд 23 Окт 2013 00:04:37
Примерами тензоров в физике являются:

метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала.
выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории.
тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряженности электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.
напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости.
едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д.
в механике абсолютно твердого тела важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твердое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию.
аналогичным свойством обладают тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.
часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты, входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе — совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или 1).
термин 4-тензор — применяется для обозначения любого тензора над четырёхмерным пространством-временем, повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты трёхмерного пространства, так и переход между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой. Это тензор над пространством 4-векторов, тензор, каждый индекс которого принимает четыре значения: одно «временное» и три «пространственных».

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров, а более точно — симметричных тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора (удельной) электропроводности \sigma. Интуитивно понятно, что анизотропная среда, например, кристалл, или даже какой-то специально изготовленный искусственный материал, не будет в общем случае проводить ток одинаково легко во всех направлениях (например, из-за формы и ориентации молекул, атомных слоев или каких-то надмолекулярных структур — можно представить себе, например, тонкие проволочки хорошо проводящего металла, одинаково ориентированные и вплавленные в плохо проводящую среду). Возьмем за основу для простоты и конкретности, последнюю модель (хорошо проводящие проволочки в плохо проводящей среде). Электропроводность вдоль проволочек будет большой, назовем ее \sigma_1, а поперек — маленькой, обозначим ее \sigma_2. (Ясно, что в общем случае (например, когда проволочки сплюснуты в сечении и эта сплюснутость также ориентирована у всех проволочек одинаково, электропроводность \sigma_3 будет отличаться от \sigma_2, в случае же круглых равномерно распределенных проволочек — \sigma_2=\sigma_3, но не равны \sigma_1.) Довольно нетривиальный в общем случае, но довольно очевидный в нашем примере, факт состоит в том, что найдутся три взаимно перпендикулярных направления, для которых связь вектора плотности тока \mathbf{j} и напряженности вызывающего его электрического поля \mathbf{E} будут связаны просто числовым множителем (в нашем примере — это направление вдоль проволочек, второе — вдоль их сплюснутости и третье перпендикулярное первым двум). Но любой вектор можно разложить на компоненты по этим удобным направлениям:

\mathbf{E} = E_1 \mathbf{e}_1 + E_2 \mathbf{e}_2 + E_3 \mathbf{e}_3
\mathbf{j} = j_1 \mathbf{e}_1 + j_2 \mathbf{e}_2 + j_3 \mathbf{e}_3

тогда можно для каждой компоненты записать:

\ j_i = \sigma_i E_i

И мы увидим, что для любого направления, не совпадающего с 1, 2 и 3, вектор \mathbf{j} уже не будет совпадать по направлению с \mathbf{E}, если только не равны хотя бы два из \sigma_1, \sigma_2 и \sigma_3.

Переходя к произвольным декартовым координатам, не совпадающим с этими выделенными направлениями, мы вынуждены будем включить матрицу поворота для преобразования координат, и поэтому в произвольной системе координат соотношение между \mathbf{j} и \mathbf{E} будет выглядеть так:

\ j_i = \sum_k \sigma_{ik} E_k

то есть тензор электропроводности будет представлен симметричной матрицей 3 \times 3.

Учитывая же то, что удельная мощность тепловыделения w в проводнике равна скалярному произведению \mathbf{j}\cdot\mathbf{E}, нетрудно записать:

\ w = \sum_{ik} E_i \sigma_{ik} E_k

или

\ w = \sum_{ik} j_i \rho_{ik} j_k,

где \rho — удельное сопротивление — матрица, обратная матрице \sigma. Так мы наглядно видим еще одно типичное использование симметричного тензора второго ранга в физике — как квадратичной формы, преобразующей вектор в скаляр.

В этом примере для простоты использовались только прямоугольные равномасштабные декартовы координаты, поэтому различие верхних и нижних тензорных индексов отсутствует.

Таким образом, мы получили (правда, говоря строго, только для случая симметричного тензора) хороший наглядный геометрический образ тензора, применимый в физике. Этот образ состоит из ортогонального базиса (называемого собственным базисом тензора или его собственными координатами), ориентированного в пространстве определенным образом (определяемым свойствами среды, порождающей тензор), и трех (для трехмерного пространства) чисел (коэффициентов), связанных каждое с одной из этих осей (называемых собственными числами или собственными значениями тензора), предназначенных для умножения на них соответствующих компонент вектора, чтобы получить компоненты вектора нового. Как видим, в частном случае \sigma_1=\sigma_2=\sigma_3 умножение на тензор \sigma сводится к умножению на число (на скаляр).

Или, умножая квадраты этих компонент (компонент в собственном базисе тензора) вектора на собственные числа, и сложив их, получаем скаляр. Поверхности уровня такой квадратичной формы — эллипсоиды. Такой эллипсоид служит также хорошим геометрическим образом тензора. Направление его главных осей — дает собственный базис тензора, а их величины — определяют его собственные числа.

В алгебре же всё сказанное иллюстрирует понятия собственных векторов (собственного базиса) и собственных чисел линейного оператора, квадратичной формы или матрицы, а процесс нахождения собственного базиса и собственных чисел (называемый задачей на собственные значения) называется диагонализацией оператора, квадратичной (или билинейной) формы или матрицы (так как матрица, представляющая оператор или билинейную форму становится в этом базисе диагональной).

Срд 23 Окт 2013 00:05:23
>>56560382
Тут дело-то совсем не в пиздостраданиях, а именно в тупых шлюхах. Они тупые, и они шлюхи. И эти два качества, когда они вместе, это хуже... хуже всего. Потому что человек просто даже не осознаёт, какой он гнилой внутри и пытается кем-то другим казаться, причём для самого же себя. И просто этот цирк весь, это лицемерие, тошно просто делается от этого. Но даже не это плохо, а то, что это всё реально на жизнь влияет, на уровень жизни, изменяет его. И заметь, не в лучшую сторону.

Просто вдумайся в эту ситуацию, какая-то тупая шлюха рассказывает, как она себе хуйца искала, причём неудачно, но в конце-концов её отъебали. И вот она сидит тут и чего-то хочет. Чего? Чтобы ещё раз её оттрахали? Какого вот такого хуя это должно вообще происходить в этом мире, если я тоже живу в нём, я же тоже хочу чего-то, да чтобы просто приятно было здесь находиться и всё, я каких-то сверх благ не требую.

Срд 23 Окт 2013 00:05:25
етрический тензор или метрика — это симметричное тензорное поле ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

(Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу).

Содержание

1 Способы задания
1.1 Координатное представление
1.1.1 Замечания
1.2 Представление в поле реперов
1.3 Индуцированная метрика
1.3.1 Более обобщенно
2 Типы метрических тензоров
3 Связанные определения
4 Свойства
5 Метрика и объём
6 Примеры
7 Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством
8 Примечания
9 См. также

Способы задания
Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах x^1, x^2, \dots, x^n, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле g_{ij}\ . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей \partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}:

\left\langle\partial_i, \partial_j\right\rangle=g_{ij}.

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

\left\langle v, w\right\rangle=g_{ij}v^iw^j,

где v=v^i\partial_i\ , w=w^i\partial_i — представление векторных полей в локальных координатах.
Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора g^{ij}.

В случае невырожденных метрик

g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k,

где \delta^i_k — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор g^{ij}, но тензор g_{ij} для неё неопределён.
Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля ~\{e_i(p)\} и матрицы g_{ik}(p) = \langle e_i(p), e_k(p)\rangle.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].
Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением r многообразия M в евклидово пространство E, может быть посчитана по формуле:

g = J_r^T J_r,

где J_r означает матрицу Якоби вложения r и J^T_r — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства \frac{\partial}{\partial x_i}, которые в этом случае можно отождествить с \frac{\partial r}{\partial x_i}, определяются как

g_{ij}=g\left(\frac\partial{\partial x_i}, \frac\partial{\partial x_j}\right)= \left\langle\frac{\partial r}{\partial x_i}, \frac{\partial r}{\partial x_j}\right\rangle,

где \langle*, *\rangle обозначает скалярное произведение в E.
Более обобщенно

Пусть (N, h) многообразие с метрикой и r:M\to N гладкое вложение. Тогда метрика g на M, определённая равенством

g(X, Y)=h(dr(X), dr(Y))

называется индуцированной метрикой. Здесь dr обозначает дифференциал отображения r.

Срд 23 Окт 2013 00:06:00
>>56559487
Оля, заебала уже на дваче сидеть. Работу нашла, кстати?

Срд 23 Окт 2013 00:06:03
Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров g подразделяется на два класса:

невырожденные или псевдоримановы метрики, когда \ \det(g_{ij}) \neq 0 во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
К этому классу относится метрика Лоренца.
Вырожденные метрики, когда \ \det(g_{ij}) = 0 либо \ \det(g^{ij}) = 0 в некоторых точках.
Многообразие M^n\ , метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».
Связанные определения

Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

Риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии.

Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства

Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на ее основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора \det \{g_{ij}\} дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина \sqrt{ \det \{g_{ij}\} } играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, \sqrt{ \det \{g_{ij}\} } входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

S = \int s(x)\, d\Omega = \int s(x) \sqrt{ \det \{g_{ij}\} }\, dx^1\, dx^2\, \ldots\, dx^n,

где d\Omega — это элемент n-мерного объема, а dx^i — дифференциалы координат.

Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

Метрический тензор на евклидовой плоскости:
В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

g = \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{bmatrix}, \ \ g_{ij}=\delta_{ij}

В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
В полярных координатах: (r, \theta)

g = \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; r^2\end{bmatrix} \

Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса R, вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах (\theta, \varphi) метрика принимает вид:

g = \begin{bmatrix} R^2 &amp; 0 \\ 0 &amp; R^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.

Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

g = \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1\end{bmatrix}, \ \ g_{ij}=\delta_{ij}

В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
В сферических координатах: (r, \theta, \phi):

g = \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; r^2 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.

Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть v \in T_p M — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g на M, мы получаем, что g(v, \cdot), то есть отображение, которое переводит другой вектор w \in T_p M в число g(v, w), является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) T_p^*M. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что g сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

\ g_{ij}v^j = v_i — опускание индекса для вектора,
\ g^{ij}v_j = v^i — поднятие индекса для вектора,
\ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs} = T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs} — пример одновременного поднятия индекса j и опускания индекса n для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

Срд 23 Окт 2013 00:06:16
Топологическое пространство — множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией); является основным объектом изучения раздела геометрии под названием топология.
Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства. Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.
Содержание [убрать]
1 Определение
2 Связанные определения
2.1 Дополнительные аксиомы
3 Примеры
4 Способы задания топологии
4.1 Задание топологии с помощью базы или предбазы
4.2 Индуцированная топология
4.3 Задание топологии с помощью замкнутых множеств
5 Непрерывные отображения
6 См. также
7 Литература
Определение[править править исходный текст]

Пусть дано множество X. Система \mathcal{T} его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:
Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих \mathcal{T}, принадлежит \mathcal{T}, то есть если U_{\alpha} \in \mathcal{T} \quad \forall \alpha \in A, то \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.
Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих \mathcal{T}, принадлежит \mathcal{T}, то есть если U_{i} \in \mathcal{T} \quad i = 1, \;\ldots, \;n, то \bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}.
X, \;\varnothing \in \mathcal{T}.
Пара (X, \;\mathcal{T}) называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие \mathcal{T}, называются открытыми множествами.
Связанные определения[править править исходный текст]

Множества, дополнительные к открытым, называются замкнутыми.
Всякое открытое множество, содержащее данную точку называется её окрестностью.
Дополнительные аксиомы[править править исходный текст]
Три аксиомы, определяющие общий класс топологических пространств, часто дополняются теми или иными аксиомами отделимости, в зависимости от которых выделяют различные классы топологических пространств, например, тихоновские пространства, хаусдорфовы пространства, регулярные, вполне регулярные, нормальные пространства и др.
Кроме этого, на свойства топологических пространств сильно влияет выполнение тех или иных аксиом счетности — первая аксиома счётности, вторая аксиома счётности (пространства со счетной базой топологии), а также сепарабельность пространства. Из наличия счетной базы топологии следует сепарабельность и выполнение первой аксиомы счетности. Кроме того, например, регулярные пространства со счетной базой являются нормальными и более того, метризуемы, то есть их топология может быть задана некоторой метрикой. Для компактных хаусдорфовых пространств наличие счетной базы топологии является необходимым и достаточным условием метризуемости. Для метрических пространств наличие счетной базы топологии и сепарабельность — эквивалентны.
Примеры[править править исходный текст]

Связное двоеточие — двуточечное топологическое пространство.
Вещественная прямая \R является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов \{(a, \;b)\mid a, \;b\in\R\} является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, \R_\to, прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид (a, \infty), или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.
Вообще, евклидовы пространства \R^n являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.
Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. Таковы, например, изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.
Рассмотрим множество C(X, \;Y) непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами C(K, \;U), состоящими из отображений, при которых образ компакта K в X лежит в открытом множестве U в Y.
Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств X, а именно, ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство X.

Срд 23 Окт 2013 00:06:46
Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля T в направлении касательного вектора {\mathbf v} обычно обозначается \nabla_{\mathbf v}T.
Содержание

1 Формальное определение
1.1 Скалярные функции
1.2 Векторные поля
1.2.1 Замечание
1.3 Ковекторные поля
1.4 Тензорные поля
2 Выражение в координатах
2.1 Примеры для некоторых типов тензорных полей
3 См. также
4 Литература

Формальное определение
Скалярные функции

Для скалярной функции f ковариантная производная {\nabla}_{\mathbf{v}} f совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля \mathbf{v}.
Векторные поля

Ковариантная производная \nabla векторного поля {\mathbf u} по направлению векторного поля {\mathbf v} , обозначаемая \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} определяется по следующим свойствам, для любого вектора \mathbf{v}, векторных полей \mathbf{u}, \mathbf{w} и скалярных функций f и g:

\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} линейно по отношению к {\mathbf v}, то есть \nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}
\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} аддитивно относительно {\mathbf u}, то есть \nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}
\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} подчиняется правилу произведения, то есть \nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f, где \nabla_{\mathbf v}f определено выше.

Замечание

Заметим, что \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} в точке p зависит только от значения \mathbf{v} в точке p и от значений \mathbf{u} в ее окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).
Ковекторные поля

Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) \alpha, его ковариантная производная \nabla_{\mathbf v}\alpha может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей \mathbf{u}

\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля \mathbf{v} — тоже ковекторное поле.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.
Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (\varphi и {\psi} — произвольные тензоры):

\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),

Если \varphi и \psi — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.

Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа (p, q) задано своими компонентами {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}(\mathbf{x}) в некоторой локальной системе координат x^k, причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p, q+1), который определяется по формуле:

\nabla_\ell{T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1\ldots k\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1\ldots m\ldots j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}

где \Gamma^{k} {}_{ij} — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.
Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля V^m\ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\

Ковариантная производная скалярного поля \varphi\ совпадает с частной производной,

\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\

а ковариантная производная ковекторного поля \omega_m\ -

\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\

Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2, 0) A^{ik}\ равна

\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \

то есть

A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{, \ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k, \ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0, 2),

A_{ik;\ell} = A_{ik, \ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \

Срд 23 Окт 2013 00:06:47
>>56560802
Давай про цифровую обработку сигналов, мне подучить надо.

Срд 23 Окт 2013 00:06:54
База топологии (базис топологии, открытая база, база топологического пространства) — семейство открытых подмножеств топологического пространства X такое, что каждое открытое множество в X является объединением элементов базы. Понятие базы — одно из основных в топологии. Во многих вопросах, относящихся к открытым множествам некоторого пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его базы. Топологическое пространство может иметь много баз, наибольшую из которых образует семейство всех открытых множеств.
Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.
Содержание [убрать]
1 Примеры
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Объекты, определённые в терминах баз
5 Вариации и обобщения
6 Литература
Примеры[править править исходный текст]

Если X и Y — топологические пространства с базами топологий \mathfrak{B}_X и \mathfrak{B}_Y, тогда топология на декартовом произведении X\times Y задаётся с помощью базы
\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\, : U\in\mathfrak{B}_X, \, V\in\mathfrak{B}_Y\}
При этом топология на X\times Y не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.
Топология пространства действительных чисел \R задаётся системой всех интервалов (a, b), которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства {\R}^n задаётся базой открытых брусов (a_1, b_1)\times(a_2, b_2)\times\dots\times(a_n, b_n), и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
Связанные определения[править править исходный текст]

Nuvola apps important recycle.svg
Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.
Инфимум мощностей всех баз называется весом топологического пространства X.
В пространстве веса \tau существует всюду плотное множество мощности \leqslant \tau.
Пространства со счетной базой называются также пространствами со второй аксиомой счетности.
Локальной базой пространства X в точке x \in X (базой точки x) называется семейство \mathfrak{B}(x) его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности O_x точки x найдется элемент V \in \mathfrak{B}(x) такой, что x \in V \subset O_x.
Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
Пусть \mathfrak{m}, \mathfrak{n} — некоторые кардинальные числа. База \mathfrak{B} пространства X называется \mathfrak{m}-точечной, если каждая точка x \in X принадлежит не более чем \mathfrak{m} элементам семейства \mathfrak{B}. В частности, при \mathfrak{m}=1 база называется дизъюнктной, при конечном \mathfrak{m} — точечно конечной, при \mathfrak{m}=\aleph_0 — точечно счетной.
База \mathfrak{B} пространства X называется \mathfrak{m}-локальной, если для каждой точки x \in X существует ее окрестность O_x, пересекающаяся с не более чем \mathfrak{m} элементами семейства \mathfrak{B}. В частности, при \mathfrak{m}=1 база называется дискретной, при конечном \mathfrak{m} — локально конечной, при \mathfrak{m}=\mathcal{X}_0 — локально счетной.
База \mathfrak{B} называется \mathfrak{n}-\mathfrak{m}--точечной (\mathfrak{n}-\mathfrak{m}--локальной), если она является объединением множества мощности \mathfrak{n}\mathfrak{m}-точечных (\mathfrak{m}-локальных) баз. Таковы, например, при \mathfrak{n}=\aleph_0 \sigma-дизъюнктные, \sigma-точечно конечные, \sigma-дискретные, \sigma-локально конечные базы.
Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной базой или с первой аксиомой счетности и точечно счетной базой метризуемо; регулярное пространство с \sigma-дискретной или с \sigma-локально конечной базой метризуемо (обратное верно только для первого утверждения).
База \mathfrak{B} пространства X называется равномерной (k-равномерной), если для каждой точки x \in X (каждого бикомпактного подмножества F) и каждой ее (его) окрестности Ox(OF) лишь конечное число элементов базы содержит x (пересекается с F) и одновременно пересекается с дополнением X\smallsetminus Ox(X\smallsetminus OF).
Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной базой (колмогоровским, или T_0-пространством с k-равномерной базой).
База \mathfrak{B} пространства X называется регулярной, если для каждой точки x \in X и произвольной её окрестности O_x существует такая окрестность O'_x, что множество всех элементов базы, пересекающихся одновременно с O'_x и X\smallsetminus O_x, конечно.
Свойства[править править исходный текст]

Семейство \mathfrak{B} открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда оно является локальной базой каждой его точки x \in X.
Для метризуемости достижимого или T1-пространства необходимо и достаточно наличия в нём регулярной базы.

Срд 23 Окт 2013 00:07:35
>>56559487
Настя, иди нахуй отсюда

Срд 23 Окт 2013 00:07:47
>>56560403
Он покащывает степень накала пердочелло.
Не может понять, что сага только ньюфагам видна.
Суть оппоста - что двач не торт. Это так. Реально вся интересная публика свалила хуй знант куда и редко ридонли занлядывает + успешнокунов- социопатов праыда больше тут нкт. Уже как пол года. Наверное в хиддаче, после признания макаки, что если надо - все айпи сольет.
Поддерживаю реквечт пиздятины, где сожно анонимно общаться, скажите?

Срд 23 Окт 2013 00:07:50
>>56560834
Перейти к: навигация, поиск

Линейный фильтр — динамическая система, применяющая некий линейный оператор ко входному сигналу для выделения или подавления определённых частот сигнала и других функций по обработке входного сигнала. Линейные фильтры широко применяются в электронике, цифровой обработке сигналов и изображений, в оптике, теории управления и других областях.

Наиболее часто они используются для того, чтобы подавить нежелательные частоты входного сигнала или для того чтобы выделить нужную полосу частот в сигнале. Существует большое количество различных типов и модификаций линейных фильтров, в статье описаны наиболее распространённые.

Несмотря на природу фильтра — механическую, оптическую, электронную, программную или электрическую, а также на частотный диапазон, в котором они работают, математическая теория линейных фильтров универсальна и может быть применена к любому из них.
Содержание

1 Классификация по передаточной функции
1.1 Импульсная переходная функция
1.2 Частотные характеристики
2 Проектирование фильтров
3 См. также
4 Ссылки

Классификация по передаточной функции
Импульсная переходная функция

Линейные фильтры разделяются на два больших класса по виду импульсной переходной функции: фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) и фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). До недавнего времени практическое использование имели только аналоговые БИХ-фильтры, однако с развитием цифровой техники КИХ-фильтры стали применяться повсеместно.
Частотные характеристики

По виду частотной характеристики фильтры подразделяются на:

Фильтр низких частот — пропускает низкие частоты сигнала.
Фильтр высоких частот — пропускает высокие частоты сигнала.
Полосовой фильтр — пропускает ограниченную полосу частот сигнала.
Режекторный фильтр пропускает все частоты, кроме определённой полосы.
Фазовый фильтр пропускает все частоты сигнала, но изменяет его фазу.

Полосовые и режекторные фильтры могут быть сконструированы путём последовательного соединения фильтров низких и высоких частот.
Проектирование фильтров

Линейные фильтры всех видов могут быть однозначно описаны с помощью их амплитудной и фазо-частотной характеристик, либо импульсной характеристики. С математической точки зрения непрерывные БИХ-фильтры описываются линейными дифференциальными уравнениями, а их импульсные характеристики — функции Грина для этих уравнений. Непрерывные фильтры также могут быть описаны с помощью преобразования Лапласа импульсной характеристики (в случае дискретных фильтров используется Z-преобразование).

Для проектирования фильтров широко применяются графические способы, например, с помощью диаграмм Боде или Найквиста, а также проектирование на комплексной плоскости, путём размещения нулей и полюсов передаточной функции фильтра.

Существует ряд различных типов фильтров по виду частотной характеристики, обеспечивающих качественное выполнение тех или иных задач.

Наиболее распространённые типы БИХ-фильтров:

Фильтр Бесселя
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышева
Эллиптический фильтр

КИХ-фильтры могут быть осуществлены с помощью свёртки сигнала с импульсной характеристикой фильтра.

Срд 23 Окт 2013 00:08:32
>>56560867
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава объекта, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая спектры электромагнитного излучения, акустических волн, распределения по массам и энергиям элементарных частиц и др.

В зависимости от целей анализа и типов спектров выделяют несколько методов спектрального анализа. Атомный и молекулярный спектральные анализы позволяют определять элементарный и молекулярный состав вещества, соответственно. В эмиссионном и абсорбционном методах состав определяется по спектрам испускания и поглощения.

Масс-спектрометрический анализ осуществляется по спектрам масс атомарных или молекулярных ионов и позволяет определять изотопный состав объекта.
Содержание

1 История
2 Принцип работы
3 Применение
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки

История

Тёмные линии на спектральных полосках были замечены давно, но первое серьёзное исследование этих линий было предпринято только в 1814 году Йозефом Фраунгофером. В его честь эффект получил название «Фраунгоферовы линии». Фраунгофер установил стабильность положения линий, составил их таблицу (всего он насчитал 574 линии), присвоил каждой буквенно-цифровой код. Не менее важным стало его заключение, что линии не связаны ни с оптическим материалом, ни с земной атмосферой, но являются природной характеристикой солнечного света. Аналогичные линии он обнаружил у искусственных источников света, а также в спектрах Венеры и Сириуса.

Вскоре выяснялось, что одна из самых отчётливых линий всегда появляется в присутствии натрия. В 1859 году Г. Кирхгоф и Р. Бунзен после серии экспериментов заключили: каждый химический элемент имеет свой неповторимый линейчатый спектр, и по спектру небесных светил можно сделать выводы о составе их вещества. С этого момента в науке появился спектральный анализ, мощный метод дистанционного определения химического состава.

Для проверки метода в 1868 году Парижская академия наук организовала экспедицию в Индию, где предстояло полное солнечное затмение. Там учёные обнаружили: все тёмные линии в момент затмения, когда спектр излучения сменил спектр поглощения солнечной короны, стали, как и было предсказано, яркими на тёмном фоне.

Природа каждой из линий, их связь с химическими элементами выяснялись постепенно. В 1860 году Кирхгоф и Бунзен при помощи спектрального анализа открыли цезий, а в 1861 году — рубидий. А гелий был открыт на Солнце на 27 лет ранее, чем на Земле (1868 и 1895 годы соответственно).

В 1933 году в Ленинградском институте исторической технологии впервые применили спектральный анализ древних металлических изделий[1].
Принцип работы

Атомы каждого химического элемента имеют строго определённые резонансные частоты, в результате чего именно на этих частотах они излучают или поглощают свет. Это приводит к тому, что в спектроскопе на спектрах видны линии (тёмные или светлые) в определённых местах, характерных для каждого вещества. Интенсивность линий зависит от количества вещества и его состояния. В количественном спектральном анализе определяют содержание исследуемого вещества по относительной или абсолютной интенсивностям линий или полос в спектрах.

Оптический спектральный анализ характеризуется относительной простотой выполнения, отсутствием сложной подготовки проб к анализу, незначительным количеством вещества (10—30 мг), необходимого для анализа на большое число элементов.

Атомарные спектры (поглощения или испускания) получают переведением вещества в парообразное состояние путём нагревания пробы до 1000—10000 °C. В качестве источников возбуждения атомов при эмиссионном анализе токопроводящих материалов применяют искру, дугу переменного тока; при этом пробу помещают в кратер одного из угольных электродов. Для анализа растворов широко используют пламя или плазму различных газов.
Применение

В последнее время, наибольшее распространение получили эмиссионные и масс-спектрометрические методы спектрального анализа, основанные на возбуждении атомов и их ионизации в аргоновой плазме индукционных разрядов, а также в лазерной искре.

Спектральный анализ — чувствительный метод и широко применяется в аналитической химии, астрофизике, металлургии, машиностроении, геологической разведке, археологии и других отраслях науки.

В теории обработки сигналов, спектральный анализ также означает анализ распределения энергии сигнала (например, звукового) по частотам, волновым числам и т. п.

Срд 23 Окт 2013 00:08:38
>>56560654
Да тут такое место, что хрен тут кому поможешь, как мне кажется.

Срд 23 Окт 2013 00:09:17
Перейти к: навигация, поиск

Секционная свёртка используется, когда количество элементов одной из последовательностей в несколько раз больше, чем количество элементов другой. Секционная свёртка может выполняться методом суммирования или методом перекрытия.

Для реализации этого типа свёртки нужно выполнить следующие действия:

1. поделить большую последовательность на секции, желательно чтоб в каждой секции было одинаковое количество элементов;

2. произвести подсчет количества значений частичной выходной последовательности (чвп) по формуле:

Nчвп=Nс+N-1
где Nчвп — количество значении в частичной выходной последовательности; Nс — количество :значении в данной секции; N — количество значении во второй последовательности.

3. произвести свёртку каждой секции первой последовательности со второй последовательностью. Количество сверток должно совпадать с количеством секций в первой последовательности.

Для секционной свёртки методом перекрытия с суммированием могут применяться такие виды свертки как:

линейная;
круговая без кругового наложения (апериодическая);
свертка с помощью дискретного преобразования Фурье.

4. произвести сборку выходной последовательности из частичных выходных последовательностей.

Для секционной свертки методом перекрытия с наложением применяется только круговая свертка. Для секционной свертки методом перекрытия с суммированием сборка осуществляется так: на отрезке от (N-1) до Nчвп произвести суммирование значений от секции 1 и 2 до секции Z-1 и Z (где Z — количество секции). А для секционной свертки методом перекрытия с накопления: последние значения на отрезке (N — 1) до Nчвп нужно отбросить, то есть их не учитывают при сборке выходной последовательности, и так от секции 1 до секции Z-1.

Срд 23 Окт 2013 00:09:26
>>56560451
понимаешь, тут такое дело, что пять секунд очередной тред создать, ты все их не пересагаешь, поэтому тут нужно заниматься именно этим, для чего /б и существует - бессмысленными спорами

Срд 23 Окт 2013 00:09:28
>>56559487
Можешь продолжать считать всех мусором, только вот за такими уебанскими сопливыми тредами находятся аноны, которые поддерживают друг друга, а ты тупая шлюха, всех отхуесосила сейчас и ждёшь от этих же людей поддержки. Скрыл.

Срд 23 Окт 2013 00:10:00
Цифровая обработка сигналов (ЦОС, DSP — англ. digital signal processing) — преобразование сигналов, представленных в цифровой форме.

Любой непрерывный (аналоговый) сигнал s(t) может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала F_d не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала F_{max} (то есть F_d\geq 2\cdot F_{max}), то полученный дискретный сигнал s(k) эквивалентен сигналу s(t) по методу наименьших квадратов (МНК) (см.: Теорема Котельникова).

При помощи математических алгоритмов s(k) преобразуется в некоторый другой сигнал s_1(k), имеющий требуемые свойства. Процесс преобразования сигналов называется фильтрацией, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтр. Поскольку отсчёты сигналов поступают с постоянной скоростью F_d, фильтр должен успевать обрабатывать текущий отсчет до поступления следующего (чаще — до поступления следующих n отсчётов, где n — задержка фильтра), то есть обрабатывать сигнал в реальном времени. Для обработки сигналов (фильтрации) в реальном времени применяют специальные вычислительные устройства — цифровые сигнальные процессоры.

Всё это полностью применимо не только к непрерывным сигналам, но и к прерывистым, а также к сигналам, записанным на запоминающие устройства. В последнем случае скорость обработки непринципиальна, так как при медленной обработке данные не будут потеряны.

Различают методы обработки сигналов во временной (англ. time domain) и в частотной (англ. frequency domain) области. Эквивалентность частотно-временных преобразований однозначно определяется через преобразование Фурье.

Обработка сигналов во временной области широко используется в современной электронной осциллографии и в цифровых осциллографах. Для представления сигналов в частотной области используются цифровые анализаторы спектра. Для изучения математических аспектов обработки сигналов используются пакеты расширения (чаще всего под именем Signal Processing) систем компьютерной математики MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple и др.

В последние годы при обработке сигналов и изображений широко используется новый математический базис представления сигналов с помощью «коротких волночек» — вейвлетов. С его помощью могут обрабатываться нестационарные сигналы, сигналы с разрывами и иными особенностями и сигналы в виде пачек.
Содержание

1 Основные задачи
2 Основные преобразования
3 См. также
4 Примечания
5 Литература
6 Ссылки

Основные задачи

Линейная фильтрация — селекция сигнала в частотной области; синтез фильтров, согласованных с сигналами; частотное разделение каналов; цифровые преобразователи Гильберта (L(a, b)) и дифференциаторы; корректоры характеристик каналов
Спектральный анализ — обработка речевых, звуковых, сейсмических, гидроакустических сигналов; распознавание образов
Частотно-временной анализ — компрессия изображений, гидро- и радиолокация, разнообразные задачи обнаружения сигнала
Адаптивная фильтрация — обработка речи, изображений, распознавание образов, подавление шумов, адаптивные антенные решетки
Нелинейная обработка — вычисление корреляций, медианная фильтрация; синтез амплитудных, фазовых, частотных детекторов, обработка речи, векторное кодирование
Многоскоростная обработка — интерполяция (увеличение) и децимация (уменьшение) частоты дискретизации в многоскоростных системах телекоммуникации, аудиосистемах
Свертка - традиционные типы
Секционная свертка

Основные преобразования

Цифровая обработка сигнала в передатчике[1]

Форматирование
Кодирование источника
Шифрование
Канальное шифрование
Уплотнение
Импульсная модуляция
Полосовая модуляция
Расширение спектра
Множественный доступ
Передача сигналов

Распространение сигналов по каналу связи

Цифровая обработка сигнала в приёмнике[1]

Приём сигналов
Множественный доступ
Сужение спектра
Демодуляция и дискретизация
Детектирование
Разуплотнение
Канальное декодирование
Дешифрование
Декодирование источника
Форматирование

См. также

Сигнал (радиотехника)
Теорема Котельникова
Преобразование Фурье
Цифровая обработка изображений
Цифровой фильтр
Аналоговая обработка сигналов
Кодирование звуковой информации

Срд 23 Окт 2013 00:10:39
>>56560782
Но у меня и оп-тянесли это правда тян другая история.
Самый глупый стереотип что именно все тян — шлюхи и всегда скачут на хуйцах. А как только начинаешь говорить что это не так, то тебя даже не слушают.
Сейчас такие же стереотипы сложились и у тян. Сами понимаете все вытекающие.

Срд 23 Окт 2013 00:11:31
>>56560931
Пускай в ОП-посте не будет такого "Д'Артаньянства" и шаблонности. Тогда и поговорим.

Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\, dx.

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).
Содержание

1 Свойства
2 Применения
3 Разновидности
3.1 Многомерное преобразование
3.2 Ряды Фурье
3.3 Дискретное преобразование
3.4 Оконное преобразование
3.5 Другие варианты
4 Интерпретация в терминах времени и частоты
5 Важные формулы
6 См. также
7 Литература
8 Ссылки

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса L_1(\R), преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

Преобразование Фурье является линейным оператором:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.

Справедливо равенство Парсеваля: если f\in L_1(\R)\cap L_2(\R), то преобразование Фурье сохраняет L_2-норму:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ^2\, dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty} {\hat f(w)} ^2\, dw.

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство L_2(\R). Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех f\in L_2(\R).

Формула обращения:

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\, dw

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f является достаточно гладкой. Если f\in L_2(\R), то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний e^{i\omega x} с частотами \omega, амплитудами \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \hat{f}(\omega) и фазовыми сдвигами \arg \hat{f}(\omega) соответственно.

Теорема о свёртке: если f, \;g\in L_1(\R), тогда

\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}, где
(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\, ds.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

Преобразование Фурье и дифференцирование. Если f, \;f'\in L_1(\R), то

\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.

Из этой формулы легко выводится формула для n-й производной:

\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

Преобразование Фурье и сдвиг.

\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией \delta(x-x_0), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

Преобразование Фурье и растяжение.

\widehat{f(ax)}= a ^{-1}\hat{f}(w/a).

Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

S(\mathbb R):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb R):\forall n, \;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\infty}0\right\}.

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство S^(\R). Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции f\in S^(\R) её преобразованием Фурье называется обобщённая функция \hat{f}\in S^*(\R), действующая на основные функции по правилу

\langle\hat{f}, \;\varphi\rangle=\langle f, \;\hat{\varphi}\rangle.

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

\langle\hat{\delta}, \;\varphi\rangle=\langle\delta, \;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta, \;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\, dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\, dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \;\varphi\right\rangle.

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.

Срд 23 Окт 2013 00:11:41
19 ОКТЯБРЯ 1825

Роняет лес багряный свой убор,
Сребрит мороз увянувшее поле,
Проглянет день как будто поневоле
И скроется за край окружных гор.
Пылай, камин, в моей пустынной келье;
А ты, вино, осенней стужи друг,
Пролей мне в грудь отрадное похмелье,
Минутное забвенье горьких мук.

Печален я: со мною друга нет,
С кем долгую запил бы я разлуку,
Кому бы мог пожать от сердца руку
И пожелать веселых много лет.
Я пью один; вотще воображенье
Вокруг меня товарищей зовет;
Знакомое не слышно приближенье,
И милого душа моя не ждет.

Я пью один, и на брегах Невы
Меня друзья сегодня именуют...
Но многие ль и там из вас пируют?
Еще кого не досчитались вы?
Кто изменил пленительной привычке?
Кого от вас увлек холодный свет?
Чей глас умолк на братской перекличке?
Кто не пришел? Кого меж вами нет?

Он не пришел, кудрявый наш певец,
С огнем в очах, с гитарой сладкогласной:
Под миртами Италии прекрасной
Он тихо спит, и дружеский резец
Не начертал над русскою могилой
Слов несколько на языке родном,
Чтоб некогда нашел привет унылый
Сын севера, бродя в краю чужом.

Сидишь ли ты в кругу своих друзей,
Чужих небес любовник беспокойный?
Иль снова ты проходишь тропик знойный
И вечный лед полунощных морей?
Счастливый путь!.. С лицейского порога
Ты на корабль перешагнул шутя,
И с той поры в морях твоя дорога,
О волн и бурь любимое дитя!

Ты сохранил в блуждающей судьбе
Прекрасных лет первоначальны нравы:
Лицейский шум, лицейские забавы
Средь бурных волн мечталися тебе;
Ты простирал из-за моря нам руку,
Ты нас одних в младой душе носил
И повторял: «На долгую разлуку
Нас тайный рок, быть может, осудил!»

Друзья мои, прекрасен наш союз!
Он, как душа, неразделим и вечен —
Неколебим, свободен и беспечен,
Срастался он под сенью дружных муз.
Куда бы нас ни бросила судьбина
И счастие куда б ни повело,
Всё те же мы: нам целый мир чужбина;
Отечество нам Царское Село.

Из края в край преследуем грозой,
Запутанный в сетях судьбы суровой,
Я с трепетом на лоно дружбы новой,
Устав, приник ласкающей главой...
С мольбой моей печальной и мятежной,
С доверчивой надеждой первых лет,
Друзьям иным душой предался нежной;
Но горек был небратский их привет.

И ныне здесь, в забытой сей глуши,
В обители пустынных вьюг и хлада,
Мне сладкая готовилась отрада:
Троих из вас, друзей моей души,
Здесь обнял я. Поэта дом опальный,
О Пущин мой, ты первый посетил;
Ты усладил изгнанья день печальный,
Ты в день его Лицея превратил.

Ты, Горчаков, счастливец с первых дней,
Хвала тебе — фортуны блеск холодный
Не изменил души твоей свободной:
Всё тот же ты для чести и друзей.
Нам разный путь судьбой назначен строгой;
Ступая в жизнь, мы быстро разошлись:
Но невзначай проселочной дорогой
Мы встретились и братски обнялись.

Срд 23 Окт 2013 00:12:21
Раз тут собралась толпа идейных моралистов шлюхоненавистников, то будьте добры, поясните мне криком
ЕОТ, скоро уже второй год вместе. Все классно, она мне дороже всех и лучше любых друзей, я люблю ее, но есть одна загвоздка: ебля. Она говорит что ей этого вообще не часто хочется, и ей достаточно просто меня рядом, но я уже на стену готов лезть от недотраха. Мы хорошо если 2-4 раза в месяц поняшимся под пледиком.
На этой почве я начинаю думать хуем, представлять как ебу подруг и вообще рандомных тней, которых встречаю. Мне дико этого хочется. И постоянно во мне борются животный инстинкт и моральные принципы. Вот что в этом случае делать? Не становиться же блядуном. фап идет лесом, не доставляет, мерзко и всего на день помогает

Срд 23 Окт 2013 00:12:23
Когда за городом, задумчив, я брожу
И на публичное кладбище захожу,
Решетки, столбики, нарядные гробницы,
Под коими гниют все мертвецы столицы,
В болоте кое-как стесненные рядком,
Как гости жадные за нищенским столом,
Купцов, чиновников усопших мавзолеи,
Дешевого резца нелепые затеи,
Над ними надписи и в прозе и в стихах
О добродетелях, о службе и чинах;
По старом рогаче вдовицы плач амурный,
Ворами со столбов отвинченные урны,
Могилы склизкие, которы также тут
Зеваючи жильцов к себе на утро ждут, -
Такие смутные мне мысли всё наводит,
Что злое на меня уныние находит.
Хоть плюнуть да бежать...
Но как же любо мне
Осеннею порой, в вечерней тишине,
В деревне посещать кладбище родовое,
Где дремлют мертвые в торжественном покое.
Там неукрашенным могилам есть простор;
К ним ночью темною не лезет бледный вор;
Близ камней вековых, покрытых желтым мохом,
Проходит селянин с молитвой и со вздохом;
На место праздных урн и мелких пирамид,
Безносых гениев, растрепанных харит
Стоит широко дуб над важными гробами,
Колеблясь и шумя...

Срд 23 Окт 2013 00:12:25
>>56560856
Я другая Настя, не оп. Витя?

Срд 23 Окт 2013 00:12:25
Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временного пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности
Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве \R^n, определяется формулой

\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\, dx.

Здесь \omega и x — векторы пространства \R^n, x\cdot\omega — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\, d\omega.

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции f в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида e^{ix\cdot\omega} с амплитудами \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \hat{f}(\omega) , частотами \omega и фазовыми сдвигами \arg\hat{f}(\omega) соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).

Изменяется константа в теореме о свёртке:

\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.

Преобразование Фурье и сжатие координат:

\widehat{\left(f\left(\frac{x}{ a }\right)\right)}= a ^n\hat{f}(\omega a ).

Более общо, если A:\R^n\to\R^n — обратимое линейное отображение, то

\widehat{\left(f(Ax)\right)}= \det(A) ^{-1}\hat{f}(A^{-1}\omega).

Ряды Фурье
Основная статья: Ряд Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для 2\pi-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\, e^{inx}.

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой 2\pi-периодической функции имеем

\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.
Дискретное преобразование
Основная статья: Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть x_0, \;x_1, \;\ldots, \;x_{n-1} — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}. Выберем какие-нибудь n точек на комплексной плоскости z_0, \;z_1, \;\ldots, \;z_{n-1}. Теперь многочлену f(t) мы можем сопоставить новый набор из n чисел: f_0:=f(z_0), \;f_1:=f(z_1), \;\ldots, \;f_{n-1}:=f(z_{n-1}). Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел f_0, \;f_1, \;\ldots, \;f_{n-1} существует единственный многочлен f(t) степени не выше n-1 с такими значениями в z_0, \;\ldots, \;z_{n-1} соответственно(см. Интерполяция).

Набор \{f_k\} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора \{x_k\}. В качестве точек z_k обычно выбирают корни n-й степени из единицы:

z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины n напрямую требует порядка n^2 операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за O(n\log n) операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка n операций.

Срд 23 Окт 2013 00:12:49
>>56560801
Нашла, работа хорошая, платят нормально. Плохо только, что в ночное время, да и холодновато уже, на трассе стоять.

Срд 23 Окт 2013 00:12:51
Гомотопия — семейство непрерывных отображений F_t\colon X\to Y, \; t\in [0, 1], «непрерывно зависящих от параметра». Более точное определение дано ниже.
Содержание [убрать]
1 Определение
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Литература
5 См. также
Определение[править править исходный текст]

Пусть X и Y суть топологические пространства. Гомотопией называется непрерывное отображение F\colon[0, 1]\times X\to Y.
При этом значение F(t, x) чаще обозначается F_t(x).
Связанные определения[править править исходный текст]



Гомотопическая эквивалентность бублика и кружки
Гомотопные отображения. Отображения f, g\colon X\to Y называются гомотопными или g\sim f если существует гомотопия f_t такая, что f_0=f и f_1=g.
Гомотопическая эквивалентность топологических пространств X и Y есть пара непрерывных отображений f\colon X\to Y и g\colon Y\to X такая, что f\circ g\sim\operatorname{id}_Y и g\circ f\sim\operatorname{id}_X, здесь \sim обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопически эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопический тип.
Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
Отображение f\colon X\to Y называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.
Подпространство A топологического пространства X такое, что включение A\subset X является слабой гомотопической эквивалентностью называется репрезентативным подпространством.
Если на некотором подмножестве A\subset X, \; F(t, a)=f(a) для всех t при a\in A, то F называется гомотопией относительно A, а f и g гомотопными относительно A.
Изотопия — гомотопия топологического пространства X по топологическому пространству Y есть гомотопия f_t\colon X\to Y, \; t\in[0, 1], в которой при любом t отображение f_t является гомеоморфизмом X на f(X)\subset Y.


Гомеоморфизм (греч. — похожий, — форма) — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств (в силу непрерывности биекции, образы и прообразы отображения являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств).
Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.
Содержание [убрать]
1 Определение
2 Теорема о гомеоморфизме
3 Пример
4 См. также
5 Литература
Определение[править править исходный текст]

Пусть (X, \mathcal{T}_X) и (Y, \mathcal{T}_Y) — два топологических пространства. Функция f:X \to Y называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f^{-1} непрерывны.
Пространства X и Y в таком случае называются гомеоморфными или топологически эквивалентными.
Теорема о гомеоморфизме[править править исходный текст]

Пусть a, b \subset \mathbb{R} — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть f: a, b \to f\bigl( a, b \bigr)\subset \R — биекция. Тогда f является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f строго монотонна и непрерывна на a, b .
Пример[править править исходный текст]

Произвольный открытый интервал (a, b) \subset \mathbb{R} гомеоморфен всей числовой прямой \mathbb{R}. Гомеоморфизм f:(a, b) \to \mathbb{R} задаётся, например, формулой
f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).

Срд 23 Окт 2013 00:13:10
Оконное преобразование
Основная статья: Оконное преобразование Фурье

F(t, \;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\, d\tau,

где F(t, \;\omega) даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию W, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов окон. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.
Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором x_k определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.
Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где \omega — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (\omega), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.
Важные формулы

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(\omega) и G(\omega) обозначают фурье компоненты функций f(t) и g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как \sqrt{2\pi}, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).
Функция Образ Примечания
1 af(t)+bg(t)\, aF(\omega)+bG(\omega)\, Линейность
2 f(t-a)\, e^{-i\omega a}F(\omega)\, Запаздывание
3 e^{iat}f(t)\, F(\omega-a)\, Частотный сдвиг
4 f(at)\, a ^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\, Если a большое, то f(at) сосредоточена около 0 и a ^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right) становится плоским
5 \frac{d^n f(t)}{dt^n}\, (i\omega)^n F(\omega)\, Свойство преобразования Фурье от n-й производной
6 t^n f(t)\, i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\, Это обращение правила 5
7 (f*g)(t)\, \sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\, Запись f*g означает свёртку f и g. Это правило — теорема о свёртке
8 f(t)g(t)\, \frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\, Это обращение 7
9 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \delta(t) означает дельта-функцию Дирака
10 1\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega)\, Обращение 9.
11 t^n\, i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\, Здесь, n — натуральное число, \delta^{(n)}(\omega) — n-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 e^{iat}\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\, Следствие 3 и 10
13 \cos(at)\, \sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\, Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера \cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,
14 \sin(at)\, \sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\, Также из 1 и 12
15 \exp(-at^2)\, \frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\, Показывает, что функция Гаусса \exp(-t^2/2) совпадает со своим изображением
16 W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\, \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\, Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, Здесь \sgn(\omega)\, — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18 \frac{1}{t^n}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\, Обобщение 17
19 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\, Обращение 17
20 \sqrt{2\pi}\theta(t)\, \frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\, Здесь \theta(t)\, — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Срд 23 Окт 2013 00:13:26
В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании условия Вульфа — Брэгга для волн с длиной Де Бройля (см. Волны де Бройля). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условием Вульфа — Брэгга, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.

Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.

Срд 23 Окт 2013 00:13:35
>>56561027
Как же доебали биопроблемники, что не день то тред про поебаться.

Срд 23 Окт 2013 00:13:45
>>56559487
>И, может тут и много поехавших, но шлюх среди нас в десятки раз меньше, чем лицемерных шлюхокунов.
90% сидящих тут просто отбросы общества, как я например. О каких шлюхокунах может идти речь, когда у большинства тут сидящих даже тян никогда не было?
>Вы запрограммированные двачем мистеры шаблоны.
Не обобщай. Ты делать меня плакать.
>Где вообще обитает человек разумный в сети?
Конечно, но искать нужно явно не на сосаке.

Срд 23 Окт 2013 00:13:45
Компактное пространство — определённый тип топологических пространств, включающий
Все пространства с конечным числом точек;
Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства.
В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.
Содержание [убрать]
1 Определение
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Примеры компактных множеств
5 История
6 Литература
Определение[править править исходный текст]

Компактное пространство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
Связанные определения[править править исходный текст]

Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».
Свойства[править править исходный текст]

Общие свойства:
Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
Замкнутое подмножество компакта компактно.
Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
В компактных пространствах каждое центрированное семейство замкнутых множеств, т.е. семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение. См. также Лемма о вложенных отрезках.
Свойства компактных метрических пространств:
Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
Критерий Хаусдорфа: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса.
Лемма Лебега: Для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия \{V_\alpha\}, \ \alpha\in A существует положительное число \, \! r такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше \, \! r, содержится в одном из множеств \, \! V_\alpha. Такое число \, \! r называется числом Лебега.
В компактных пространствах каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
Примеры компактных множеств[править править исходный текст]

замкнутые и ограниченные множества в \mathbb{R}^n
конечные подмножества топологических пространств
теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X) вещественных функций на метрическом компактном пространстве X с нормой \ f\ =\sup_x f(x) . Тогда замыкание множества функций F в C(X) компактно тогда и только тогда, когда F равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
пространство Стоуна булевых алгебр
компактификация топологического пространства
История[править править исходный текст]

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Срд 23 Окт 2013 00:13:53
>>56560902
да я и сам так начинаю думать. Дело не в том, можешь ли ты помочь, а в желании людей принять помощь.

Но это все меняется со временем, я сюда заглядываю лет шесть с периодичностью в полгода-год. Двач все время меняется.

Срд 23 Окт 2013 00:14:11
еорема Котельникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал x(t)\; имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты f_c\;:

~f>2 f_c

Содержание

1 Пояснение
2 История открытия
3 Развитие теоремы
4 См. также
5 Примечания
6 Литература

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой f_c\;».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временной характеристике. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают два следствия:

Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой f>2f_c\;, где f_c\; — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.

Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал x(t)\; можно представить в виде интерполяционного ряда

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k\Delta)\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{\Delta}\left(t - k\Delta\right)\right],

где \mathrm{sinc}(x)=\sin(x)/x\; — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям 0&lt;\Delta\leq1/(2f_c). Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала x(k\Delta)\;.
История открытия

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу 1928 года «Certain topics in telegraph transmission theory», в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Купфмюллер получил тот же результат.[1] О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом[2][3]: «Любую функцию f(t)\;, состоящую из частот от 0 до f_c\;, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2f_c)\; секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 (через 16 лет) году доказал Клод Шеннон[4], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет В. А. Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов.[5] Исторические разыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась в математическом плане многими учеными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем.[6]
Развитие теоремы

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов.[7][8] Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся характеристическими функциями прямоугольных импульсов, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции x(t)\; с финитным спектром (\mathrm{supp}\;\hat{x}=[-f_c, f_c]) на основе преобразований Фурье атомарных функций[9]:

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x(k\Delta)\prod_{n=1}^{M}\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{a^{n-1}\Delta}(t-k\Delta)\right]}

где параметры a, M\; удовлетворяют неравенству a^{M-1}(a-2)+1>0\;, а интервал дискретизации

0&lt;\Delta\leq\frac{1}{2f_c}\left[1+\frac{a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}\right].

Срд 23 Окт 2013 00:15:10
Гильбертово пространство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.

Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются линейные операторы. Само понятие гильбертова пространства сформировалось в работах Д. Гильберта и Э. Шмидта по теории интегральных уравнений, а абстрактное определение было дано в работах Дж. Неймана, Ф. Рисcа и М. Стоуна по теории эрмитовых операторов.
Содержание

1 Определение
2 Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональность
3 Базисы и размерность гильбертова пространства
4 Ортогональные разложения
5 Пространство линейных функционалов
6 Линейные операторы в гильбертовых пространствах
7 Свойства
8 Примеры
9 См. также
10 Литература
11 Ссылки

Определение

Гильбертово пространство - линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства x и y определено скалярное произведение (x, y) и полное относительно порожденной скалярным произведением метрики d(x, y)= x-y =\sqrt{(x-y, x-y)}. Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве. Однако, большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как x =\sqrt{(x, x)}

Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма:

(\forall x, y\in H)\quad \ x+y\ ^2+\ x-y\ ^2=2(\ x\ ^2+\ y\ ^2).

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

(x, y) = \left\ \dfrac{x+y}{2}\right\ ^2-\left\ \dfrac{x-y}{2}\right\ ^2.

Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

(x, y) = \left\ \dfrac{x+y}{2}\right\ ^2-\left\ \dfrac{x-y}{2}\right\ ^2+ i\left\ \dfrac{x+iy}{2}\right\ ^2-i\left\ \dfrac{x-iy}{2}\right\ ^2 (поляризационное тождество).

Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональность

В гильбертовом пространстве важное значение имеет неравенство Коши-Буняковского:

(x, y) \leqslant x y

Следовательно,

-1 \leqslant \frac{(x, y)} { x y } \leqslant 1

Это позволяет интерпретировать данное отношение как косинус угла между элементами и, в частности, ввести понятие ортогональных элементов: два элемента гильбертова пространства ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю (x, y)=0. Для обозначения ортогональности элементов используется символ \perp. Два подмножества M и N гильбертова пространства ортогональны (M\perp N), если любые два элемента f \in M, g \in N ортогональны.

Для попарно ортогональных векторов справедлива теорема Пифагора (обобщенная):

\sum_i x_i ^2=\sum_i x_i ^2

Множество всех элементов пространства, ортогональных некоторому подмножеству A, является замкнутым линейным многообразием (подпространством) и называется ортогональным дополнением этого множества.

Подмножество элементов называется ортонормированной системой, если любые два элемента множества ортогональны и норма каждого элемента равна единице.
Базисы и размерность гильбертова пространства

Система гильбертова пространства является полной, если она порождает все пространство, то есть если произвольный элемент пространства может быть сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинациями элементов этой системы. Если в пространстве существует счетная полная система элементов, то пространство является сепарабельным - то есть имеется счетное всюду плотное множество, замыкание которого по метрике пространства совпадает со всем пространством.

Данная полная система {e_i} является базисом, если каждый элемент пространства можно представить как линейную комбинацию элементов этой системы и притом однозначно. Необходимо отметить, что в общем случае банаховых пространств из полноты и линейной независимости элементов системы не следует, что это базис. Однако, в случае сепарабельных гильбертовых пространств полная ортонормированная система {e_i}является базисом. Для того, чтобы ортонормированная система была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ортонормированной системы. Таким образом, для каждого элемента f пространства имеет место разложение по ортонормированному базису {e_i}:

f=\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i e_i=\sum^{\infty}_{i=1} (f, e_i) e_i

Коэффициенты разложения \alpha_i=(f, e_i) называют коэффициентами Фурье. При этом для нормы элемента выполнено равенство Парсеваля:

f ^2=\sum^{\infty}_{i=1} (f, e_i) ^2

Все ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве имеют одинаковую мощность, что позволяет определить размерность гильбертова пространства как размерность произвольного ортонормированного базиса (ортогональная размерность). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда имеет счетную размерность.

Размерность пространства также можно определить как наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства H, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с H.

Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности, любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству \ell^2.

Срд 23 Окт 2013 00:15:11
>>56560865
внатуре ты не аноним, ты просто полный далбаёб! двач не торт, он пишет. пиздец, ты ответь, откуда вообще в твой валенок эта мысль залетела? ты сам можешь осознать, что ты есть один из тех уебаторов, из-за которых здесь невозможно находится становится, просто ты можешь не заходить вообще на эту борду и в этот раздел, реально здесь лучше станет, если уж так тебе не торт всё, измени положение своим уходом

Срд 23 Окт 2013 00:15:32
>>56561087
Тибе нипонять

Срд 23 Окт 2013 00:15:49
Ортогональные разложения

Пусть L-некоторое подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда для любого элемента f \in H справедливо единственное разложение f=g+h, где g \in L, а h \perp L. Элемент h называется проекцией элемента f на L. Совокупность элементов h, ортогональных подпространству L образует (замкнутое) подпространство M, являющееся ортогональным дополнением подпространства L.

Говорят, что пространство H разложено в прямую сумму подпространств L и M, что записывается как H=L \oplus M. Аналогично можно записать L=H \ominus M.
Пространство линейных функционалов

Пространство линейных непрерывных (ограниченных) функционалов также образует линейное пространство и называется сопряженным пространством. Имеет место следующая теорема.

Теорема Риса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (теорема Риса — Фреше): для любого линейного ограниченного функционала f на гильбертовом пространстве H существует единственный вектор y \in H такой, что f(x)=(x, y) для любого x \in H. При этом норма линейного функционала f совпадает с нормой вектора y:

\ f\ =\sup_{\ x\ =1} f(x) = \sqrt{(y, y)}.

Из теоремы следует, что пространство линейных ограниченных функционалов над гильбертовым пространством H изоморофно самому пространству H.
Линейные операторы в гильбертовых пространствах

Линейный оператор A может быть представлен в данном базисе матричными элементами единственным образом: a_{ij}=(Ae_i, e_j)

Линейный оператор A^* называется сопряженным к оператору A, если для любых элементов x и y выполнено равенство (Ax, y)=(x, A^*y). Норма сопряженного оператора равна норме самого оператора.

Линейный ограниченный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если A^*=A

Оператор P, определенный на всем пространстве, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию на некоторое подпространство называется проектирующим оператором, (оператором проектирования, ортопроектором). Проектирующий оператор является линейным самосопряженным оператором с единичной нормой, для которого выполнено равенство P^2=P. Произведение двух проектирующих операторов является проектирующим тогда и только тогда, когда они перестановочны: P_1P_2=P_2P_1

Спектр оператора Спектральные разложения операторов
Свойства

Теорема Рисса — Фреше: для любой ортонормированной системы векторов {\lbrace \phi_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty} в гильбертовом пространстве H и числовой последовательности {\lbrace C_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}, такой что \sum_{i = 1}^{\infty} C_i^2 &lt; \infty, в H существует такой элемент u, что C_i = \left( u, \phi_i \right) и {\left\Vert u \right\Vert}^2 = \sum_{i = 1}^{\infty} {\left( u, \phi_i \right)}^2.
Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.

Примеры

Евклидово пространство.
Пространство \ell^2. Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, для которых сходится ряд \sum_{n=1}^\infty x_n ^2. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n.

Пространство L^2[a, b] измеримых функций с вещественными значениями на отрезке [a, b] с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл

\int\limits_a^b\! f ^2\, dx

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, L^2[a, b] есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\, dx.

Для пространств \ell^2 и L^2[a, b] над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n;
(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\, dx.

Срд 23 Окт 2013 00:16:03
Добра вайпер-куну.
А шлюхе горсть сажи в ебло.

Срд 23 Окт 2013 00:16:28
>>56561105
Всегда считал странным, что не смотря на то, что в т. Котельникова стоит строгое неравенство, постоянно слышу fд=2fв, что, вроде, неверно.

Срд 23 Окт 2013 00:17:13
Аффинное преобразование (от лат. affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором прямые переходят в прямые.
Содержание [убрать]
1 Определение
1.1 Комментарий
2 Примеры
3 Свойства
4 Типы аффинных преобразований
5 Матричное представление
6 Вариации и обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки
Определение[править править исходный текст]

Аффинное преобразование f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} есть преобразование вида
f(x) = M \cdot x + v,
где ~M — обратимая матрица (неособенный аффинор) и v\in \mathbb{R}^{n}.
Комментарий[править править исходный текст]
Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:
Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ~v;
Каждой точке x пространства поставить в соответствие точку f(x), имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x в «старой».
Примеры[править править исходный текст]

Аффинными преобразованиями являются
движения;
преобразования подобия.
Свойства[править править исходный текст]

При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
Если размерность пространства {n}\ge 2[источник не указан 402 дня], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.
Типы аффинных преобразований[править править исходный текст]

Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.
Матричное представление[править править исходный текст]

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f(x) = M \cdot x + v можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:
\begin{pmatrix} f(x) \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M &amp; v \\ 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}
Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[1]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 14) она транспонирована[2].
Вариации и обобщения[править править исходный текст]

В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел \mathbb{R}.
Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
Аффинные преобразования пространства \mathbb{R}^{n} являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства \mathbb{R}^{n} можно представить как аффинные преобразования пространства \mathbb{R}^{n+1}.
См. также

Срд 23 Окт 2013 00:18:04
>>56561027
Просто у неё есть Мага или Аслан или оба сразу, который может её качественно выебать, в отличие от тебя.

Срд 23 Окт 2013 00:18:11
алгоритмической теории информации колмогоровская сложность объекта (такого, как текст) есть мера вычислительных ресурсов, необходимых для точного определения этого объекта.

Колмогоровская сложность также известна как описательная сложность, сложность Колмогорова — Хайтина, стохастическая сложность, алгоритмическая энтропия или алгоритмическая сложность.

Выражает возможность фрактального описания.

К примеру, рассмотрим две строки длиной 64 символа, содержащие только символы в нижнем регистре и цифры:

abababababababababababababababababababababababababababababababab
4c1j5b2p0cv4w1x8rx2y39umgw5q85s7uraqbjfdppa0q7nieieqe9noc4cvafzf

На этом изображении представлена часть множества Мандельброта. Простое хранение 24-битного цвета каждого пикселя этого изображения требует 1, 62 миллиона бит; но маленькая компьютерная программа может воспроизвести эти 1, 62 миллиона бит используя определение множества Мандельброта. Таким образом, колмогоровская сложность «сырого» файла, кодирующего это изображение, много меньше 1, 62 миллиона бит.

Первая строка имеет простое описание на естественном языке, а именно ab 32 раза, состоящее из 10 символов. Вторая строка не имеет очевидного простого описания с использованием того же набора символов, кроме собственно самой этой строки, длина которой составляет 64 символа.

Более формально, сложность строки — это длина описания этой строки на некотором универсальном языке описания. Способность сложности к изменению относительно выбора языка описания обсуждается ниже. Можно показать, что колмогоровская сложность любой строки не может быть более, чем на несколько байт больше, чем длина самой этой строки. Строки, чья колмогоровская сложность слабо зависит от размера самой строки, не считаются сложными.
Содержание

1 Определение
2 История и контекст
3 Основные следствия
3.1 Невычислимость колмогоровской сложности
3.2 Цепное правило для колмогоровской сложности
4 Сжатие
5 Теорема Хайтина о неполноте
6 Минимальная длина сообщения
7 Колмогоровская случайность
8 Связь с энтропией
9 Примечания
10 Литература

Определение

Чтобы определить колмогоровскую сложность, мы должны сначала задать язык описания строк. Такой язык описания может быть основан на любом языке программирования, таком как Lisp, Pascal или Java-байт-код. Если P — программа, выходом которой является строка x, то P — описание x. Длиной описания является длина P как строки. В ходе определения длины P длины подпрограмм, использующихся в P, должны быть вычислены. Длина любой целой константы n, которая появляется в P, это количество бит, требующихся для представления n, равное (грубо) \log_2 n.

Мы можем альтернативно выбрать кодировку для машины Тьюринга, где кодировка — функция, устанавливающая в соответствие каждой машине Тьюринга M битовую строку \langle M\rangle. Если M — машина Тьюринга, которая на вход w даёт на выходе строку x, то объединённая строка \langle M\rangle w есть описание для x. Это теоретический подход, который является более подходящим для построения детальных формальных доказательств и предпочтителен в исследовательской литературе. Двоичное лямбда-исчисление может дать наиболее простое определение сложности. В этой статье мы используем неформальный подход.

Любая строка s имеет как минимум одно описание, то есть программу

function GenerateFixedString()
return s

Если описание s, d(s) минимальной длины, то есть использует наименьшее количество символов, то оно называется минимальным описанием s, а длина d(s), то есть количество символов в этом описании, — колмогоровской сложность s, K(s). Символьно:

K(s)= d(s) .

Рассмотрим, как выбор языка описания влияет на значение K и покажем, что эффект от смены языка описания является ограниченным.

Теорема. Если K_1 и K_2 — функции сложности, относящиеся к языкам описания L_1 и L_2, то существует константа c (зависящая только от языков L_1 и L_2), такая, что

\forall s K_1(s)-K_2(s) \leqslant c.

Доказательство. Обратно, достаточно доказать, что существует некоторая константа c, такая, что для всех битовых строк s,

K_1(s)\leqslant K_2(s)+c.

Положим, что существует программа на языке L_1, которая работает как интерпретатор для L_2:

function InterpretLanguage(string p)

где p — программа на языке L_2. Интерпретатор характеризуется следующим свойством:

Возвращаемым значением в результате работы InterpretLanguage на входных данных p будет результат работы p.

Таким образом, если P является программой на языке L_2, которая является минимальным описанием s, то InterpretLanguage(P) возвращает строку s. Длина этого описания s есть сумма:

Длины программы InterpretLanguage, которая может быть принята за константу c.
Длины P, определяемой K_2(s).

Это доказывает искомую верхнюю оценку.

См. также: теорема инвариантности.
История и контекст

Алгоритмическая теория информации — это области компьютерной науки, изучающая колмогоровскую сложность и другие сложные меры для строк (или других структур данных).

Идея теории колмогоровской сложности основана на ключевой теореме, впервые открытой Рэем Соломоноффом (англ. Ray Solomonoff), опубликовавшим её в 1960 году, описав в работе «A Preliminary Report on a General Theory of Inductive Inference»[1] как часть своего изобретения алгоритмической вероятности. Он дал более полное описание в своих публикациях «A Formal Theory of Inductive Inference», часть 1 и 2 в журнале «Information and Control».[2][3], сделанных в 1964 году.

Позже А. Н. Колмогоров независимо опубликовал эту теорему в журнале «Проблемы передачи информации»[4], Грегори Хайтин также представил эту теорему в журнале «J. ACM». Работа Хайтина была отправлена в октябре 1966, исправлена в декабре 1968 и цитирует обе работы Соломоноффа и Колмогорова.[5]

Теорема утверждает, что среди алгоритмов, восстанавливающих (декодирующих) строки из их описаний (кодов) существует оптимальный. Этот алгоритм для всех строк даёт такие же короткие коды, как предоставляемые другими алгоритмами, с отличием на константу, зависящую от алгоритма, но не от самой строки. Соломонофф использовал этот алгоритм и предоставляемые им длины кодов для определения «универсальной вероятности» строк, на которой может быть основан индуктивный вывод последующих символов в строке. Колмогоров использовал эту теорему для определения нескольких функций строк: сложности, случайности и информации.

Когда Колмогоров узнал о работе Соломоноффа, он признал его приоритет[6]. Несколько лет работа Соломоноффа была более известна в СССР, чем на Западе. Однако, общепринято в научном сообществе ассоциировать этот тип сложности с Колмогоровым, который говорил о случайности последовательностей, в то время как алгоритмическая вероятность стала связываться с Соломоноффым, который фокусировался на прогнозировании, используя своё открытие распределения универсальной априорной вероятности.

Существуют некоторые другие варианты колмогоровской сложности или алгоритмической информации. Один из наиболее широко используемых основан на самоограниченных программах и в основном связывается с Л. А. Левиным (1974). Аксиоматических подход к колмогоровской сложности основа на аксиомах Блума (1967) был введен М. Бургиным (1982).

Некоторые полагают, что название «колмогоровская сложность» — это пример эффекта Мэттью[7].


Срд 23 Окт 2013 00:18:30
>>56560970
Стереотип этот не из пальца высосан. Для тян секс доступней, проще получить и все такоеесли не страшнотян, это развивает определенную неразборчивость, общую почти для всех тян, что не берегут себя для единственного коня на белом принце лет до 25. В целом я это говорю исходя не только из стереотипов, но и из опыта с тнями. Достоверно знаю, что для тян почти вся ебля с левымми кунами это даже не измена, пока она в него не влюбится, лол. А если влюбится, то будет себя ненавидеть, но все равно ебаться. Знаю о среднем количестве кунов у 18 летних тяночек с ангельскими глазами, страшно становится, как эта деточка не лопнула еще. В общем стереотип нихуя не просто так взялся, а насчет кунов хуй знает, знаю очень многих, и всех под одну гребенку хрен запишешь.
Покормил

Срд 23 Окт 2013 00:19:20
>>56561097
Ну а я просто придерживаюсь мнения, что спасение утопающих дело рук самих утопающих.
Утопающий

Срд 23 Окт 2013 00:19:45
Инсулиноподобный фактор роста-1, или ИФР-1, или соматомедин С — один из важнейших представителей семейства инсулиноподобных факторов роста, осуществляющих эндокринную, аутокринную и паракринную регуляцию процессов роста, развития и дифференцировки клеток и тканей организма был назван так, потому что похож на инсулин по своей молекулярной структуре. ИФР-1 состоит из 70 аминокислот в одной цепочке с тремя внутремолекулярными дисульфидными мостиками. Молекулярная масса ИФР-1 7, 6 кДа.[1]
Инсулиноподобный фактор роста 1 представляет собой белок, который у человека кодируется геном IGF1.[2][3]
ИФР-1 является важнейшим эндокринным посредником действия соматотропного гормона, почему и называется также соматомедином С. ИФР-1 производится гепатоцитами печени в ответ на стимуляцию их соматотропиновых рецепторов. В периферических тканях именно ИФР-1 обеспечивает практически все физиологические эффекты соматотропного гормона. Его последствия были названы «неуправляемой инсулиноподобной деятельностью».
Содержание [убрать]
1 Действие ИФР-1
2 Предрасположенность к раку
3 История ИФР
4 Фармакологическое использование
5 Примечания
Действие ИФР-1[править править исходный текст]

ИФР-1 также обеспечивает обратную связь с гипоталамусом и гипофизом по соматотропной оси: от уровня ИФР-1 в крови зависит секреция соматотропин-рилизинг-гормона и соматотропного гормона. При низком уровне ИФР-1 в крови секреция соматотропин-рилизинг-гормона и соматотропина возрастает, при высоком — снижается. Также ИФР-1 регулирует секрецию соматостатина: высокий уровень ИФР-1 приводит к возрастанию секреции соматостатина, низкий — к её снижению. Этот механизм является ещё одним способом регуляции уровня соматотропного гормона в крови. Но действие может быть заторможено недостаточным питанием, нечувствительностью гормона роста, отсутствием реакции рецепторов, или неудачным, ниже необходимого минимума сигнального пути, сообщением рецепторов. В поставленном на крысах эксперименте выяснилось, что количество ИФР-1 и РНК в печени была положительно связано с недостатком казеина и отрицательно связано с недостатком белка в пище.[4]Также было установлено, что при недостатке ИФР-1 в крови, он может сам продуцироваться в самих мышцах.
Уровень ИФР-1 в крови зависит от действия на печень не только соматотропного гормона, но и половых стероидов и тиреоидных гормонов, глюкокортикоидов, инсулина. При этом инсулин, андрогены, эстрогены повышают секрецию ИФР-1 печенью, а глюкокортикоиды её снижают. Это является одной из причин синергизма инсулина, соматотропина, половых и тиреоидных гормонов в отношении процессов роста и развития организма, роста и дифференцировки тканей, и одной из причин характерного тормозящего действия глюкокортикоидов на процессы линейного роста, полового созревания и пр. ИФР-1 воздействует на развитие всю жизнь, но его уровень в крови не постоянный: наиболее низкий уровень ИФР-1производства в детстве и в старости, а самый высокий во время подросткового периода жизни.
Предрасположенность к раку[править править исходный текст]

Путь ИФР сигнализации имеет патогенную роль в развитии рака. Исследования показали, что при повышенном уровне ИФР усиливается рост раковых клеток.[5] Кроме того у людей с синдромом Ларона риск развития рака сильно меньше.[6]
История ИФР[править править исходный текст]

ИФР-1 как таковой был открыт в 1978 году и спустя 10 лет он стал использоваться спортсменами как элемент подготовки. Он обрел огромную популярность, благодаря тому, что совершенно не нуждается в дополнительных подпитках, таких как стероидные курсы, инсулин…Но недавно были выведены и побочные эффекты, такие как рост печени, селезенки, количества злокачественных клеток.

Срд 23 Окт 2013 00:19:46
В последующих рассуждениях под K(s) будем подразумевать сложность строки s.

Не сложно заметить, что минимальное описание строки не может быть больше, чем сама строка: приведённая выше программа GenerateFixedString, чей выход s, больше s на фиксированную величину.

Теорема. Существует константа c, такая, что

\forall s\, K(s)\leqslant s +c.

Невычислимость колмогоровской сложности

Первое следствие заключается в том, что нет эффективного способа вычисления K.

Теорема. K — невычислимая функция.

Другими словами, не существует программы, которая бы принимала на вход строку s и выдавала бы на выходе целое число K(s). Покажем это с помощью противоречия путём создания программы, которая создает строку, создать которую возможно только более длинной программой. Предположим, что существует программа

function KolmogorovComplexity(string s)

которая принимает на входе s и возвращает K(s). Теперь рассмотрим программу

function GenerateComplexString(int n)
for i = 1 to infinity:
for each string s of length exactly i
if KolmogorovComplexity(s) >= n
return s
quit

Эта программа вызывает подпрограмму KolmogorovComplexity. Программа пробует каждую строку, начиная с кратчайшей, пока не найдет строку со сложностью как минимум n, которую возвращает. Следовательно, получив любое положительно целое число n, она производит строку с колмогоровской сложностью не меньше n. Эта программа имеет собственную фиксированную длину U. Входом программы GenerateComplexString является целое n и размер n измеряется количеством бит, необходимым для его представления, которое есть \log_2 n. Далее рассмотрим следующую программу:

function GenerateParadoxicalString()
return GenerateComplexString(n0)

Это программа вызывает GenerateComplexString как подпрограмму и также имеет свободный параметр n_0. Эта программа выводит строку s, чья сложность составляет как минимум n_0. При благоприятном выборе параметра n_0 мы придём к противоречию. Чтобы выбрать это значение, заметим, что s описывается программой GenerateParadoxicalString, чья длина не больше, чем

U+\log_2 n_0+C,

где константа C добавлена из-за программы GenerateParadoxicalString. Так как n растёт быстрее, чем \log_2 n, существует значение n_0, такое, что

U+\log_2 n_0+C&lt;n_0.

Но это противоречит определению о том, что имеется сложность как минимум n_0. То есть, по определению (s), допускается, что строка s, возвращаемая программой GenerateParadoxicalString, может быть создана программой длиной n_0 или больше, но GenerateParadoxicalString короче, чем n0. Так программа KolmogorovComplexity на самом деле не может вычислить сложность случайной строки.

Это доказательство от противного, где противоречие похоже на парадокс Берри: «Пусть n — наименьшее положительно целое, которое не может быть названо меньше чем двенадцатью английскими словами.»[8] Также возможно показать невычислимость K путём сведения невычислимости к задаче остановки H, так как K и H тьюринг-эквивалентны.[9]

В сообществе программистов существует следствие, известное как теорема о полном использовании, утверждающая, что нет компилятора с совершенной оптимизацией по размеру.
Цепное правило для колмогоровской сложности
Основная статья: Цепное правило для колмогоровской сложности

Цепное правило для колмогоровской сложности утверждает, что

K(X, \;Y)=K(X)+K(Y\mid X)+O(\log K(X, \;Y)).

Оно утверждает, что кратчайшая программа, воспроизводящая X и Y не больше чем на \log K(X, \;Y) превосходит по размеру программу, воспроизводящую X, и программу, воспроизводящую Y при данном X. С использованием этого выражения можно определить аналог взаимной информации для колмогоровской сложности.
Сжатие

Вычислять верхнюю границу для K(s) несложно: нужно просто сжать строку s каким-либо методом, реализовать соответствующий декомпрессор на выбранном языке, соединить декомпрессор со сжатой строкой и измерить длину полученной строки.

Строка s сжимается на c, если имеет описание, длина которого не превосходит s -c. Это равнозначно утверждению K(s)\leqslant s -c. Если это не выполняется, то s не сжимается на c. Строка, не сжимаемая на 1, называется просто несжимаемой; по принципу Дирихле, несжимаемые строки должны существовать, так как есть 2^n битовых строк длиной n, но только 2^n-1 строк длиной меньше n[10].

По той же причине, большинство строк сложны в том смысле, что они не могут значительно сжаты: K(s) не намного меньше s , длины s в битах. Чтобы уточнить, зафиксируем значение n. Существует 2^n битовых строк длиной n. Равномерное распределение вероятностей на пространстве этих битовых строк определяется точно равным весовому коэффициенту 2^{-n} для каждой строки длиной n.

Теорема. Вероятность того, что строка не сжимается на c равна как минимум 1-2^{-c+1}+2^{-n} с равномерным распределением вероятностей на пространстве битовых строк длиной n.

Для доказательства этой теоремы заметим, что количество описаний длин не превосходит n-c, полученное из геометрической прогрессии:

1+2+2^2+\ldots+2^{n-c}=2^{n-c+1}-1.

Остается как минимум

2^n-2^{n-c+1}+1

битовых строк, несжимаемых на c. Для определения вероятности разделим на 2^n.

Срд 23 Окт 2013 00:20:28
Теорема Хайтина о неполноте

Нам известно, что во множестве всех возможных строк большинство строк являются сложными в том смысле, что не могут быть описаны в любом достаточно сжатом виде. Однако, оказывается, что тот факт, что конкретная строка сложна, не может быть формально доказан, если сложность строки выше определённого порога. Точная формализация представлена далее. Для начала зафиксируем частную аксиоматическую систему \mathbf{s} для натуральных чисел. Аксиоматическая система должна быть достаточно мощной, чтобы точному суждению \mathbf{A} о сложности строки можно было поставить в соответствие формулу \mathbf{F}_\mathbf{A} в аксиоматической системе s. Это соответствие должно обладать следующим свойством: если \mathbf{F}_\mathbf{A} выводится из аксиом \mathbf{s}, то соответствующей суждение \mathbf{A} истинно.

Теорема. Существует такая константа L (которая зависит только от частной аксиоматической системы и выбранного языка описания), что ни для одной строки утверждение

K(s)\geqslant L

не может быть доказано в рамках \mathbf{s}.

Тем не менее, как легко понять, утверждение K(s)\geqslant L будет истинным для бесконечного множества строк, а точнее, для всех строк, за исключением конечного их числа.

Доказательство теоремы основано на самореферентной конструкции, использованной в парадоксе Берри. Доказательство от противного. Если теорема не верна, то

Предположение (X): Для любого целого числа n существует строка s, для которой в \mathbf{s} существует вывод формулы «K(s)\geqslant n» (для которой мы предположили, что она может быть формализована в \mathbf{s}).

Рассмотрим программу, реализующую эффективное перечисление всех формальных доказательств в \mathbf{s}

function NthProof(int n)

принимающую на вход n и выдающую некоторое доказательство. Некоторые из них доказывают формулу вида «K(s)\geqslant n», где s и n — константы в языке \mathbf{s}. Существует программа, проверяющая, доказывает ли n-ое доказательство формулу «K(s)\geqslant L»:

function NthProofProvesComplexityFormula(int n)

Обратно, строка s и число L могут быть вычислены программами

function StringNthProof(int n)

function ComplexityLowerBoundNthProof(int n)

Рассмотрим теперь следующую программу:

function GenerateProvablyComplexString(int n)
for i = 1 to infinity:
if NthProofProvesComplexityFormula(i) and ComplexityLowerBoundNthProof(i) n
return StringNthProof(i)

Принимая на вход n, эта программа проверяет каждое доказательство, пока не находит некоторую строку s и доказательство формулы K(s) L для некоторого L n. Эта программа останавливается по Предположению (X). Пусть эта программа имеет длину U. Существует число n0, такое что U + log2(n0) + C &lt; n0, где C - дополнительная длина программы

function GenerateProvablyParadoxicalString()
return GenerateProvablyComplexString(n0)

Заметим, что число n0 также закодировано в этой программе, на что требуется log2(n0) информации. Программа GenerateProvablyParadoxicalString выдает строку s, для которой существует L, такое что K(s) L может быть выведено в \mathbf{s}, причем L n0. В частности для нее верно K(s) n0. Однако s может быть описана программой длины U + log2(n0) + C, значит ее сложность меньше n0. Полученное противоречие доказывает ложность Предположения (X).

Подобные же идеи используются для доказательства свойств константы Хайтина.
Минимальная длина сообщения

Принцип минимальной длины сообщения в статистическом и индуктивном выводе и машинном обучении был разработан Уоллесом (англ. C. S. Wallace) и Болтоном (англ. D. M. Boulton) в 1968 году. Принцип МДС является байесовским (включает априорные вероятности) и информационно-теоретическим. Он обладает желаемыми свойствами статистической инвариантности (вывод трансформируется с репараметризацией), статистической связности (даже для очень трудной задачи принцип сойдется к нижележащей модели) и эффективности (модель, основанная на принципе МДС, сойдется к любой достоверной нижележащей модели так быстро, как это возможно). Уоллес и Доу (англ. D. L. Dowe) показали формальную связь между принципом МДС и алгоритмической теорией информации (или колмогоровской сложностью).
Колмогоровская случайность

Согласно определению колмогоровской случайности (тж. алгоритмической случайности) строка называется случайной тогда и только тогда, когда она короче любой компьютерной программы, способной её воспроизвести. Чтобы сделать это определение точным, нужно зафиксировать универсальный компьютер (или универсальную машину Тьюринга), так что "компьютерная программа" будет обозначать программу для этой универсальной машины. Случайная в этом смысле строка будет "несжимаемой". С помощью принципа Дирихле легко показать, что для любой универсальной машины существуют алгоритмически случайные строки любой длины, однако свойство строки быть алгоритмически случайной зависит от выбора универсальной машины.

Это определение можно расширить на бесконечные последовательности символов конечного алфавита. Определение можно изложить тремя эквивалентными способами. Первый способ использует эффективный аналог теории меры; другой использует эффективный мартингал. Третий способ определения таков: бесконечная последовательность случайна, если колмогоровская сложность её начального сегмента растет достаточно быстро — существует константа c, такая что сложность любого начального сегмента длины n не меньше nc. Оказывается, что это определение, в отличие от определения случайности конечной строки, не зависит от выбора универсальной машины.
Связь с энтропией

Согласно теореме Брудно, энтропия динамической системы и алгоритмическая сложность траекторий в ней связаны соотношением K(x;T) = h(T) для почти всех x.[11]

Можно показать[12], что колмогоровская сложность результата работы марковского источника информации связана с его энтропией. Более точно, колмогоровская сложность результата работы марковского источника информации, нормализованная на длины результата, сходится почти всегда к энтропии источника.

Срд 23 Окт 2013 00:21:30
Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя[~ 1] — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

Эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.
Содержание

1 Теорема Гёделя о неполноте
1.1 В первоначальной форме
1.1.1 Интерпретация неразрешимой формулы
1.2 В форме Россера
1.2.1 Интерпретация неразрешимой формулы
1.3 Обобщённые формулировки
1.4 Полиномиальная форма
1.5 Набросок доказательства
1.6 Связь с парадоксами
2 Вторая теорема Гёделя
2.1 Набросок доказательства
3 Исторические сведения
4 Примечания
5 Источники
6 Литература
7 Библиография — статьи Гёделя
8 См. также

Теорема Гёделя о неполноте
В первоначальной форме

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие -непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется -непротиворечивой, если для всякой формулы A(x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А(0), А(1), А(2), … и x ¬A(x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формула A(n), следует невыводимость формулы x ¬A(x)). Легко показать, что -непротиворечивость влечёт простую непротиворечивость (то есть, любая -непротиворечивая формальная система непротиворечива)[6].

В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что[6]:

Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S -непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. Таким образом, если система S -непротиворечива, то она неполна[~ 2] и A служит примером неразрешимой формулы.

Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой[7].
Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации[~ 3] формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима[8].
В форме Россера

В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что[9]:

Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна[~ 2], и B служит примером неразрешимой формулы.

Формулу B иногда называют россеровой неразрешимой формулой[10]. Эта формула немного сложнее гёделевой.
Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации[~ 3] формула B означает «если существует вывод формулы B, то существует вывод формулы ¬B». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула B в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула B верна в стандартной интерпретации[11].
Обобщённые формулировки

Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки[12]:

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.

В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.
Полиномиальная форма

После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества, и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме[13][14][15][16]:

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение

\begin{align}&amp;(elg^2 + \alpha - (b - xy) q^2)^2 + (q - b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 - 1 - \lambda b^5)^2 + \\ &amp;(\theta + 2z - b^5)^2 + (u + t \theta - l)^2 + (y + m \theta - e)^2 + (n - q^{16})^2 + \\ &amp;((g + eq^3 + lq^5 + (2(e - z \lambda)(1 + xb^5 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 - n) + \\ &amp;(q^3 - bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 - 1) - r)^2 + \\ &amp;(p - 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 - k^2 + 1 - \tau^2)^2 + \\ &amp;(4(c - ksn^2)^2 + \eta - k^2)^2 + (r + 1 + hp - h - k)^2 + \\ &amp;(a - (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi - c)^2 + \\ &amp;(bw + ca - 2c + 4\alpha \gamma - 5\gamma - d)^2 + \\ &amp;((a^2 - 1)c^2 + 1 - d^2)^2 + ((a^2 - 1)i^2c^4 + 1 - f^2)^2 + \\ &amp;(((a + f^2(d^2 - a))^2 - 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 - (d + of)^2)^2 + \\ &amp;(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0 \end{align}

не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.

Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

Срд 23 Окт 2013 00:22:14
>>56561271
ну это не совсем так. Конечно, без желания человека выбраться из какой-то ситуации насильно его не вытащишь. Но и помощь со стороны нужна.

Срд 23 Окт 2013 00:22:19
Набросок доказательства

В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства[17], который приведён ниже с незначительными изменениями.

Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы[~ 4] S поставим в соответствие определённое натуральное число[~ 5]. Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу F(v) в S с одной свободной натурально-числовой переменной v такую, что F(v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n-е через R(n), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения R можно определить в системе S. Пусть — произвольное класс-выражение; через [;n] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [y;z] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс K натуральных чисел следующим образом:

nK ¬Bew[R(n);n] (*)

(где Bew x означает: x — выводимая формула[~ 6]). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия K, которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение C, что формула [C;n], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, C идентично некоторому определённому R(q) в нашей нумерации, то есть

C = R(q)

выполняется для некоторого определённого натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [R(q);q] неразрешимо в S. Так, если предложение [R(q);q] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), будет выполнено ¬Bew[R(q);q], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [R(q);q], то будет иметь место ¬qK, то есть Bew[R(q);q] будет истинным. Следовательно, [R(q);q] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.
Связь с парадоксами

В стандартной интерпретации[~ 3] гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс[18].

Следует отметить, что выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение»[18].
Вторая теорема Гёделя

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации[~ 3] является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.
Набросок доказательства

Сначала строится формула Con, содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с её отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой Con G, где G — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула Con G. Отсюда, если в S выводима Con, то в ней выводима и G. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con.
Исторические сведения

23 октября 1930 года результаты Гёделя были представлены Венской академии наук Хансом Ханом. Основная статья была получена для публикации 17 ноября 1930 года и опубликована в начале 1931 года[19].

Срд 23 Окт 2013 00:23:07
>>56561092
Ну а где?
Обобшаю с намеком на классику же.
Смешно от беспомощности сагакуна. Тред на нулевой. Просто с батхердпиаром, что ьема волнительная. Просто игнор невозсожен, когда столь актуальны темы.
Ечть тут ье, кто не знает куда свалмть. Как небыдло, живущее в быдлорайоне и не знающее о тех местах, где им будет комфортно.

Срд 23 Окт 2013 00:24:07
>>56560970
Ну ты текст читай, анализируй ситуацию. Ты же нихуя не думаешь и думать не хочешь. Я вот и писал о чём выше, причём довольно подробно. Но у тебя реально нету желания осознавать что-то. Потому что дырка - она и есть дырка, уж извините что я так грубо пишу. Потому что надо ситуацию продумать было, все возможные варианты учесть. И вот как оно получилось, так вот оно-то и должно было быть. Ты подумай, ну кто ей виноват, что она шлюха? Ты вот на этот вопрос ответь сначала, а потом уже что-то утверждай. И уже как бы не важно, что там за хуй найдётся. Порядочный человек, он скажет, что это да, пиздец какой-то. Но не все же такие. Даже этот тред возьми, уже набежало, кто-то отсеется, ну а кто-то ведь и нет. А потом вопросы, что делать и кто виноват.

Срд 23 Окт 2013 00:24:09
>>56561242
Просто вся эта хуйня дойдет до того, что останутся одни геи и лесбиянки, потому что противоположный пол не нужен, тебя в любом случае предадут.

Срд 23 Окт 2013 00:24:38
>>56561408
> Просто с батхердпиаром, что ьема волнительная
Ты о чем? Уже никакого баттхёрта, просто двигаю точные науки в массы.

ерейти к: навигация, поиск
Сюда перенаправляется запрос «Теория Цермело — Френкеля». На эту тему нужна отдельная статья.

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, — из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело—Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gdel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.
Содержание

1 Аксиомы ZFC
2 Пояснение к аксиомам ZFC
3 Примечания
4 Историческая справка
5 См. также
6 Литература

Аксиомы ZFC

Аксиомами ZFC называется следующая совокупность высказываний теории множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \Leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2)

~ \exist a\ \forall b \ (b \notin a)
~ \exist a\colon \bigl(\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \Rightarrow b \cup \{b\} \in a) \bigr)

~ \forall a_1 \forall a_2 \ \exist c \ \forall b \ \bigl(b \in c \Leftrightarrow (b = a_1 \ \lor \ b = a_2)\bigr)
~ \forall a\ \exist d\ \forall b \ \bigl(b \in d \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \Rightarrow c \in a) \bigr)
~ \forall a\ \exist d\ \forall c \ \bigl(c \in d \Leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \bigr)
~ \forall a\ \exist c\ \forall b \ \bigl(b \in c \Leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi \bigr)
~ \forall x\ \exist ! y \ \phi[x, y] \Rightarrow \forall a\ \exist d\ \forall c \ \bigl(c \in d \Leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b, c]) \bigr)

~ \forall a \ \Bigl(a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ \bigl(b \in a \ \land \ \forall c \ (c \in b \Rightarrow c \notin a) \bigr) \Bigr)
\begin{align} \forall a \ \Bigl(a \ne \varnothing \ \land \ \forall b \ (b \in a \Rightarrow b \ne \varnothing) \ \land \ \forall b_1 \forall b_2 \ (b_1 \ne b_2 \ \land \ \{b_1, b_2\} \subseteq a \Rightarrow b_1 \cap b_2 = \varnothing) \\ \Rightarrow \exist d \forall b \ \bigl(b \in a \to \exist c \ (b \cap d = \{c\}) \bigr) \Bigr) \end{align}

Пояснение к аксиомам ZFC

Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (1 аксиома),

1) группу высказываний о существовании множеств (2 аксиомы),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (3 аксиомы и 2 схемы), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (2 аксиомы).

0. Критерий равенства множеств в ZFC

Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.

Аксиома экстенсиональности (Аксиома объёмности)

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)

Примечание

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»

Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид ~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)) и выводится из аксиом предиката ~ =, а именно:

~ \forall a \ (a = a),
~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2])), где ~ \varphi[a_1] — любое математически корректное суждение об ~ a_1, а ~ \varphi[a_2] — то же самое суждение, но об ~ a_2.

Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )

1. Аксиомы ZFC о существовании множеств

«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

1.0 Аксиома пустого множества

\exists a \forall b \ (b \notin a)

Примечание

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию ~ \exist ! a \forall b \ (b \notin a). Поэтому единственному множеству ~ a можно присвоить имя. Употребительны два имени: ~ \varnothing и ~ \{\}. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

~ \forall b \ (b \notin \varnothing) и ~ \forall b \ (b \notin \{\})

Срд 23 Окт 2013 00:26:10
1.1 Аксиома бесконечности

~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ ), где ~ b \cup \{b\} = \{c: c \in b \ \lor \ c = b\}

Примечание

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из ~ \varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ ....»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» (~ \exist a \forall b \ (b \in a)).

2. Аксиомы ZFC об образовании множеств

Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая ~ \varnothing и по меньшей мере одну ~ \infty].

Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания ~ \forall a \exist b \ (b = \varphi[a]), которое выводится из аксиом предиката ~ =.

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

2.0. Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов

Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката ~ =.

2.0 Аксиома пары

\forall a_1 \forall a_2 \exists c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2), что есть ~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: b = a_1 \ \lor \ b = a_2\})

Примечание

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ~ c, каждый элемент ~ b которого идентичен данному множеству ~ a_1 или данному множеству ~ a_2».

Примеры

~ 1. \ a_1 = 0 \ \land \ a_2 = 1 \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = 0 \ \lor \ b = 1)

~ 2. \ a_1 = \varnothing \ \land \ a_2 = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\} \ )

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию ~ \forall a_1 \forall a_2 \exist ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2). Поэтому единственному множеству ~ c можно присвоить имя ~ \{a_1, a_2\}. Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

~ \forall a_1 \forall a_2 \forall b \ (b \in \{a_1, a_2\} \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2) или ~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\{a_1, a_2\} = \{b: b = a_1 \ \lor \ b = a_2\})

2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств

Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество ~ z имеет подмножества, включая [копию пустого множества] ~ \varnothing и [копию самого множества] ~ z. Иначе говоря,

~ \forall z \exist x \exist y \ (x \subseteq z \ \land \ y \subseteq z) \quad \land \quad \forall z \ (\varnothing \subseteq z \ \land \ z \subseteq z).

Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару ~ \{\varnothing, z\}. Назовём эту пару семейством ~ Fam_2(z).

Если можно образовать семейство ~ Fam_2(z) из двух подмножеств множества ~ z, тогда можно объявить об образовании семейства ~ Fam_a(z) из всех подмножеств множества ~ z.

Чтобы объявить об образовании семейства ~ Fam_a(z) достаточно потребовать, чтобы каждый элемент ~ b названного семейства был подмножеством множества ~ z, а каждое подмножество ~ b названного множества было элементом семейства ~ Fam_a(z). Иначе говоря,
~ \forall b \ (b \in Fam_a(z) \to b \subseteq z) \ \land \ \forall b \ (b \subseteq z \to b \in Fam_a(z) \ ),
что равносильно предложению
~ \forall b \ (b \in Fam_a(z) \leftrightarrow b \subseteq z),
которое подразумевает предложение
~ \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq z),
которое является частным случаем высказывания
~ \forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a).

Если можно объявить об учреждении семейства ~ Fam_a(z), тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

Мыслимы различные способы упразднения семейства ~ Fam_a(z), включая:
1) его полное упразднение (уничтожение), то есть ~ Del(Fam_a(z)) = \varnothing, что равносильно
~ \forall c \ (c \in Del(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in \varnothing),
2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть ~ Fic(Fam_a(z)) = Fam_a(z), что равносильно
~ \forall c \ (c \in Fic(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in Fam_a(z)),
3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть ~ Rev(Fam_a(z)) = z, что равносильно
~ \forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z).

Поскольку
~ c \in z \Leftrightarrow \{c\} \in Fam_a(z) \Leftrightarrow \exists b \ (b = \{c\} \ \land \ b \in Fam_a(z)) \Leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)),
постольку предложение
~ \forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z)
равносильно предложению
~ \forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ ),
которое подразумевает предложение
~ \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ ),
которое является частным случаем высказывания
~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in a)\ ).

Из изложенного следует, что высказывания ~ \forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) и ~ \forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in a) \ ) можно считать независимыми условно.

Срд 23 Окт 2013 00:26:45
>>56561408
>Смешно
>ьема
>невозсожен
>ье
>свалмть
>Обобшаю
Калека ебаный.

Срд 23 Окт 2013 00:26:48
>>56561441
Чем куны отличаются от "дырок"? 8 из 10 парней спокойно изменят своей девушке. И это норма сейчас.

Срд 23 Окт 2013 00:27:03
2.1.0 Аксиома множества подмножеств (Аксиома булеана)

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\}), где ~ b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)

Примечание

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество ~ d, каждый элемент ~ c которого является [собственным либо несобственным] подмножеством ~ b данного множества ~ a.»

Примеры
~ 1. \ a = \varnothing \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing\}), так как ~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a \land a \subseteq a)

~ 2. \ a = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\}) \Leftrightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\})

~ 3. \ a = \{1, 2, 3\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\})

~ 4. \ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall b (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\})

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию ~ \forall a \exist!d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a). Поэтому единственному множеству ~ d можно присвоить имя ~ \mathcal{P}(a), которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] ~ a» или «булеан [множества] ~ a». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

~ \forall a \forall b \ (b \in \mathcal{P}(a) \leftrightarrow b \subseteq a) или ~ \forall a \ (\mathcal{P}(a) = \{b: b \subseteq a\})

2.1.1 Аксиома объединения

~ \forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ ), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b\})

Примечание

Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество ~ d, каждый элемент ~ c которого принадлежит по меньшей мере одному множеству ~ b данного семейства ~ a».

Примеры
~ 1. \ a = \mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \varnothing)

~ 2. \ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathcal{P}(\varnothing) \ ) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{\varnothing\})

\begin{align} 3. \ a = \{b_1, b_2, b_3\} = \{ \{0, 1\}, \{1, 2\}, \{3\} \} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0, 1\} \lor c \in \{1, 2\} \lor c \in \{3\}) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0, 1, 2, 3\}) \end{align}

~ 4. \ a = \{b, \{b\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \cup \{b\}) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \ \lor \ c = b)

~ 5. \ a = (a_1, a_2) = \{\{a_1\}, \{a_1, a_2\}\} = \{\{a_1, a_1\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})

~ 6. \ a = \langle a_1, a_2 \rangle = \{a_1, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \cup \{a_1, a_2\})

~ 7. \ a = \mathcal{P}(\{a_1, a_2\}) = \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию ~ \forall a \exist ! d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ ). Поэтому единственному множеству ~ d можно присвоить имя ~ \cup\, a, которое произносится: «объединение множеств семейства ~ a». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

~ \forall a \forall c \ (c \in \cup a \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ ) или ~ \forall a \ (\cup a = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \ ).

Объединение множеств семейства ~ a (~ \cup a) не следует путать с пересечением множеств семейства ~ a (~ \cap a), о котором известно:

~ \forall a \forall c \ (c \in \cap a \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \in b), то есть ~ \forall a \ (\cap a = \{c: \ \forall b \ (b \in a \to c \in b)\})

2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений

Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией ~ + (сложить) и алгебраической операцией ~ \cdot (умножить)

~ \forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land \ y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z),

б) аксиому связи между отношением порядка ~ \le (меньше или равно) и алгебраической операцией ~ + (сложить)

~ \forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x \le y \to x + z \le y + z))

Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством ~ \{0, 1\}) и математически корректными суждениями (например, суждением ~ x \le 0).

«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны штихелям, надфелям, часовым отвёрткам и иным доводочным инструментам.

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из ["неотёсанных"] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны прецизионным станкам.

2.2.0 Схема выделения

~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi\ ), что есть ~ \forall a \exist c \ (c = \{b: b \in a \ \land \ \Phi<strong>\} \ ), где ~ \Phi<strong> — любое математически корректное суждение о ~ b, но не о множестве ~ a и не о множестве ~ c.

Примечание

Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество ~ c, высказав суждение ~ \Phi о каждом элементе ~ b данного множества ~ a.»

Примеры
~ 1. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x = x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b = b)

~ 2. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \ne x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b)

~ 3. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \in y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \in y)

~ 4. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \notin y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \notin y)

~ 5. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x &lt; 2) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \ \land \ b &lt; 2) \Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0, 1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0, 2, 4, 6, ...\}) \end{align}

\begin{align} 7. \ (\Phi[x] \ \leftrightarrow \ \exist u \exist v \ (u \in U \ \land \ v \in V \ \land \ x = (u, v) \ ) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) \\ \ \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) \ \land \ \exist u \exist v \ (u \in U \land v \in V \land b = (u, v))) \end{align}

Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию ~ \forall a \exist!c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi<strong>\ ). Поэтому единственному подмножеству ~ c можно присвоить имя ~ \{x: x \in a \land \Phi[x]\}. Используя указанное имя, схему выделения записывют так:

~ \forall a \forall b \ (b \in \{x: x \in a \land \Phi[x]\} \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi<strong> \ )
или
~ \forall a (\{x: x \in a \ \land \ \Phi[x]\} = \{b: b \in a \ \land \ \Phi<strong>\}

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.
</strong></strong></strong></strong></strong>

Срд 23 Окт 2013 00:27:58
>>56561027
чувак, внатуре ты думаешь, что её не ебёт никто? пиздец же, ты подумай, что если она там где-то хуиглотничает, а ты у неё так, типа рядом всё время, то нахуй внатуре такие взаимоотношения, ты больше в минус уйдёшь, я не думаю, что у тебя пизде уже в жизни, податься некуда больше

Срд 23 Окт 2013 00:28:01
>>56561444
А то однополчане (нувыпонели, в каком смысле) не предадут. Ещё как, сука, предадут. И что, никаких отношений? Аскетизм'n'келья?

Срд 23 Окт 2013 00:28:07
>>56561545
> 8 из 10 парней спокойно изменят своей девушке
А я не такой, лол.

2.2.1 Схема преобразования

~ \forall x \exist ! y \ (\phi[x, y]) \ \to \ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b, c] \ ) \ ), что есть ~ \forall x \exist ! y \ (\phi[x, y]) \ \to \ \forall a \exist d \ (d = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b, c])\} \ )

Примечание

Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество ~ d, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение ~ \phi обо всех элементах ~ b данного множества ~ a.»

Примеры
~ 1. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow y = x) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \Leftrightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a)

\begin{align} 2. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow y = x^2) \ \land \ a = \{1, 2, 3\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{1, 2, 3\} \ \land \ c = b^2)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1, 4, 9\}) \end{align}

~ 3. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow y = f(x)) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = f(b) \ ) \ )

\begin{align} 4. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow (x = \varnothing \to y = a_1) \land (x \ne \varnothing \to y = a_2) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \\ \ \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \land (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)\ )) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2) \end{align}

\begin{align} 5. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0, 2, 4, 6, ...\}) \end{align}

\begin{align} 6. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1, 3, 5, 7, ...\}) \end{align}

\begin{align} 7. \ (\phi[x, y] \leftrightarrow (x \in \mathbb{N} \ \land \ x &lt; 2 \to y = x) \ \land \ (x \in \mathbb{N} \ \land \ \neg (x &lt; 2) \to y = 1)) \quad \land \quad a = \mathbb{N} \\ \ \Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \mathbb{N} \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land b &lt; 2 \to c = b) \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land \neg (b &lt; 2) \to c = 1))) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathbb{N} \ \land \ c &lt; 2) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0, 1\}) \end{align}

Доказывается, что в схеме преобразования множество ~ d единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя ~ \{y: \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x, y])\}. Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

~ \forall x \exist!y (\phi[x, y]) \to \forall a \forall c \ (c \in \{y: \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x, y])\} \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b, c]) \ )
или
~ \forall x \exist!y (\phi[x, y]) \to \forall a (\{y: \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x, y])\} = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b, c])\} \ )

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств

Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из ~ \varnothing и каждой ~ \infty с помощью аксиом образования множеств. Образно говоря, высказывания об упорядоченности множеств образуют «сортировочный цех» теории ZFC, тогда как высказывания об образовании множеств образуют «производственный цех» этой теории.

3.0 Аксиома регулярности

\forall a \ (a \ne \varnothing \to \exist b \ (b \in a \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin a) \ ) \ )

Примечание

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество ~ b, каждый элемент ~ c которого не принадлежит данному семейству ~ a.»

Примеры
\begin{align} 1. \ a = \{x\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x\}) \ ) \\ \ \Leftrightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in \{x\} \to c \notin b)) \Rightarrow \forall x (x \notin x) \\ \ \Leftrightarrow \forall a (a \notin a) \Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \ \lor \ b \in a \to a \ne b) \end{align}

Сравните с высказываниями ~ \forall a \ (a = a) и ~ \forall a \ (a \not &lt; a), а также ~ \forall a \forall b \ (a &lt; b \ \lor \ b &lt; a \to a \ne b).

\begin{align} 2. \ a = \{x, y\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x, y\} \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x, y\})) \\ \ \Rightarrow \forall x \forall y \ (x \in y \to y \notin x) \\ \ \Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \to b \notin a) \end{align}

Сравните с высказываниями ~ \forall a \forall b \ (a = b \to b = a) и ~ \forall a \forall b \ (a &lt; b \to b \not &lt; a).

\begin{align} 3. \ a = \{x, y, z\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x, y, z\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x, y, z\})) \\ \ \Rightarrow \forall a \forall b \forall c \ (a \in b \land b \in c \to c \notin a) \end{align}

Сравните с высказываниями ~ \forall a \forall b \forall c \ (a = b \land b = c \to c = a) и ~ \forall a \forall b \forall c \ (a &lt; b \land b &lt; c \to c \not &lt; a).

3.1 Аксиома выбора

\begin{align} \forall a \ (a \ne \varnothing \land \forall b \ (b \in a \to b \ne \varnothing) \land \forall b_1 \forall b_2 \ (b_1 \ne b_2 \land \{b_1, b_2\} \subseteq a \to b_1 \cap b_2 = \varnothing) \\ \ \to \exist d \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (b \cap d = \{c\}) \ ) \ ) \end{align}

Примечание

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество ~ d, в котором есть по одному элементу ~ c от каждого множества ~ b данного семейства ~ a.»

Пример
Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно:
~ 1. \quad \{\{0, 2, 4, ...\}, \ \{1, 3, 5, ...\}\} \ne \varnothing,
~ 2. \quad \{0, 2, 4, ...\} \ne \varnothing \quad \land \quad \{1, 3, 5, ...\} \ne \varnothing,
~ 3. \quad \{0, 2, 4, ...\} \ \cap \ \{1, 3, 5, ...\} = \varnothing.
Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества ~ \{0, 2, 4, ...\} и одного «делегата» (например, числа один) от множества ~ \{1, 3, 5, ...\}. Действительно:
~ \{0, 2, 4, ...\} \ \cap \ \{0, 1\} = \{0\}.
~ \{1, 3, 5, ...\} \ \cap \ \{0, 1\} = \{1\}.

Срд 23 Окт 2013 00:28:35
Функция Эйри \operatorname{Ai}\, (x) — специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделя Эйри. Функции \operatorname{Ai}\, (x) и связанная с ней \operatorname{Bi}\, (x), называемая также функцией Эйри, являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения
y'' - xy = 0,
называемого уравнением Эйри. Это простейшее дифференциальное уравнение, имеющее точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.
Функция Эйри описывает вид звезды (точечного источника света) в телескопе. Идеальная точка превращается в набор концентрических окружностей, в силу ограниченной апертуры и волновой природы света (Suiter 1994). Она также является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.
Содержание [убрать]
1 Определение
2 Свойства
3 Асимптотические выражения
4 Комплексный аргумент
5 Связь с другими специальными функциями
6 История
7 Ссылки
8 См. также
9 Литература
Определение[править править исходный текст]

Для вещественных x, функция Эйри определяется интегралом
\operatorname{Ai}\, (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty\!\cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt.
взятом в несобственном смысле. Легко проверить, что он действительно сходится.
Airy function.png

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри
y'' - xy = 0 .
У этого уравнения есть два линейно независимых решения. Вторым решением обычно берут функцию Эйри второго рода, обозначаемую \operatorname{Bi}\, (x). Она определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и \operatorname{Ai}\, (x), при стремлении x \to \infty, и отличающееся по фазе на \pi/2.
Для комплексных чисел функция Эйри определяется следующим образом:
\operatorname{Ai}\, (z) = \int\limits_{\gamma_k}\!\exp \left(pz - \frac{p^3}{3}\right)\, dp
где контур \gamma_k может быть одним из представленных на рисунке. Несмотря на то, что существует три контура интегрирования, решений уравнения Эйри остается по прежнему два, так как сумма интегралов по этим трем контурам равна нулю.
Свойства[править править исходный текст]

В точке x=0 функции \operatorname{Ai}\, (x) и \operatorname{Bi}\, (x) и их производные имеют значения
\begin{align}
\operatorname{Ai}\, (0) &amp;{}= \frac{1}{3^{2/3}\Gamma\left(\frac23\right)}, &amp; \quad \operatorname{Ai}'\, (0) &amp;{}= -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma\left(\frac13\right)}, \\
\operatorname{Bi}\, (0) &amp;{}= \frac{1}{3^{1/6}\Gamma\left(\frac23\right)}, &amp; \quad \operatorname{Bi}'\, (0) &amp;{}= \frac{3^{1/6}}{\Gamma\left(\frac13\right)}.
\end{align}
где \Gamma — гамма-функция. Отсюда следует, что вронскиан функций \operatorname{Ai}\, (x) и \operatorname{Bi}\, (x) равен 1/\pi.
При положительных x \operatorname{Ai}\, (x) — положительная, выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а \operatorname{Bi}\, (x) — положительная, выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных x \operatorname{Ai}\, (x) и \operatorname{Bi}\, (x) колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.
Асимптотические выражения[править править исходный текст]

При x стремящемся к +:
\begin{align}
\mathrm{Ai}(x) &amp;{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\, x^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}(x) &amp;{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\, x^{1/4}}.
\end{align}
\begin{align}
\mathrm{Ai}(-x) &amp;{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\, x^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}(-x) &amp;{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\, x^{1/4}}.
\end{align}
Комплексный аргумент[править править исходный текст]

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле
\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,
где интеграл берется по контуру C, начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом -/3 и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом /3. Можно пойти с другой стороны, использую дифференциальное уравнение y'' - xy = 0 для продолжения Ai(x) и Bi(x) до целых функций на комплексной плоскости.
Асимптотическая формула для Ai(x) остается в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение x2/3 и x не лежит на отрицательной вещественной полуоси. Формула для Bi(x) верна, если x лежит в секторе {xC : arg x &lt; (1/3)} для некоторого положительного . Формулы для Ai(x) и Bi(x) верны, если x лежит в секторе {xC : arg x &lt; (2/3)}.
Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции Ai(x) на комплексной плоскоти нет других нулей, а функция Bi(x) имеет бесконечно много нулей в секторе {zC : (1/3) &lt; arg z &lt; (1/2)}.
Связь с другими специальными функциями[править править исходный текст]

Для положительных аргументов, функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:
\begin{align}
\mathrm{Ai}(x) &amp;{}= \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), \\
\mathrm{Bi}(x) &amp;{}= \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right).
\end{align}
где I±1/3 и K1/3 — решения уравнения x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0.
Для отрицательных аргументов функции Эйри связаны с функциями Бесселя:
\begin{align}
\mathrm{Ai}(-x) &amp;{}= \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), \\
\mathrm{Bi}(-x) &amp;{}= \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). \end{align}
где J±1/3 — решения уравнения x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0.
Функции Скорера являются решениями уравнения y'' - xy = 1/\pi. Они также могут быть выражены через функции Эйри:
\begin{align}
\mathrm{Gi}(x) &amp;{}= \mathrm{Bi}(x) \int\limits_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int\limits_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\
\mathrm{Hi}(x) &amp;{}= \mathrm{Bi}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align}
История[править править исходный текст]

Функция Эйри названа в честь британского астронома Джоржда Бидделля Эйри, который столкнулся с ней в исследованиях по оптике (1838 г.). Обозначение Ai(x) было введено Гарольдом Джеффри.

Срд 23 Окт 2013 00:30:18
Автоморфизм алгебраической системы — изоморфизм, отображающий алгебраическую систему на себя.
Совокупность всех автоморфизмов некоторой алгебраической системы с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу. Группа автоморфизмов алгебраической системы K обозначается \operatorname{Aut}K.
Наиболее простой пример автоморфизма — это автоморфизм множества, то есть перестановка элементов этого множества.
Понятие автоморфизма можно обобщить на более абстрактные объекты, не являющиеся «множествами с дополнительной структурой». Так, в теории категорий автоморфизм определяется как эндоморфизм, являющийся также изоморфизмом (в категорном смысле этого слова).
Содержание [убрать]
1 Автоморфизмы групп
1.1 Примеры
2 Автоморфизмы колец
3 Автоморфизмы полей
4 Автоморфизмы графов
5 Примечания
6 См. также
7 Литература
Автоморфизмы групп[править править исходный текст]

Автоморфизм группы — биективный гомоморфизм группы на себя. Автоморфизм f группы G называется внутренним, если существует такой элемент a\in G, что f(x)=axa^{-1} (в этом случае f иногда обозначают как \alpha_a); в противном случае автоморфизм называется внешним.
Группа автоморфизмов группы G обозначается \operatorname{Aut}G, множество внутренних автоморфизмов обозначается \operatorname{Int}G. Поскольку \alpha_g\alpha_h=\alpha_{hg}, \; \operatorname{Int}G — подгруппа в \operatorname{Aut}G, можно также доказать, что она является нормальной подгруппой. Фактор-группа \operatorname{Out}G=\operatorname{Aut}G/\operatorname{Int}G называется группой внешних автоморфизмов группы. Отображение g\to\alpha_g определяет гомоморфизм G\to\operatorname{Int}G, ядро которого есть центр группы Z(G), так что \operatorname{Int}G\cong G/Z(G). Все нормальные подгруппы инвариантны под действием внутренних автоморфизмов. Подгруппы, инвариантные под действием всех автоморфизмов группы, называются характеристическими.
Всякая группа, совпадающая со своей группой автоморфизмов, называется совершенной. Совершенными являются все симметрические группы S_n при n\neq 2;6. Расширение группы, с помощью группы автоморфизмов, называется голоморфом.
Примеры[править править исходный текст]
\operatorname{Aut}\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}_2
\operatorname{Aut}\mathbb{Q}^+ = \mathbb{Q}^{\times}
\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_n^+ = \mathbb{Z}_{\varphi(n)}
\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_p^{\times} = \mathbb{Z}^+_{\varphi(p-1)}
\operatorname{Aut}S_n = S_n, n\neq 2;6, \; \operatorname{Out}S_6 = \mathbb{Z}_2
Если K — поле, характеристика которого больше двух, то \operatorname{Aut}\operatorname{GL}_n(K) = \operatorname{SL}_n(K).
Группа автоморфизмов множества всех комплексных корней степеней p^n из единицы есть группа p-адических чисел по сложению.
Группа внешних автоморфизмов свободной группы конечного ранга порождается преобразованиями Нильсена элементов базиса
Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли.[1]
Автоморфизмы колец[править править исходный текст]

Автоморфизмы полей[править править исходный текст]

Автоморфизмы графов[править править исходный текст]



Наименьшее асимметрическое дерево


Наименьший асимметрический граф
Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность.[2] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной:
Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины, и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.[3]
Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.
Для любой конечной группы найдется такой конечный неориентированный граф, что его группа автоморфизмов изоморфна данной.[4] Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли.[5][6]
Примечания[править править исходный текст]

Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 121
Ф. Харари Теория графов стр. 190
Ф. Харари Теория графов стр. 192
А. И. Белоусов Дискретная математика. — 4-е изд. — МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2006. — С. 349. — 744 с.
Ф. Харари Теория графов стр. 198—201
О. Оре Теория графов стр. 317

Срд 23 Окт 2013 00:30:26
>>56561408
Руки трясутся?

Срд 23 Окт 2013 00:30:57
Абелева (или коммутативная) группа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа (G, *) абелева, если a*b=b*a для любых двух элементов a, \;b\in G.

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +.

Название дано в честь норвежского математика Н. Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.
Содержание

1 Примеры
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Конечные абелевы группы
5 Вариации и обобщения
6 См. также
7 Литература

Примеры

Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
Любая циклическая группа G=\langle a\rangle. Действительно, для любых x=a^n и y=a^m верно, что

xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx.

В частности, множество \Z целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов \Z/n\Z\, .
Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле \R вещественных чисел с операцией сложения чисел.
Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем \Q рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n — натуральное число, а x — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой +, тогда nx можно определить как x+x+\ldots+x (n раз) и (-n)x = -(nx).
Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (т. е. модулей над областью главных идеалов \Z), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов.
Множество гомоморфизмов \operatorname{Hom}(G, \;H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой. Действительно, пусть f, \;g:G\to H — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f+g, заданная как (f+g)(x)=f(x)+g(x), тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H не является коммутативной группой).
Понятие абелевости тесно связанно с понятием центра Z(G) группы G — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы G, и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. \Z_{mn} изоморфно прямой сумме \Z_m и \Z_n тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямой суммы

\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}

двумя различными способами:

Где числа k_1, \;\ldots, \;k_u степени простых
Где k_1 делит k_2, которое делит k_3, и так далее до k_u.

Например, \Z/15\Z=\Z_{15} может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: \Z/15\Z=\{0, \;5, \;10\}\oplus\{0, \;3, \;6, \;9, \;12\}. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.
Вариации и обобщения

Дифференциальной группой называется абелева группа \mathbf{C}, в которой задан такой эндоморфизм d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}, что d^2=0. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра \ker\, d — циклами, элементы образа \mathrm{Im}\, d — границами.

Срд 23 Окт 2013 00:31:29
>>56559487
Это просто эталон тупопёздности. Начиная от темы, заканчивая стилем построения фраз. А вот это
>Один залез в душу. Ну туда тоже
просто шедевр.
10 из 10.

Срд 23 Окт 2013 00:32:05
>>56561600
То то же и оно. Я тоже не такая и у меня бомбит когда я вижу эту хуйню аля "все тян шлюхи" и так далее, ибо большинство кунов такие же и их никак не называют. Сейчас меня опять же назовут шлюхой, вниманиеблядью и нитакойкакфсе, так что через пару постов укатываюсь.

Срд 23 Окт 2013 00:32:27
Теория Галуа — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми. Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку. Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.
Содержание [убрать]
1 Приложение к классическим задачам
2 Симметрии корней
2.1 Пример: квадратное уравнение
2.2 Более сложный пример
3 Формулировка в терминах теории полей
4 Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах
5 См. также
6 Литература
Приложение к классическим задачам[править править исходный текст]

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как
Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?
Симметрии корней[править править исходный текст]

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами, которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.
Пример: квадратное уравнение[править править исходный текст]
У многочлена второй степени a x + b x + c имеются два корня x1 и x2, симметричных относительно точки x=-b/2a. Возможны два варианта:
Если эти корни рациональны, то уравнению x-x1=0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x1x2, и изоморфна \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
Более сложный пример[править править исходный текст]
Рассмотрим теперь многочлен (x25)224.
Его корни: a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}.
Существует 4!=24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.
Одно из таких уравнений — a+d=0. Поскольку a+c0, перестановка aa, bb, cd, dc не входит в группу Галуа.
Кроме того, можно заметить, что (a+b)=8, но (a+c)=12. Поэтому перестановка aa, bc, cb, dd не входит в группу.
Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:
(a, b, c, d) (a, b, c, d)
(a, b, c, d) (c, d, a, b)
(a, b, c, d) (b, a, d, c)
(a, b, c, d) (d, c, b, a)
и является четверной группой Клейна, изоморфной (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).
Формулировка в терминах теории полей[править править исходный текст]

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа. В частности, на этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения L\supset K. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения \mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)\supset \mathbb Q.
Ещё более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов). В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств тензорных произведений полей[en].
Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах[править править исходный текст]

Решения полиномиального уравнения P(x)=0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа уравнения разрешима.
Для любого n существуют уравнения n-й степени группа Галуа которых изоморфна симметрической группе Sn, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы Sn при n>4 не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n, корни которых не представимы при помощи радикалов — теорема Абеля-Руффини.

Срд 23 Окт 2013 00:32:53
Группа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются действительные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.
Содержание

1 Определения
1.1 Комментарии
1.2 Связанные определения
2 Стандартные обозначения
2.1 Мультипликативная запись
2.2 Аддитивная запись
3 Примеры
4 Простейшие свойства
5 Способы задания группы
6 История
7 Вариации и обобщения
8 Группы с дополнительной структурой
8.1 Топологические группы
8.2 Группы Ли
9 См. также
10 Примечания
11 Литература
11.1 Популярная литература
11.2 Научная литература

Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией \, \, \colon G \times G \to G называется группой (G, ), если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: \forall (a, b, c\in G): (a*b)c = a(b*c);
наличие нейтрального элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
наличие обратного элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)

Комментарии

Элемент a^{-1}, обратный элементу a, единственен.
В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

\forall (a, b\in G) \quad \exists (x, y\in G): (a*x=b)\and (y*a=b).

Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l*a=a\, ) и левого обратного (a_l^{-1}*a=e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a^{-1}:

a_l^{-1}*a*a_l^{-1}=e_l*a_l^{-1}=a_l^{-1} \Rightarrow e_l*a*a_l^{-1}=e_l \Rightarrow a*a_l^{-1}=e_l
a*e_l=a*a_l^{-1}*a=e_l*a=a\,

Связанные определения
Основная статья: Словарь терминов теории групп

В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
Пары элементов a, \;b, для которых выполнено равенство a*b = b*a, называются перестановочными или коммутирующими.
Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
Порядок группы (G, *) — мощность G (то есть число её элементов).
Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Стандартные обозначения
Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

результат операции называют произведением и записывают a*b или ab;
нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
обратный к a элемент записывается как a^{-1}.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу G при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: (G, •).

Кратные произведения aa, aaa, \dots записывают в виде натуральных степеней a^2, a^3, \dots[1]. Для элемента a корректно[2] определена целая степень, следующим образом:

a^0=e,
a^{-n}=(a^{-1})^n.

Для степени элемента справедливо a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n, m\in\mathbb Z. В частности, e^n=e, \forall n\in\mathbb Z.
Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
обратный элемент к a обозначают как «a» и называют его противоположным к a элементом;
запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
выражения вида a + a, a + a + a, -a — a, … обозначают символами 2a, 3a, 2a, …

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу G при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: (G, +).
Примеры

Целые числа с операцией сложения. (\Z, +) — коммутативная группа с нейтральным элементом 0.

Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

Свободная группа с двумя образующими (F_2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем \varepsilon (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a^{-1}, b и b^{-1} таких, что a не появляется рядом с a^{-1} и b не появляется рядом с b^{-1}. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1} и b^{-1}b.

Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

Циклические группы состоят из степеней \langle a\rangle = \{a^n \, \, n \in \mathbb{Z}\} одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S48, элементы которой соответствуют движениям кубика Рубика. Композиция двух движений снова является движением, для каждого движения существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.

Срд 23 Окт 2013 00:33:25
>>56559487
>Я знакомилась в соце
Все ясно.

Срд 23 Окт 2013 00:33:47
>>56561722
Все мы тут вниманиебляди. Успокойся, няша.

Срд 23 Окт 2013 00:34:18
>>56561722
> когда я вижу эту хуйню аля "все тян шлюхи"
Не все, но большинство. Большинство ~ все.

Группа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются действительные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.
Содержание

1 Определения
1.1 Комментарии
1.2 Связанные определения
2 Стандартные обозначения
2.1 Мультипликативная запись
2.2 Аддитивная запись
3 Примеры
4 Простейшие свойства
5 Способы задания группы
6 История
7 Вариации и обобщения
8 Группы с дополнительной структурой
8.1 Топологические группы
8.2 Группы Ли
9 См. также
10 Примечания
11 Литература
11.1 Популярная литература
11.2 Научная литература

Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией \, \, \colon G \times G \to G называется группой (G, ), если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: \forall (a, b, c\in G): (a*b)c = a(b*c);
наличие нейтрального элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
наличие обратного элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)

Комментарии

Элемент a^{-1}, обратный элементу a, единственен.
В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

\forall (a, b\in G) \quad \exists (x, y\in G): (a*x=b)\and (y*a=b).

Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l*a=a\, ) и левого обратного (a_l^{-1}*a=e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a^{-1}:

a_l^{-1}*a*a_l^{-1}=e_l*a_l^{-1}=a_l^{-1} \Rightarrow e_l*a*a_l^{-1}=e_l \Rightarrow a*a_l^{-1}=e_l
a*e_l=a*a_l^{-1}*a=e_l*a=a\,

Связанные определения
Основная статья: Словарь терминов теории групп

В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
Пары элементов a, \;b, для которых выполнено равенство a*b = b*a, называются перестановочными или коммутирующими.
Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
Порядок группы (G, *) — мощность G (то есть число её элементов).
Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Стандартные обозначения
Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

результат операции называют произведением и записывают a*b или ab;
нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
обратный к a элемент записывается как a^{-1}.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу G при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: (G, •).

Кратные произведения aa, aaa, \dots записывают в виде натуральных степеней a^2, a^3, \dots[1]. Для элемента a корректно[2] определена целая степень, следующим образом:

a^0=e,
a^{-n}=(a^{-1})^n.

Для степени элемента справедливо a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n, m\in\mathbb Z. В частности, e^n=e, \forall n\in\mathbb Z.
Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
обратный элемент к a обозначают как «a» и называют его противоположным к a элементом;
запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
выражения вида a + a, a + a + a, -a — a, … обозначают символами 2a, 3a, 2a, …

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу G при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: (G, +).
Примеры

Целые числа с операцией сложения. (\Z, +) — коммутативная группа с нейтральным элементом 0.

Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

Свободная группа с двумя образующими (F_2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем \varepsilon (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a^{-1}, b и b^{-1} таких, что a не появляется рядом с a^{-1} и b не появляется рядом с b^{-1}. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1} и b^{-1}b.

Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

Циклические группы состоят из степеней \langle a\rangle = \{a^n \, \, n \in \mathbb{Z}\} одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S48, элементы которой соответствуют движениям кубика Рубика. Композиция двух движений снова является движением, для каждого движения существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.

Срд 23 Окт 2013 00:35:10
Простейшие свойства

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
(a1)1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
(ab)1 = b1a1.
Верны законы сокращения:

c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b,
a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b.

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

С помощью порождающих и соотношений.

Факторгруппой G/H, где G — некоторая группа и H — её нормальная подгруппа. В частности, каждая группа является факторгруппой свободной группы порождающего множества этой группы по подгруппе соотношений группы.

Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
Прямым произведением двух групп (G, •) и (H, •), то есть множеством GH пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (g1, h1) • (g2, h2) = (g1•g2, h1•h2).

Свободным произведением двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих G и H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением \Z_2 и \Z_3.

История

Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле.

Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.
Вариации и обобщения

Группоид — магма.
Полугруппа
Множество G с заданной на нём бинарной операцией •, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
Квазигруппа

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий[3] это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств).
Топологические группы
Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой. Именно, топологическая группа — это[4] группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы G G G и операция взятия обратного элемента G G оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространств Top.

Наиболее важные примеры топологических групп — это[5] аддитивная группа действительных чисел (R, +), мультипликативная группа ненулевых действительных чисел (R*, •), полная линейная группа GL(n) порядка n, специальная линейная группа SL(n) порядка n, ортогональная группа O(n) порядка n, специальная ортогональная группа SO(n) порядка n, унитарная группа U(n), специальная унитарная группа SU(n) порядка n и др.
Группы Ли
Основная статья: Группа Ли

Группы Ли (названы в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы G G G и операция взятия обратного элемента G G оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений)). При этом всякая комплексная n-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности 2n.

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют[6] изометрии вида E E, где E — евклидово точечное пространство (полученная группа, обозначаемая[7] Is(E), является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства E, обозначаемой[8] Aff(E)).

Группы Ли являются (в плане богатства имеющейся на них структуры) лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.

Срд 23 Окт 2013 00:35:47
Группой Ли над полем K (K=\R или \mathbb C) называется группа G, снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над K, причём отображения \operatorname{mul} и \operatorname{inv}, определённые так:

\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\, (x, y) = xy,

\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\, x=x^{-1}

являются гладкими (в случае поля \mathbb C требуют голоморфности введённых отображений).

Всякая комплексная n-мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности 2n. Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения \operatorname{mul} и \operatorname{inv} записываются аналитическими функциями.

Названы в честь Софуса Ли. Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, физике и математическом анализе.
Содержание

1 Типы групп Ли
2 Подгруппы Ли
3 Гомоморфизмы и изоморфизмы
4 Действия групп Ли
5 Алгебра Ли группы Ли
6 См. также
7 Литература

Типы групп Ли

Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам (простоте, полупростоте, разрешимости, нильпотентности, абелевости), а также по топологическим свойствам (связности, односвязности и компактности).
Подгруппы Ли

Подгруппа H группы Ли G называется её подгруппой Ли, если она является подмногообразием в многообразии G, то есть найдётся m>0, такое, что H задаётся в окрестности каждой своей точки p системой из k функций, имеющей в p ранг m. Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида (e^{ix}, e^{i\pi x}) в торе \{(e^{ix}, e^{iy})\mid x, y\in\R\} не является подгруппой Ли (она дает всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, унитарные матрицы в группе обратимых комплексных матриц 2\times 2.

Пусть H — подгруппа Ли группы Ли G. Множество G/H смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если H — нормальная подгруппа, то факторгруппа будет группой Ли.
Гомоморфизмы и изоморфизмы

Пусть G и H — группы Ли над одним и тем же полем. Гомоморфизмом групп Ли называется отображение f\colon G\to H, являющееся гомоморфизмом групп и одновременно аналитическим отображением многообразий. (Можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности f.) Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют категории \operatorname{Lie}_\R и \operatorname{Lie}_\C. Гомоморфизм групп Ли называется изоморфизмом, если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли SO(2) поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли U(1) комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.

Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.

Гомоморфизм группы Ли G над полем K в группу GL(V) невырожденных линейных преобразований векторного пространства V над полем K называется представлением группы G в пространстве V.
Действия групп Ли

Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение действий групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли G действует на гладком многообразии M, если задан гомоморфизм групп a: G Diff M, где Diff M — группа диффеоморфизмов M. Таким образом, каждому элементу g группы G должно соответствовать диффеоморфное преобразование ag многообразия M, причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ag(m) точки m при диффеоморфизме, определяемом элементом g, обозначается просто gm.

Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются l, r и a:

lg(h) = gh,
rg(h) = hg,
ag(h) = ghg1.

Другим примером действия является действие группы Ли G на множестве смежных классов этой группы по какой-нибудь подгруппе Ли N G:

g (hN) = (gh)N,

Действие группы Ли G на дифференцируемом многообразии M называется транзитивным, если любую точку M можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента G. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли. называется однородным пространством этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы G диффеоморфно G / st x, где st x — стабилизатор произвольной точки.
Алгебра Ли группы Ли

Со всякой группой Ли можно связать некоторую алгебру Ли, которая полностью отражает локальную структуру группы, во всяком случае, если группа Ли связна.

Векторное поле на группе Ли G называется левоинвариантным, если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть

V(lg* f) = lg* (Vf) для всех g из G, и любой дифференцируемой функции f.

Эквивалентно,

dlg (Vx) = Vgx для всех x, g из G.

Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле V на группе Ли полностью определяется своим значением Ve в единице. Наоборот, задав произвольный вектор V в касательном пространстве Ge к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.

Скобка Ли [X, Y] левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому Ge является алгеброй Ли. Эта алгебра называется алгеброй Ли группы G. Обычно она обозначается соответствующей малой готической буквой.

Срд 23 Окт 2013 00:37:02
>>56559487
Тянчую, одни тупые биопроблемные скоты, даже поговорить не о чем, заебала эта жизнь, с одной стороны тупой биомусор, который ебется налево и направо, а с другой тупые дрочеры-омежки, которые даже слова вымолвить не могут без заикания и запинок, ну, такие вообще мимо проходят, пускай дрочат дальше, стану лезби, буду с тяночками ебаться, куны не нужны. Толсто слишком, мразюка, надо было на шлюходоске тред пилить, там веселее бы было.

Срд 23 Окт 2013 00:38:12
Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.
Коэффициенты Клебша — Гордона названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).
Содержание [убрать]
1 Взаимодействие моментов импульса
2 Базис собственных векторов суммарного момента импульса
3 Свойства коэффициентов Клебша — Гордана
4 Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана
5 Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)
6 См. также
7 Ссылки
8 Литература
Взаимодействие моментов импульса[править править исходный текст]

См. также статью Оператор момента импульса.
Рассмотрим два момента импульса J_1 и J_2, которые обладают квантовыми числами j_1 и m_1 (z-компонента) и j_2 и m_2. При этом m_1 и m_2 принимают значения m_1=[-j_1, \;\ldots, \;j_1] и m_2=[-j_2, \;\ldots, \;j_2] соответственно. Моменты импульса коммутируют [J_1, \;J_2]=0, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): \left j_1, \;m_1\right\rangle или \left j_2, \;m_2\right\rangle. В базисе \left j_1, \;m_1\right\rangle момент J_1 принимает простой диагональный вид, аналогично J_2 в базисе \left j_2, \;m_2\right\rangle.
При взаимодействии, оба момента импульса J_1 и J_2 складываются в общий момент \vec{J}=\vec{J_1}+\vec{J_2}, который обладает квантовыми числами J и M, принимающими следующие значения
j_1-j_2 \leqslant J\leqslant j_1+j_2 и M=[-J, \;\ldots, \;J] (с шагом 1).
Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса J_1 и J_2, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:
\left j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\right\rangle=\left j_1, \;m_1\right\rangle\otimes\left j_2, \;m_2\right\rangle.
Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса \vec{J} и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.
Базис собственных векторов суммарного момента импульса[править править исходный текст]

Собственные вектора момента \vec{J} однозначно определяются квантовыми числами J, M, j_1 и j_2. В базисе этих векторов суммарный момент J принимает простую диагональную форму. А именно
\vec{J}\, ^2\left J, \;M, \;j_1, \;j_2\right\rangle=J(J+1)\hbar^2\left J, \;M, \;j_1, \;j_2\right\rangle;
J_z\left J, \;M, \;j_1, \;j_2\right\rangle=M\hbar\left J, \;M, \;j_1, \;j_2\right\rangle.
Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов \left j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\right\rangle в базис собственных векторов \left J, \;M, \;j_1, \;j_2\right\rangle.
\left J, \;M, \;j_1, \;j_2\right\rangle=\sum_{m_1, \;m_2}\left j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\right\rangle\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle.
Здесь \langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle являются коэффициентами Клебша — Гордана.
Свойства коэффициентов Клебша — Гордана[править править исходный текст]

Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий j_1-j_2 \leqslant J\leqslant j_1+j_2 и M=m_1+m_2:
\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad j_1-j_2 \leqslant J\leqslant j_1+j_2\;\wedge\;M=m_1+m_2.
Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:
\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle\in\R.
Коэффициент Клебша — Гордана при M=J задают положительным:
\langle j_1, \;j_1;\;j_2, \;J-j_1\vert J, \;J, \;j_1, \;j_2\rangle>0.
Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при M=-M:
\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle=(-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1, \;-m_1;\;j_2, \;-m_2\vert J, \;-M, \;j_1, \;j_2\rangle.
Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
\sum_{m_1, \;m_2}\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J', \;M', \;j_1, \;j_2\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}.
Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
\sum_{J, \;M}\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle\langle j_1, \;m'_1;j_2, \;m'_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle=\delta_{m_1m'_1}\delta_{m_2m'_2}.
Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана[править править исходный текст]

Собственное состояние с J=j_1+j_2 и M=J непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)
j_1+j_2, \;j_1+j_2, \;j_1, \;j_2\rangle= j_1, \;j_1;\;j_2, \;j_{2}\rangle.
Применением оператора уменьшения J_-=J_{1\, -}+J_{2\, -} можно получить состояния от j_1+j_2, \;j_1+j_2-1, \;j_1, \;j_2\rangle до j_1+j_2, \;-j_1-j_2, \;j_1, j_2\rangle, или же все состояния с J=j_1+j_2 и M=-J, \;\ldots, \;J=-j_1-j_2, \;\ldots, \;j_1+j_2.
Состояние j_1+j_2-1, \;j_1+j_2-1, \;j_1, \;j_2\rangle можно получить из условия ортогональности к состоянию j_1+j_2, \;j_1+j_2-1, \;j_1, \;j_2\rangle и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при M=J является положительным.
Применением оператора уменьшения к J=j_1+j_2-1 можно опять получить все состояния с M=-j_1-j_2+1, \;\ldots, \;j_1+j_2-1. Итеративно можно применять эту процедуру для всех J до J= j_1-j_2 .
На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:
\langle j_1, \;m_1;\;j_2, \;m_2\vert J, \;M, \;j_1, \;j_2\rangle=\sqrt{2j+1}\sqrt{\Delta_{j_1j_2j}}\sqrt{\dfrac{(j_1+m_1)!(j-m)!}{(j_1-m_1)!(j_2+m_2)!(j_2-m_2)!(j+m)!}}\times
\times\sum_{s=\max(m_1+m_2, \;j_1-j_2)}^j\dfrac{(-1)^{j_1+m_2-s}(j+s)!(j_2+s-m_1)!}{(j-s)!(s-m_1-m_2)!(s-j_1+j_2)!(j_1+j_2+s+1)!},
где
\Delta_{j_1j_2j}=\frac{(j_1+j_2-j)!(j_2+j-j_1)!(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1-j_2+j)!}.
Если j_1-j_2 — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям s, а если j_1-j_2 — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям s.
Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)[править править исходный текст]

Рассмотрим группу G и её представление. Выберем базисные вектора \psi_\mu^{(\alpha)} и \psi_\nu^{(\beta)} неприводимых представлений D^{(\alpha)} и D^{(\beta)} этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность f_k операторов \{\hat F^{(k)}_\chi\}_1^{f_k}, если в результате преобразований g, образующих группу G, компоненты тензора \hat F_\chi^{(k)} преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям D^{(k)} этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:
\tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}.
Векторы \hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle , где \chi=1, \;2, \;\ldots, \;f_k;\;\nu=1, \;2, \;\ldots, \;f_\beta образуют базис представления D^{(k)}\times D^{(\beta)}. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений D^{(\gamma)}, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы G \langle k\chi, \;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle.
\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi, \;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.
Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений \hat D^{(\gamma)} в линейную комбинацию прямого произведения представлений \hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}.
\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma=\sum_{\mu, \;\nu}\langle\alpha\mu, \;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)},
где V_\mu^{(\alpha)}, V_\nu^{(\beta)} — базисные векторы представлений \hat D^{(\alpha)}, \;\hat D^{(\beta)}, а \{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma — базисные векторы представления \hat D^{(\gamma)}: \hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}=\sum_\gamma^\oplus a^{(\gamma)}\hat D^{(\gamma)}.
Из определения коэффициентов Клебша — Гордона следует: V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)}=\sum_{\gamma\rho}\langle\alpha\mu, \;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.
Коэффициенты Клебша — Гордона образуют унитарную матрицу.

Срд 23 Окт 2013 00:38:47
Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[], системы линейных уравнений[], квадратичные и билинейные формы[], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[], сопряжение. Теория инвариантов[en] и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры[1].

Полилинейная алгебра — часть линейной алгебры, изучающая такие обобщения векторов, билинейных и квадратичных форм, как полилинейные формы, тензоры[], тензорное произведение[2].

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства[] опирается исключительно абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп[]. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании[], в эконометрике[]) и естественных науках (например, в квантовой механике[]).
Содержание

1 История
2 Основные конструкции
2.1 Матрицы и определители
2.2 Векторы
2.3 Тензоры
2.4 Квадратичные и билинейные формы
2.5 Векторные пространства
2.6 Линейные отображения
2.7 Собственные векторы и собственные числа
2.8 Жорданова нормальная форма
3 Применение
3.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
3.2 Теория представлений
3.3 Линейное программирование
3.4 Эконометрика
3.5 Квантовая механика
4 Примечания
5 Литература
5.1 Учебники
5.2 Задачники
5.3 Дополнительная литература
5.4 История

История

Первые элементы линейной алгебры следовали из практических вычислительных задач вокруг решения линейных уравнений, в частности, такие арифметические приёмы как тройное правило[en] и правило ложного положения[en] были сформулированы ещё в древности. В «Началах» Евклида фигурируют две теории «линейного» характера: теория величины и теория целых чисел. Близкие к современным матричным методам подходы к решению систем линейных уравнений обнаруживаются у вавилонян (системы из двух уравнений с двумя переменными) и древних китайцев (в «Математике в девяти книгах», до трёх уравнений с тремя переменными)[3]. Однако после достижения определённости с основными вопросами нахождения решений систем линейных уравнений развитие раздела практически не происходило, и даже в конце XVIII — начале XIX века считалось, что проблем относительно уравнений первой степени больше не существует, притом системы линейных уравнений с числом переменных, отличающихся от количества уравнений или с линейно-зависимыми коэффициентами в левой части попросту считались некорректными[4].

Методы, сформировавшие линейную алгебру как самостоятельную отрасль математики, уходят корнями в другие разделы. Ферма в 1630-е годы, создав классификацию плоских кривых, ввёл в математику (ключевой для линейной алгебры) принцип размерности и разделил задачи аналитической геометрии по числу неизвестных (с одним неизвестным — отыскание точки, с двумя — кривой или геометрического места на плоскости, с тремя — поверхности). Эйлер создал классификацию кривых по порядкам обратив внимание на линейный характер преобразований координат, ввёл в оборот понятие аффинного преобразования (и само слово «аффинность»)[5].

Первое введение понятия определителя для целей решения систем линейных уравнений относят к Лейбницу (1678[6] или 1693 год[7]), но эти работы не были опубликованы. Также определитель обнаруживается в трудах Сэки Такакадзу 1683 года, в которых он обобщил метод решения систем линейных уравнений из древнекитайской «Математики в девяти книгах» до n уравнений с n неизвестными[8]. Маклорен, фактически используя простейшие определители в трактате вышедшем 1748 году приводит решения систем их двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трёх уравнений с тремя неизвестными[9]. Крамер и Безу в работах по проблеме отыскания плоской кривой, проходящей через заданную точку, вновь построили это понятие (правило Крамера сформулировано в 1750 году), Вандермонд и Лагранж дали индуктивное определение для случаев n>3[10], а целостное определение и окончательные свойства определителей дали Коши (1815) и Якоби (1840-е годы)[4]. Гауссу (около 1800 года) принадлежит формализация метода последовательного исключения переменных для решения этих задач, ставшего известным под его именем[11] (хотя по существу для решения систем линейных уравнений именно этот метод и использовался с древности[5]).

Д’Аламбер, Лагранж и Эйлер, работая над теорией дифференциальных уравнений в том или ином виде выделили класс линейных однородных уравнений и установили факт, что общее решение такого уравнения порядка n является линейной комбинацией n частных решений (однако, при этом не отмечали необходимость линейной независимости решений)[12]. Основываясь на наблюдении, что множество значений целочисленной функции f(x, y) не меняется от того, что над x и y совершается линейная подстановка (с целыми коэффициентами и определителем, равным 1), Лагранж в 1769 году разрабатывает теорию представления целых чисел квадратичными формами, а в 1770 году обобщает теорию до алгебраических форм. Гаусс развил теорию Лагранжа, рассматривая вопросы эквивалентности форм, и ввёл серию понятий, относящихся к линейным подстановкам, самым важным из которых было понятие сопряжённой (транспонированной) подстановки[13]. С этого времени арифметические и алгебраические исследования квадратичных и связанных с ними билинейных форм составляют существенную часть предмета линейной алгебры[14].

Ещё одним источником подходов для линейной алгебры стала проективная геометрия, создание которой начато Дезаргом в XVII веке и получившей значительное развитие в трудах Монжа конца XVIII века и в дальнейшем в работах Понселе, Брианшона и Шаля начала — середины XIX века. В те времена основным предметом изучения проективной геометрии были коники и квадрики, являющиеся по сути квадратичными формами. Кроме того, понятие двойственности проективных пространств, введённое Монжем, являет один из аспектов двойственности в линейных пространствах (однако эта связь была замечена только в конце XIX века Пинкерле[it]).[15]

Срд 23 Окт 2013 00:38:55
Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,
где \alpha — произвольное вещественное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя \alpha и (-\alpha) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по \alpha).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Содержание [убрать]
1 Применения
2 Определения
2.1 Функции Бесселя первого рода
2.1.1 Интегралы Бесселя
2.2 Функции Неймана
3 Свойства
3.1 Асимптотика
3.2 Гипергеометрический ряд
3.3 Производящая функция
4 Соотношения
4.1 Формула Якоби — Аигера и связанные с ней
4.2 Теорема сложения
4.3 Интегральные выражения
5 См. также
6 Примечания
7 Литература
Применения[править править исходный текст]

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
теплопроводность в цилиндрических объектах;
формы колебания тонкой круглой мембраны
распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Определения[править править исходный текст]

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функции Бесселя первого рода[править править исходный текст]
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми J_\alpha(x), являются решения, конечные в точке x=0 при целых или неотрицательных \alpha. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых \alpha):
J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}
Здесь \Gamma(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально \frac{1}{\sqrt{x}}, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.
Ниже приведены графики J_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:
График функции Бесселя первого рода J
Если \alpha не является целым числом, функции J_\alpha (x) и J_{-\alpha} (x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если \alpha целое, то верно следующее соотношение:
J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Интегралы Бесселя[править править исходный текст]
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений \alpha, используя интегральное представление:
J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\, d\tau
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\, d\tau
Функции Неймана[править править исходный текст]
Функции Неймана — решения Y_\alpha(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x=0.
Эта функция связана с J_\alpha(x) следующим соотношением:
Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},
где в случае целого \alpha берётся предел по \alpha, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x).
Ниже приведён график Y_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:
График функции Бесселя второго рода N
Свойства[править править исходный текст]

Асимптотика[править править исходный текст]
Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах (0 &lt; x \ll \sqrt{\alpha + 1}) и неотрицательных \alpha они выглядят так:[1]
J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] &amp; \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\
-\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha &amp; \mbox{;}\quad\alpha > 0
\end{matrix} \right.,
где \gamma — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а \Gamma — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (x \gg \alpha^2 - 1/4 ) формулы выглядят так:
J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}}
\cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}}
\sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).
Гипергеометрический ряд[править править исходный текст]
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).
Таким образом, при целых \alpha функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция[править править исходный текст]
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n
Соотношения[править править исходный текст]

Формула Якоби — Аигера и связанные с ней[править править исходный текст]
Получается выражения для производящей при a=1, t=e^{i\phi}:[2]
e^{iz\sin\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_{n=1}^\infty J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi.
При a=1, t=ie^{i\phi}:[2]
e^{iz\cos\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi).
Теорема сложения[править править исходный текст]
Для любого целого n и комплексных z_1, z_2 выполняется[3]
J_n(z_1+z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty J_k(z_1) J_{n-k}(z_2).
Интегральные выражения[править править исходный текст]
Для любых a и b (в том числе комплексных) выполняется[3]
\int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}.
Частным случаем последней формулы является выражение
\int_0^\infty e^{-at}J_0(bt)\mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Срд 23 Окт 2013 00:39:19
Но основной базой линейной алгебры стало фактически влившееся в раздел векторное исчисление, очерченное Гауссом в работах по геометрической интерпретации комплексных чисел (1831) и обретшее окончательную форму в трудах Мёбиуса, Грассмана и Гамильтона 1840-х — 1850-х годах. Так, Гамильтон в 1843 году обобщает комплексные числа до кватернионов и даёт им геометрическую интерпретацию по аналогии с гауссовой (Гамильтону, в том числе, принадлежит и введение термина «вектор»), а в 1844 году Грассман строит понятие внешней алгебры, описывающей подпространства линейного пространства[16]. Всеобщее признание векторного исчисления в конце XIX века существенно связано с применением векторов ведущими физиками-теоретиками того времени, прежде всего, Максвеллом, Гиббсом, Хевисайдом, в частности, физиками тщательно проработана векторная алгебра в трёхмерном евклидовом пространстве: введены понятия скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, набла-оператор[17], сформирована вошедшая в традицию символика, также начиная с этого времени векторы проникают и в школьные программы.

Понятие матрицы ввёл Сильвестр в 1850 году[18][19]. Кэли обстоятельно разрабатывает матричное исчисление, публикуя в 1858 году «Мемуар о теории матриц» (англ. Memoir on the theory of matrices), принципиально, что Кэли рассматривает матрицы как нотацию для линейных подстановок[16]. В частности, в этой работе Кэли вводит сложение и умножение матриц, обращение матриц, рассматривает характеристические многочлены матриц и формулирует и доказывает для случаев 22 и 33 утверждение об обращении в нуль характеристического многочлена квадратной матрицы (известное как теорема Гамильтона — Кэли, так как случай 44 доказал Гамильтон с использованием кватернионов), доказательство для общего случая принадлежит Фробениусу (1898). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867).

Теория инвариантов[en] в классическом варианте — учение о свойствах алгебраических форм, сохраняющихся при линейных преобразованиях, сформирована начиная с 1840-х годов в работах Кэли, Эрмита и Сильвестра (известных как «инвариантная троица», фр. la trinit invariantive), считается[20], что именно теория инвариантов и приводит к созданию принципов решения произвольных систем линейных уравнений. В частности, Эрмит[уточнить] сформулировал и решил в частном случае проблему нахождения системы линейных диофантовых уравнений, решение в общем случае найдено Смитом (англ. Henry John Stephen Smith), результат которого остался незамеченным, пока не был обнаружен в 1878 году Фробениусом[20]. Финальный вид результаты о системах линейных уравнений с произвольными числовыми коэффициентами получили в работах, организованных Кронекером, в которых принимали участие Вейерштрасс, Фробениус и группа немецких учёных, особое внимание уделялось строгости и точности формулировок. В частности, определитель в курсе лекций Кронекера — Вейршртаса вводился как полилинейная знакопеременная функция от n векторов n-мерного пространства, нормированная таким образом, что принимает значение 1 для единичной матрицы; притом это определение эквивалентно вытекающему из исчисления Грассмана[20][21]. Фробениус в 1877 году ввёл понятие ранга матрицы, основываясь на котором в ближайшие годы сразу несколько учёных доказали утверждение об эквивалентности разрешимости системы линейных уравнений совпадением рангов её основной и расширенной матрицы, известной в русских и польских источниках как теорема Кронекера — Капелли, во французских — теорема Руше (фр. Eugne Rouch) — Фонтене (фр. Georges Fonten), в немецких и испанских — теорема Руше — Фробениуса, в итальянских и английских — теорема Руше — Капелли.

В 1888 году Пеано на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства (векторных пространств над полем действительных чисел в том числе бесконечномерных) и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века[22]. Тёплиц в начале 1910-х годов обнаружил, что при помощи аксиоматизации линейного пространства для доказательства основных теорем линейной алгебры не требуется прибегать к понятию определителя, что позволяет распространить их результаты на случай бесконечного числа измерений, иными словами, линейная алгебра применима при любом основном поле[22]. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые чётко сформулировано в начале XX века практически одновременно Вейлем и фон Нейманом, исходя из запросов квантовой механики[23].

Тензорное исчисление, разработанное в 1890-е годы Риччи и Леви-Чивитой, составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е — 1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров Эйнштейном и Гильбертом в математическом описании общей теории относительности.

В 1922 году Банах, изучая полные нормированные линейные пространства, ставшие известными после его работ как банаховы, обнаружил, что уже в конечном случае возникают линейные пространства, не изоморфные своему сопряжению[24], и в этой связи в первой половине XX века методы и результаты линейной алгебры обогатили функциональный анализ, сформировав его основной предмет в современном понимании — изучение топологических линейных пространств[25]. Также в 1920-е — 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат Дедекинда о линейной независимости любых автоморфизмов поля, Артин линеаризовывает теорию Галуа, а в 1950-е годы, прежде всего, в работах Джекобсона (англ. Nathan Jackobson), эти результаты обобщены на произвольные расширения тел[26]; благодаря этим построениям обретена возможность применения инструментов и достижений хорошо изученной линейной алгебры в весьма абстрактных разделах общей алгебры.
Схема алгоритма LU-разложения

Со второй половины XX века с появлением компьютеров, развитием методов вычислительной математики и компьютерной алгебры в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел вычислительной линейной алгебры (англ. numerical linear algebra), а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. В числе работ, положивших начало разработке этого направления, стало создание Тьюрингом алгоритма LU-разложения квадратной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные (1948)[27]. Показательно, что результаты тестов Linpack[en], в которых вычислительные системы должны решить сложные системы линейных уравнений с использованием LU-разложения, считаются основным показателем производительности вычислений с плавающей запятой, в том числе и для кластерных систем. В 1950-е — 1960-е годы крупные исследования в области вычислительной линейной алгебры опубликованы Фаддеевым и Уикинсоном, значительные результаты в 1970-е — 2000-е годы получены Марчуком, Самарским, Годуновым, Голубом (англ. Gene H. Golub), Аксельсоном[28].

Срд 23 Окт 2013 00:39:27
Потенциал Леннард-Джонса (потенциал 6-12) — простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Эта модель достаточно реалистично передаёт свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчётах и при компьютерном моделировании. Впервые этот вид потенциала был предложен Леннард-Джонсом в 1924 году.[1]
Содержание [убрать]
1 Вид потенциала взаимодействия
2 Различные формы записи
3 Термодинамические свойства
4 Применение в компьютерном моделировании
4.1 Оборванный потенциал
4.2 Приближение сплайнами
5 Потенциал m-n
6 Экспериментальные методы определения параметров и
6.1 Значения параметров и для некоторых веществ
7 Границы применимости
8 Примечания
9 Литература
10 См. также
11 Ссылки
Вид потенциала взаимодействия[править править исходный текст]



Характерный вид потенциала Леннард-Джонса.
Потенциал Леннард-Джонса записывается в следующем виде:

U® = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
где r — расстояние между центрами частиц, \varepsilon — глубина потенциальной ямы, \sigma — расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю. Параметры \varepsilon и \sigma являются характеристиками атомов соответствующего вещества. Характерный вид потенциала показан на рисунке, его минимум лежит в точке r_{min} = \sigma \sqrt[6]{2}.
При больших r молекулы притягиваются, что соответствует члену -\left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 в формуле. Эту зависимость можно обосновать теоретически, и обусловлена она силами Ван-дер-Ваальса (диполь-дипольное индуцированное взаимодействие).
На малых же расстояниях молекулы отталкиваются из-за обменного взаимодействия (при перекрытии электронных облаков молекулы начинают сильно отталкиваться), чему соответствует член \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12}. Данный конкретный вид потенциала отталкивания, в отличие от вида потенциала притяжения, не имеет под собой теоретического обоснования. Более обоснованной является экспоненциальная зависимость[источник не указан 555 дней]. Однако потенциал отталкивания Леннард-Джонса более удобен в вычислениях, так как r^{12}=\left(r^6 \right)^2, что и оправдывает его применение.
Различные формы записи[править править исходный текст]

Потенциал Леннард-Джонса также часто записывается в следующем простейшем виде:

U® = \frac{a_1}{r^{12}} - \frac{a_2}{r^6},
где
a_1 = 4 \varepsilon \sigma^{12}, \;\;\; a_2 = 4 \varepsilon \sigma^6.
Встречается и такая форма записи:

U® = \varepsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right],
где r_{min} = \sigma \sqrt[6]{2} — точка минимума потенциала.
Термодинамические свойства[править править исходный текст]

Модель Леннард-Джонса можно использовать при описании газообразной, жидкой и твёрдой фаз вещества. Наименьшее значение свободной энергии для условного вещества, для которого справедлива модель Леннард-Джонса достигается при гексагональной плотной упаковке. При повышении температуры структура с наименьшей свободной энергией сменяется на кубическую гранецентрированную плотную упаковку, а затем наблюдается переход к жидкости. Под действием давления для структуры с наименьшей энергией происходит переход от кубической плотной упаковки к гексагональной плотной упаковке. [2]
Критическая точка для рассматриваемого условного вещества в безразмерных переменных (T^=k_B T / \varepsilon, \; \rho^=\rho \sigma^3) лежит при следующих значениях температуры и концентрации: [3]
T_c^* = 1{, }326 \pm 0{, }002, \;\;\; \rho_c^* = 0{, }316 \pm 0{, }002.
Флигенхарт и Леккеркеркер предложили следующее выражение для связи критической точки и второго вириального коэффициента: [4]
B_2 \vert_{T=T_c}= -\pi \sigma^3
Положение тройной точки было установлено Мастни и Пабло: [5]
T_{tp}^* = 0{, }694,
\rho_{tp}^* = 0{, }84 (жидкость); \rho_{tp}^* = 0{, }96 (твёрдое тело).
Применение в компьютерном моделировании[править править исходный текст]

Оборванный потенциал[править править исходный текст]
Для ускорения расчётов потенциал Леннард-Джонса часто обрывают на расстоянии r_c = 2{, }5 \sigma. Выбор r_c = 2{, }5 \sigma обусловлен тем, что на этом расстоянии значение энергии взаимодействия составляет лишь 0, 0163 от глубины ямы \varepsilon.
Однако обрывать потенциал таким способом не всегда удобно. А именно, подобный обрыв означает, что при пересечении молекулой сферы радиуса r_c энергия системы меняется скачком, или, что то же самое, на молекулу действует бесконечно большая сила. Для того чтобы избежать этой нефизической ситуации, при обрыве потенциала его так же сдвигают, так что выполняется U(r_c)=0:

\begin{cases}
U®=4 \varepsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 \right] - U_{LJ}(r_c) &amp; r \leqslant r_c, \\
0 &amp; r > r_c,
\end{cases}
U_{LJ}(r_c) — значение необорванного потенциала Леннард-Джонса на расстоянии r_c.
Приближение сплайнами[править править исходный текст]
Ещё одним из способов ускорения вычислений является использование сплайнов. При этом потенциал взаимодействия разбивается на несколько участков, на каждом из которых он приближается простой функцией. Часто используется следующее приближение: [6]

\begin{cases}
U®=4 \varepsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 \right] &amp; r \leqslant r_s, \\
k_1 (r-r_c)^3 + k_2 (r-r_c)^2 &amp; r_s&lt;r \leqslant r_c \\
0 &amp; r > r_c,
\end{cases}
здесь r_s=(26/7)^{1/6} \sigma \approx 1{, }24 \sigma, \; r_c=67/48r_s \approx 1{, }73 \sigma, \; k_1 = \textstyle{-\frac{387072}{61009}} \varepsilon/r_s^3, \; k_2 = \textstyle{-\frac{24192}{3211}} \varepsilon/r_s^2.
Потенциал m-n[править править исходный текст]

Иногда под потенциалом Леннард-Джонса подразумевается его более общая форма, а именно:
U® = c_{m, n} \varepsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^m - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^n \right].
где m, n \in \mathbb{N}, \, m > n . Коэффициент c_{m, n} выбирается так, чтобы минимальное значение потенциальной энергии U® равнялось -\varepsilon.
Экспериментальные методы определения параметров и [править править исходный текст]

Planned section.svg
Этот раздел статьи ещё не написан.
Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.
Значения параметров и для некоторых веществ[править править исходный текст]
Planned section.svg
Этот раздел статьи ещё не написан.
Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.
Границы применимости[править править исходный текст]

Как уже было сказано, потенциал Леннард-Джонса описывает парное взаимодействие неполярных сферических молекул, таким образом он не подходит для других типов молекул (несферических и/или имеющих постоянные дипольные моменты). Также следует помнить, что потенциал отталкивания модели является достаточно грубым приближением.
Хотя потенциал Леннард-Джонса и используется при моделировании жидкости и твёрдых тел, строго говоря, взаимодействие молекул при больших плотностях уже не является парным. В конденсированных средах на рассматриваемую пару молекул влияют молекулы окружения. Так было найдено, что для твёрдого аргона вклад в энергию от тройных взаимодействий может достигать 10 процентов. [7] Однако, учёт тройных взаимодействий вычислительно слишком дорог, поэтому обычно довольствуются неким эффективным парным потенциалом, где параметры \varepsilon и \sigma отличаются от таковых для разреженных газов.

Срд 23 Окт 2013 00:39:48
>>56561139
Бабок с лавочки, обсуждающую прохожих, слабо прогнать? В том то и суть, что с админством анон стал таким же, только в инете. Моралфаг по своис, но оащрешенным макакой правилам.
Охуеть.
Темы такие же. Правиткльсво воры. Молодые девушки - шлюхи. Успешность работающих ребят, имеющте любые ценности, не против власти и желающие сощдавать домашний уют- ололо пидорашки.
Шаблон на шаблоне. Лексткон эллочки людоедки.
Опишу эго и вброшу, наверное.
Хочу вытащить адекватов из этой помойной ямы.
Развития ноль. Причина - постоянный приток нешуганных ньюфагов.
Без правил принятия любле щаурытое общество скатывается.

Срд 23 Окт 2013 00:40:54
>>56561408

Ты вот не думай, что в этой теме есть охуенно что-то. Это мне, лично мне подвачевать захотелось и всё. А так бы хуй кто сюда писал. Я даже сажицу врублю просто чтобы и мыслей таких не возникало. Хуй кто сюда напишет на самом-то деле. Внатуре все подумают, хуля с этими затупками общаться.

>>56561545

Ты внатуре решил потроллить просто или до слов доебаться. Потому это реально тупизна, не осознавать, что я пишу, или просто нету такого желания. Просто реально как тупая шлюха рассуждаешь. Я как-то читал этот раздел и охуел, я, блядь, реально не знал, как это происходит, не было у меня представления ясного об этом. Мне пацаны рассказывали, типа двух, трёх ебу, такие дела вот. Ну они смогли - сделали, что тут скажешь. Но у меня такой когнитивный диссонанс был, где они этих дур находят?
Просто поймите, что каждая тупая шлюха должна подойти к зеркалу и посмотреть на себя, и увидеть, что вот, эта тупая шлюха перед ней стоит. И какие причины и какие следствия от этого бывают. Я вот это пытаюсь донести хотя бы для начала.

Срд 23 Окт 2013 00:41:26
Матрицы и определители
Основные статьи: Определитель, Матрица (математика)

Матрица — математический объект, записываемый в прямоугольной таблице размером m \times n, в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного (основного) поля (в наиболее общем случае — ассоциативного кольца[29]) — это могут быть целые, вещественные или комплексные числа, векторы, рациональные функции — в зависимости от приложений и задач:

\begin{pmatrix} a_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1j} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ a_{i1} &amp; \cdots &amp; a_{ij} &amp; \cdots &amp; a_{in} \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ a_{m1} &amp; \cdots &amp; a_{mj} &amp; \cdots &amp; a_{mn} \end{pmatrix}

Для матриц используется также сокращённая запись (a_{ij}), но обычно с матрицами оперируют как с едиными объектами: над матрицами определены сложение и умножение, также матрицу можно умножить на скаляр — элемент основного поля, относительно этих операций образуют векторное пространство[] над основным полем (или, в наиболее общем случае — модуль над кольцом). Другие операции над матрицами — транспонирование (замена строк на столбцы) и псевдообращение (обобщение обращения квадратных матриц). Матрицы размера 1 \times n и m \times 1 называются вектор-строка и вектор-столбец соответственно.

Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной, в зависимости от содержания они могут быть диагональными (все элементы — нули основного поля, кроме диагональных: i \neq j \Rightarrow a_{ij} = 0), единичными (все диагональные элементы равны единице основного поля, а остальные — нулю), симметричными (все элементы симметричны относительно главной диагонали: a_{ij} = a_{ji}), кососимметричными (a_{ij} = - a_{ji}), треугольными (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю), ортогональными. Cреди квадратных матриц вводится отношение подобия (A \sim B \Leftrightarrow \exists P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P), где P^{-1} — матрица, обратная P), такие характеристики матриц, как ранг (максимальное количество линейно независимых строк или столбцов) и характеристический многочлен инвариантны относительно подобия[30]. Также одинаковы для подобных прямоугольных матриц такие характеристики, как след (взятие суммы элементов главной диагонали) и определитель.

Определитель — многочлен, комбинирующий элементы прямоугольной матрицы особым способом, благодаря которому независимо от транспонирования и линейных комбинаций строк или столбцов характеризуется содержание матрицы, в частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы определитель равен нулю. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю называются вырожденными, для них не определено обращение, если определитель отличен от нуля — то матрица называется невырожденной. Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его базе вводятся понятия минора, дополнительного минора, алгебраического дополнения[31].
Векторы
Основная статья: Векторное исчисление

Понятие вектора изначально возникло как геометрическая абстракция для объектов, характеризующихся одновременно величиной и направлением, таких как скорость, момент силы, напряжённость электрического поля, намагниченность, таким образом, изначальная интерпретация вектора (используемая в элементарной математике и физике) — направленный отрезок \vec a в евклидовом пространстве, характеризующийся модулем \vec a — длиной. Линейные свойства векторов выражаются в векторной алгебре, вводящей сложение и умножение вектора на произвольное число, а также различные виды перемножения векторов: скалярное, векторное, смешанное, псевдоскалярное, двойное векторное; при этом характеристическая для линейной алгебры идея линейной зависимости выражается в понятии коллинеарности (\vec{a_1} \vec{a_2}) — нахождении векторов на параллельных прямых или одной прямой, то есть, возможности получения из одного другого посредством умножения на скаляр (\exists \lambda (\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}), для ненулевых векторов).

Так как вектор в n-мерном пространстве представляется упорядоченной последовательностью n чисел, векторы могут быть выражены на языке матриц размера 1 \times n или n \times 1 — векторов-столбцов и векторов-строк соответственно, а все операции векторной алгебры могут быть сведены к алгебре матриц, например, сложение векторов совпадает со сложением матриц, а векторное умножение векторов может быть выражено как произведение кососимметрической матрицы, построенной из первого сомножителя и вектора-стоблца, представляющего второй сомножитель.
Тензоры
Основная статья: Тензорное исчисление

Тензоры возникли как естественное развитие представлений об объектах линейной алгебры: если скаляр в n-мерном представляется нульмерным объектом (состоящим только из одного элемента поля), вектор — одномерным массивом (матрицей размера 1 \times n), линейное преобразование — двумерной матрицей, то тензор может представляется как многомерный массив элементов поля размера n \times n \times \cdots \times n (количество измерений массива называют валентностью тензора), а скаляры, векторы, линейные операторы оказываются частными случаями тензора (с валентностями 0, 1 и 2 соответственно). Следующее обобщение, использованное в понятии тензора взято из возможности представления линейного функционала как ковектора и идея двойственности между пространством и его сопряжением — пространством его линейных функционалов; используя эту возможность, тензор валентности r рассматривается как l раз контравариантный, то есть, рассматриваемый соответствующими компонентами в «обычном» базисе, и k раз ковариантный, то есть, с компонентами в сопряжённом пространстве (r=k+l, «тензор ранга (l, k)»).

В тензорной алгебре вводятся и изучаются линейные операции над тензорами, такие, как умножение на скаляр, сложение, свёртка. Особую роль играет операция тензорного произведения (\otimes), обобщение которой на линейных пространства позволило обобщить и определение тензора: рассматривать тензор ранга (l, k) в линейном пространстве V как элемент тензорного произведения k экземпляров V и l экземпляров сопряжённого ему V^*:

\begin{matrix} \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V} &amp; \otimes &amp; \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k &amp; &amp; l \end{matrix}.

Срд 23 Окт 2013 00:41:56
>>56559487
Печально понимать, что ращумных ответов почти нет.
И это почти в час ночи.

Срд 23 Окт 2013 00:41:58
Статистическая сумма (или статсумма) (обозначается Z, от нем. Zustandssumme — сумма по состояниям) — важная величина в статистической физике, содержащая информацию о статистических свойствах системы в состоянии термодинамического равновесия. Она является функцией температуры и других параметров, таких как объём. Многие термодинамические величины системы, такие как энергия, свободная энергия, энтропия и давление, могут быть выражены через статистическую сумму и её производные.
Существует несколько типов статистической суммы, каждый из которых соответствует различным статистическим ансамблям. Каноническая статистическая сумма относится к каноническому статистическому ансамблю, в котором система может обмениваться с окружающей средой теплотой при фиксированных температуре, объёме и числе частиц. Большая каноническая статистическая сумма относится к большому каноническому статистическому ансамблю, в котором система может обмениваться с окружающей средой как теплотой, так и частицами при фиксированных температуре, объёме и химическом потенциале. В других ситуациях можно определить другие типы статистических сумм.
Содержание [убрать]
1 Статистическая сумма в каноническом ансамбле
1.1 Определение
1.2 Смысл и значимость
1.3 Вычисление термодинамической полной энергии
1.4 Связь с термодинамическими величинами
1.5 Статистическая сумма подсистем
2 Статистическая сумма большого канонического ансамбля
2.1 Определение
2.2 Частные случаи
2.3 Связь с термодинамическими величинами
3 Литература
Статистическая сумма в каноническом ансамбле[править править исходный текст]

Определение[править править исходный текст]
Предположим, что имеется подчиняющаяся законам термодинамики система, находящаяся в постоянном тепловом контакте со средой, которая имеет температуру T, а объём системы и количество составляющих её частиц фиксированы. В такой ситуации система относится к каноническому ансамблю. Обозначим точные состояния, в которых может находиться система, через j (j=1, 2, 3, \ldots), а полную энергию системы в состоянии j — E_j. Как правило, эти микросостояния можно рассматривать как дискретные квантовые состояния системы.
Каноническая статистическая сумма — это
Z=\sum_j e^{-\beta E_j},
где обратная температура \beta определена как
\beta\equiv\frac{1}{k_BT},
а k_B — это постоянная Больцмана. В классической статистической механике было бы некорректно определять статистическую сумму в виде суммы дискретных членов, как в приведённой выше формуле. В классической механике координаты и импульсы частиц могут меняться непрерывно, и множество микросостояний несчётно. В таком случае необходимо провести разбиение фазового пространства на ячейки, то есть два микросостояния считаются одинаковыми, если их различия в координатах и импульсах «не слишком велики». При этом статистическая сумма принимает вид интеграла. Например, статистическая сумма газа из N классических частиц равна
Z=\frac{1}{N!h^{3N}}\int \exp[-\beta H(p_1, \ldots, p_N, x_1, \ldots, x_N)]\, d^3p_1\ldots d^3p_N\, d^3x_1\ldots d^3x_N,
где h — некоторая величина размерности действия (которая должна быть равна постоянной Планка для соответствия квантовой механике), а H — классический гамильтониан. Причины появления множителя N! объяснены ниже. Для простоты в этой статье будет использоваться дискретный вид статистической суммы, но полученные результаты в равной мере относятся и к непрерывному виду.
В квантовой механике статистическая сумма может быть записана более формально как след по пространству состояний (который не зависит от выбора базиса):
Z=\mathrm{tr}\, (e^{-\beta H}),
где H — оператор Гамильтона. Экспонента от оператора определяется с помощью разложения в степенной ряд.
Смысл и значимость[править править исходный текст]
Сначала рассмотрим, от чего она зависит. Статистическая сумма является функцией, в первую очередь, температуры T, а во вторую — энергий микросостояний E_1, E_2, E_3 и т. д. Энергии микросостояний определяются другими термодинамическими величинами, такими как число частиц и объём, а также микроскопическими свойствами, такими как масса частиц. Эта зависимость от микроскопических свойств является основной в статистической механике. По модели микроскопических составляющих системы можно рассчитать энергии микросостояний, а следовательно, и статистическую сумму, которая позволяет рассчитать все остальные термодинамические свойства системы.
Статистическая сумма может быть использована для расчёта термодинамических величин, поскольку она имеет очень важный статистический смысл. Вероятность P_j, с которой система находится в микросостоянии j, равна
P_j=\frac{1}{Z}e^{-\beta E_j}.
Статистическая сумма входит в распределение Гиббса в виде нормировочного множителя (она не зависит от j), обеспечивая равенство единице суммы вероятностей:
\sum_j P_j=\frac{1}{Z}\sum_j e^{-\beta E_j}=\frac{1}{Z}Z=1.
Вычисление термодинамической полной энергии[править править исходный текст]
Чтобы продемонстрировать полезность статистической суммы, рассчитаем термодинамическое значение полной энергии. Это просто математическое ожидание, или среднее по ансамблю значение энергии, равное сумме энергий микросостояний, взятых с весами, равными их вероятностям:
\langle E\rangle=\sum_j E_jP_j=\frac{1}{Z}\sum_j E_j e^{-\beta E_j}=-\frac{1}{Z}\frac{\partial}{\partial\beta}Z(\beta, \;E_1, \;E_2, \;\ldots)=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}
или, что то же самое
\langle E\rangle=k_B T^2\frac{\partial\ln Z}{\partial T}.
Можно также заметить, что если энергии микросостояний зависят от параметра \lambda как
E_j=E_j^{(0)}+\lambda A_j
для всех j, то среднее значение A равно
\langle A\rangle=\sum_j A_jP_j=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\lambda}\ln Z(\beta, \;\lambda).

Срд 23 Окт 2013 00:42:06
>>56561097
ирка хуирка мирка были в эпоху локалок. Когда инет был дорогой, все сидели у себя на районе и через хабы чатились с другими районами. А потом пришел стрим и всё это накрылось пиздой. А у буржуев да, в 95м.

Срд 23 Окт 2013 00:42:30
Квадратичные и билинейные формы

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.[32]

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма[en]), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от n переменных (n — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица n \times n, которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2 ,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается [a_1, \dots, a_n] как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.[33]

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга (2, 0)). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма B может быть представлена квадратичной:

Q_b(x)= B(x, y) + B(y, x)

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом[34].

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных (B(x, y)=B(y, x)) и кососимметричных (B(x, y)= - B(y, x)) билинейных форм.
Векторные пространства
Основная статья: Векторное пространство

Все математические структуры, изучаемые в линейной алгебре — векторы, тензоры, матрицы, алгебраические формы, а также операции над ними, универсализированы в общеалгебраическом понятии векторного (линейного) пространства. Векторное пространство \langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle определяется как алгебра над произвольным множеством элементов V, называемых векторами, и произвольным полем \mathfrak F, элементы которого называются скалярами, притом векторы с операцией сложения векторов \langle V, + \rangle образуют абелеву группу, и определена операция умножения векторов на скаляр: \cdot : \mathfrak F \times V \to V такая, что выполнены следующие свойства (1, \alpha, \beta \in \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V):

1 \cdot \mathbf v = \mathbf v,
\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u,
(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v,
(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v).

В качестве поля иногда специально рассматриваются поле вещественных чисел (тогда говорят о вещественном векторном пространстве) или поле комплексных чисел (комплексное векторное пространство) с обычными операциями сложения и умножения, в частности, в теории выпуклых множеств многие результаты формулируются именно для вещественных или комплексных векторных пространств[35]. Но значительная часть утверждений и большинство конструкций действенны для произвольных полей, более того, многие результаты линейной алгебры, полученные для векторных пространств, в XX веке обобщены до унитарных модулей над некоммутативными телами и даже для произвольных модулей над кольцами или модулей с определёнными ограничениями.

Линейные комбинации векторов — конечные суммы вида \alpha_1 \mathbf v_1 + \dots \alpha_n \mathbf v_n, для совокупности векторов вводится линейной независимости (если существует нетривиальная линейная комбинация, обращающаяся в нуль абелевой группы пространства), вводится понятие базиса как максимальной линейно-независимой совокупности, показывается, что мощность базиса (называемая размерностью векторного пространства) не зависит от его выбора.

Дальнейшие обобщения векторных пространств, такие, как наделение их полунормами, нормами, метриками, топологиями, изучаются в функциональном анализе.
Линейные отображения
Основная статья: Линейное отображение

Подобно теориям других алгебраических структур, линейная алгебра изучает отображения между векторными пространствами, которые сохраняют структуру векторного пространства. Линейное отображение (линейное преобразование, линейный оператор) произвольных векторных пространств над одним полем L: V \to U — отображение, сохраняющее линейность:

L (\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L (\mathbf v_1) + L (\mathbf v_2),
L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v).

Когда между двумя векторными пространствами существует взаимно-однозначное отображение, являющееся линейным, то эти пространства называются изоморфными; многие свойства векторных пространств сохраняются при изоморфных преобразованиях (инвариантны относительно изоморфизма).

Над классом всех линейных отображений данных векторных пространств можно определить структуру векторного пространства. Линейные отображения конечномерных векторных пространств могут быть записаны в матричной форме и их свойства уже изучаются средствами матриц[].

Срд 23 Окт 2013 00:42:34
>>56562024
Самоуверенный уебан.

Срд 23 Окт 2013 00:43:13
На этом основан приём, позволяющий вычислить средние значения многих микроскопических величин. Нужно искусственно добавить эту величину к энергии микросостояний (или, на языке квантовой механики, к гамильтониану), вычислить новую статистическую сумму и среднее значение, а затем в итоговом выражении положить \lambda равным нулю. Аналогичный метод применяется в квантовой теории поля.
Связь с термодинамическими величинами[править править исходный текст]
В этом разделе приведена связь статистической суммы с различными термодинамическими параметрами системы. Эти результаты могут быть получены с помощью метода, описанного в предыдущем разделе, и различных термодинамических соотношений.
Как мы уже видели, энергия равна
\langle E\rangle=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}.
Флуктуация энергии равна
\langle\delta E^2\rangle\equiv\langle(E-\langle E\rangle)^2\rangle=\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}.
Теплоёмкость равна
c_v=\frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}=\frac{1}{k_B T^2}\langle\delta E^2\rangle.
Энтропия равна
S\equiv-k_B\sum_j P_j\ln P_j=k_B(\ln Z+\beta\langle E\rangle)=\frac{\partial}{\partial T}(k_B T\ln Z)=-\frac{\partial F}{\partial T},
где F — свободная энергия, определяемая как F=E-TS, где E — полная энергия, а S — энтропия, так что
F=\langle E\rangle-TS=-k_B T\ln Z.
Статистическая сумма подсистем[править править исходный текст]
Предположим, что система состоит из N подсистем, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало. Если статистические суммы подсистем равны \zeta_1, \;\zeta_2, \;\ldots, \;\zeta_N, то статистическая сумма всей системы равна произведению отдельных статистических сумм:
Z =\prod_{j=1}^N\zeta_j.
Если подсистемы обладают одинаковыми физическими свойствами, то их статистические суммы одинаковы: \zeta_1=\zeta_2=\ldots=\zeta, и в этом случае
Z=\zeta^N.
Из этого правила, однако, есть одно известное исключение. Если подсистемы — это идентичные частицы, то есть, исходя из принципов квантовой механики, их невозможно различить даже в принципе, общая статистическая сумма должна быть разделена на N!:
Z=\frac{\zeta^N}{N!}.
Это делается, чтобы не учитывать одно и то же микросостояние несколько раз.
Статистическая сумма большого канонического ансамбля[править править исходный текст]

Определение[править править исходный текст]
Аналогично канонической статистической сумме для канонического ансамбля, можно определить большую каноническую статистическую сумму для большого канонического ансамбля — системы, которая может обмениваться со средой и теплотой, и частицами, и имеет постоянную температуру T, объём V и химический потенциал \mu. Большая каноническая статистическая сумма, хотя и более сложна для понимания, упрощает расчёт квантовых систем. Большая каноническая статистическая сумма \mathcal{Z} для квантового идеального газа записывается как:
\mathcal{Z}=\sum_{N=0}^\infty\, \sum_{\{n_i\}}\, \prod_i e^{-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)},
где N — общее количество частиц в объёме V, индекс i пробегает все микросостояния системы, n_i — число частиц в состоянии i, а \varepsilon_i — энергия в состоянии i. \{n_i\} — всевозможные наборы чисел заполнения каждого микросостояния, такие что \sum_i n_i=N. Рассмотрим, например, слагаемое, соответствующее N=3. Один из возможных наборов чисел заполнения будет \{n_i\}=0, \;1, \;0, \;2, \;0, \ldots, он даёт вклад в слагаемое с N=3, равный
\prod_i e^{-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)}=e^{-\beta(\varepsilon_1-\mu)}\, e^{-2\beta(\varepsilon_3-\mu)}.
Для бозонов числа заполнения могут принимать любые целые неотрицательные значения при том, что их сумма равна N. Для фермионов, в соответствии с принципом запрета Паули, числа заполнения могут быть равны только 0 или 1, но их сумма опять же равна N.
Частные случаи[править править исходный текст]
Можно показать, что указанное выражение для большой канонической статистической суммы математически эквивалентно следующему:
\mathcal{Z}=\prod_i\mathcal{Z}_i.
(Это произведение иногда берётся по всем значениям энергии, а не по отдельным состояниям, и в этом случае каждая отдельная статистическая сумма должна быть возведена в степень g_i, где g_i — число состояний с такой энергией. g_i также называется степенью вырождения.)
Для системы, состоящей из бозонов:
\mathcal{Z}_i=\sum_{n_i=0}^\infty e^{-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)}=\frac{1}{1-e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}},
а для системы, состоящей из фермионов:
\mathcal{Z}_i=\sum_{n_i=0}^1 e^{-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)}=1+e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}.
В случае максвелловско-больцмановского газа необходимо корректно подсчитывать состояния и делить больцмановский множитель e^{-\beta (\varepsilon_i-\mu)} на n_i!
\mathcal{Z}_i=\sum_{n_i=0}^\infty\frac{e^{-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)}}{n_i!}=\exp\left(e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}\right).
Связь с термодинамическими величинами[править править исходный текст]
Так же как и каноническая статистическая сумма, большую каноническую статистическую сумму можно использовать для вычисления термодинамических и статистических величин системы. Как и в каноническом ансамбле, термодинамические величины не фиксированы, а статистически распределены вокруг среднего значения. Обозначая \alpha=-\beta\mu, получаем средние значения чисел заполнения:
\langle n_i\rangle=-\left(\frac{\partial\ln\mathcal{Z}_i}{\partial\alpha}\right)_{\beta, \;V}=\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial\ln\mathcal{Z}_i}{\partial\mu}\right)_{\beta, \;V}.
Для больцмановских частиц это даёт:
\langle n_i\rangle=e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}.
Для бозонов:
\langle n_i\rangle=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}-1}.
Для фермионов:
\langle n_i\rangle=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}+1},
что совпадает с результатами, получаемыми с помощью канонического ансамбля для статистики Максвелла — Больцмана, статистики Бозе — Эйнштейна и статистики Ферми — Дирака соответственно. (Степень вырождения g_i отсутствует в этих уравнениях, поскольку индекс i нумерует отдельные состояния, а не уровни энергии.)
Общее число частиц
\langle N\rangle=-\left(\frac{\partial\ln\mathcal{Z}}{\partial\alpha}\right)_{\beta, \;V}=\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial\ln\mathcal{Z}}{\partial\mu}\right)_{\beta, \;V}.
Флуктуация общего числа частиц
\mathrm{var}\, (N)=\left(\frac{\partial^2\ln\mathcal{Z}}{\partial\alpha^2}\right)_{\beta, \;V}.
Внутренняя энергия
\langle E\rangle=-\left(\frac{\partial\ln\mathcal{Z}}{\partial\beta}\right)_{\mu, \;V}+\mu\langle N\rangle.
Флуктуация внутренней энергии
\mathrm{var}\, (E)=\left(\frac{\partial^2\ln\mathcal{Z}}{\partial\beta^2}\right)_{\mu, \;V}.
Давление
\langle P\rangle=\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial\ln\mathcal{Z}}{\partial V}\right)_{\mu, \;\beta}.
Механическое уравнение состояния
\langle PV\rangle=\frac{\ln\mathcal{Z}}{\beta}.

Срд 23 Окт 2013 00:43:46
Я устал, я мухожук.

Собственные векторы и собственные числа
Синие и сиреневые векторы, сохраняющие направление при линейном преобразовании — собственные, красные — нет
Основная статья: Собственный вектор

В общем случае действие линейных отображений может быть довольно сложным. Важной и распространённой задачей является нахождение такого базиса векторного пространства V, в котором матрица данного линейного отображения L : V \rightarrow V имеет наиболее простой вид. При решении этой задачи ключевую роль играют инвариантные подпространства линейного отображения L — подпространства, образ которых при отображении L вложен в себя. Если найдены инвариантные подпространства ненулевой размерности W_1, \ldots, W_k (то есть, выполнено L(W_i) \subset W_i), прямая сумма которых составляет всё пространство V, то матрица отображения L имеет блочно-диагональный вид с блоками порядков n_1, \ldots, n_k, n_i = \dim W_i, на главной диагонали, если выбрать базис состоящим из k групп векторов, где i-ая группа является базисом в подпространстве W_i.

Простейшим случаем инвариантного подпространства является одномерное инвариантное подпространство W, которое можно задать с помощью одного (любого) ненулевого вектора x \in W. В этом случае условие вложенности образа подпространства в себя принимает вид L(x) {=} \lambda x с некоторым числом \lambda; такая конструкция приводит к определению собственного вектора и собственного числа: если для некоторого вектора x \neq 0 и числа \lambda выполнено равенство L(x) {=} \lambda x, то \lambda называется собственным числом отображения L, а вектор x называется его собственным вектором. Собственные числа линейного отображения определены однозначно, а собственные векторы — с точностью до пропорциональности, то есть до умножения на произвольное ненулевое число.

В случае, если отображение имеет набор n линейно независимых собственных векторов, число которых n равно размерности пространства V, из них можно составить базис (называемый собственным базисом данного отображения), в котором матрица отображения диагональна, при этом на главной диагонали стоят собственные числа. Такие линейные отображения называются диагонализируемыми. Достаточным (но не необходимым) условием диагонализируемости является наличие n различных собственных чисел.
Жорданова нормальная форма
Основная статья: Жорданова матрица
Planned section.svg
Этот раздел статьи ещё не написан.
Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Применение
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Основная статья: Система линейных алгебраических уравнений
Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

Она может быть представлена в матричной форме как:

\begin{pmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \cdots &amp; a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

или:

Ax = b.

Срд 23 Окт 2013 00:44:06
Постоянная тонкой структуры, обычно обозначаемая как \alpha, является фундаментальной физической постоянной, характеризующей силу электромагнитного взаимодействия. Она была введена в 1916 году немецким физиком Арнольдом Зоммерфельдом в качестве меры релятивистских поправок при описании атомных спектральных линий в рамках модели атома Бора, то есть характеризует так называемую тонкую структуру спектральных линий. Поэтому иногда она также называется постоянной Зоммерфельда.
Постоянная тонкой структуры (ПТС) — это безразмерная величина, образованная комбинацией фундаментальных констант. Её численное значение не зависит от выбранной системы единиц, с 2010 года рекомендуется использовать следующее значение[1]:
= 7, 2973525698(24)·103 = 1137, 035 999 074(44)
В Международной системе единиц (СИ) она определяется следующим образом:
\alpha=\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c}=\frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h c},
где \ e — элементарный электрический заряд,
\hbar=h/2\pi — постоянная Дирака (или приведённая постоянная Планка)
\ c — скорость света в вакууме,
\varepsilon_0 — электрическая постоянная.
В системе единиц СГСЭ единица электрического заряда определена таким образом, что электрическая постоянная равна единице. Тогда постоянная тонкой структуры определяется как:
\alpha=\frac{e^2}{\hbar c}.
Постоянная тонкой структуры может быть также определена как квадрат отношения элементарного электрического заряда к планковскому заряду.
\alpha=\left(\frac{e}{q_p}\right)^2.
Содержание [убрать]
1 Физическая интерпретация
2 Постоянство величины
3 Антропоцентрическое объяснение
4 Попытки рассчитать (включая нумерологию)
4.1 Ранние попытки
4.2 Теория Эддингтона
4.3 Другие попытки середины XX века
4.4 Современные попытки
5 См. также
6 Примечания
7 Литература
8 Ссылки
Физическая интерпретация[править править исходный текст]

Постоянная тонкой структуры является отношением двух энергий:
энергии, необходимой, чтобы преодолеть электростатическое отталкивание между двумя электронами, сблизив их с бесконечности до некоторого расстояния s, и
энергии фотона с длиной волны 2\pi s.
Исторически первой интерпретацией постоянной тонкой структуры, появившейся в работах[2][3] Зоммерфельда, было отношение двух угловых моментов, которые возникают в теории движения электрона по кеплеровским орбитам, — так называемого предельного момента p_0=e^2/c, который отвечает за движение перицентра при релятивистском рассмотрении, и момента p_1=h/2\pi, соответствующего первому квантовому состоянию. Позже, в своей известной книге «Строение атома и спектры»[4], Зоммерфельд вводил \alpha, как отношение скорости электрона на первой круговой орбите в боровской модели атома к скорости света. Эта величина использовалась далее для расчёта тонкого расщепления спектральных линий водородоподобных атомов [5].
В квантовой электродинамике постоянная тонкой структуры имеет значение константы взаимодействия, характеризующей силу взаимодействия между электрическими зарядами и фотонами. Её значение не может быть предсказано теоретически и вводится на основе экспериментальных данных. Постоянная тонкой структуры является одним из двадцати «внешних параметров» стандартной модели в физике элементарных частиц.
Тот факт, что \alpha много меньше единицы, позволяет использовать в квантовой электродинамике теорию возмущений. Физические результаты в этой теории представляются в виде ряда по степеням \alpha, причём члены с возрастающими степенями \alpha становятся менее и менее важными. И наоборот, большая константа взаимодействия в квантовой хромодинамике делает вычисления с учётом сильного взаимодействия чрезвычайно сложными.
В теории электрослабого взаимодействия показано, что значение постоянной тонкой структуры (сила электромагнитного взаимодействия) зависит от характерной энергии рассматриваемого процесса. Утверждается, что постоянная тонкой структуры логарифмически растёт с увеличением энергии. Наблюдаемое значение постоянной тонкой структуры верно при энергиях порядка массы электрона. Характерная энергия не может принимать более низкие значения, так как электрон (как и позитрон) обладает самой маленькой массой среди заряженных частиц. Поэтому говорят, что 1/137{, }036 — это значение постоянной тонкой структуры при нулевой энергии. Кроме того, тот факт, что по мере повышения характерных энергий электромагнитное взаимодействие приближается по силе к двум другим взаимодействиям, важен для теорий великого объединения.
Если бы предсказания квантовой электродинамики были верны, то постоянная тонкой структуры принимала бы бесконечно большое значение при значении энергии, известном как полюс Ландау. Это ограничивает область применения квантовой электродинамики только областью применимости теории возмущений.
Постоянство величины[править править исходный текст]

Исследование вопроса о том, действительно ли постоянная тонкой структуры является постоянной, то есть всегда ли она имела современное значение или менялась за время существования Вселенной, имеет долгую историю[6]. Первые идеи такого рода появились в 1930-е годы, вскоре после открытия расширения Вселенной, и преследовали цель сохранить статическую модель Вселенной за счёт изменения фундаментальных констант со временем. Так, в статье[7] Дж. и Б. Чалмерсов предлагалось объяснение наблюдаемого красного смещения спектральных линий галактик за счёт одновременного возрастания элементарного заряда и постоянной Планка (это должно приводить и к временной зависимости \alpha). В ряде других публикаций[8][9][10] предполагалось, что постоянная тонкой структуры остаётся неизменной при одновременной вариации составляющих её констант.
В 1938 году Поль Дирак в рамках своей гипотезы больших чисел предположил[11], что гравитационная постоянная может уменьшаться обратно пропорционально времени. В своём рассмотрении он считал \alpha истинной константой, однако отметил, что в будущем это может оказаться не так. Эта работа вызвала значительный интерес к данной проблеме, который сохраняется до сих пор. Следуя Дираку, вопрос о постоянной тонкой структуры рассмотрел[12] Паскуаль Йордан и пришёл к выводу, что зависимость \alpha от времени должна вызывать сложные сдвиги спектральных линий. Поскольку такие сдвиги не наблюдаются, он отверг эту гипотезу. В 1948 году, пытаясь опровергнуть гипотезу Дирака, Эдвард Теллер упомянул[13] возможность логарифмической зависимости 1/\alpha \sim \ln T, где T — возраст Вселенной; аналогичные соотношения предлагались и позднее[14][15].

Срд 23 Окт 2013 00:44:09
>>56561722
>большинство кунов
Они не настолько востребованы, чтоб у них была возможность кому-то изменять, КОМУ, БЛЯДЬ, ИЗМЕНЯТЬ, НЕТ НИКОГО, тут как минимум 50% нецелованных не уродов, а просто стесняшек, с заниженной самооценкой, таких как я, и мне жутко печет, когда я вижу на улице тян, с уродом, с узкими плечами, низким ростом, уебищным лицом, мне хочется подойти и сломать ему позвоночник, и я настолько поехал, что практически любая тян на улице для меня 10/10.
мимо19лвл100%девственник

Срд 23 Окт 2013 00:45:42
>>56562122
иди, поспи, я повайпаю за тебя
Серьёзной проверке вопрос об изменении постоянной тонкой структуры со временем был подвергнут в 1967 году. Инициатором выступил[16] Георгий Гамов, который, отказываясь принять дираковскую идею об изменении гравитационной постоянной, заменил её гипотезой о вариации элементарного заряда e^2 \sim t и, как следствие, \alpha \sim t. Он также показал, что это предположение можно проверить наблюдениями тонкой структуры спектров удалённых галактик. Против предположения Гамова были выдвинуты возражения ядерно-физического и геологического характера, с которыми выступили Фримен Дайсон[17] и Ашер Перес (Asher Peres)[18]. Прямую экспериментальную проверку гипотезы Гамова предприняли[19] Джон Баколл (John N. Bahcall) и Маартен Шмидт, измерившие дублеты тонкого расщепления пяти радиогалактик с красным смещением z \approx 0, 2. Из опыта следовало отношение измеренного значения постоянной тонкой структуры к её лабораторной величине \alpha_z/\alpha_{lab}=1, 001 \pm 0, 002, что противоречило предсказанию \alpha_z/\alpha_{lab}=0, 8 в случае \alpha \sim t (см. также обзор[20]). Гамов быстро признал[21] своё поражение. Не выявили каких-либо изменений постоянной тонкой структуры и исследования природного ядерного реактора в Окло, проведённые в 1970-е годы[22]. Все эти работы позволили установить весьма жёсткие ограничения на возможную скорость и характер изменения \alpha и других фундаментальных констант.
Тем не менее, к началу 2000-х годов усовершенствования в методиках астрономических наблюдений дали основание считать, что постоянная тонкой структуры, возможно, меняла своё значение с течением времени: анализ линий поглощения в спектрах квазаров позволил предположить[23], что относительная скорость изменения \alpha составляет около 5 \times 10^{-16} в год. Исследовались также последствия возможного изменения постоянной тонкой структуры для космологии[24]. Однако более детальные наблюдения квазаров, сделанные в апреле 2004 года при помощи спектрографа UVES на одном из 8, 2-метровых телескопов телескопа Паранальской обсерватории в Чили, показали, что возможное изменение \alpha не может быть больше, чем 0, 6 миллионной доли (6\times 10^{-7}) за последние десять миллиардов лет (см. статьи[25][26] и пресс-релиз[27]). Поскольку это ограничение противоречит более ранним результатам, то вопрос о том, постоянна ли \alpha, считается открытым.
В 2010 году при помощи телескопа VLT были получены новые указания[28] на то, что постоянная тонкой структуры может не только уменьшаться со временем, но и возрастать, причём характер изменения зависит от направления, в котором ведётся наблюдение. Возможности такого пространственного изменения \alpha и других фундаментальных констант в настоящее время изучаются в литературе[29][30][31][32]. Тем не менее, пока рано делать какие-либо окончательные выводы об обнаружении такого рода эффектов.
Антропоцентрическое объяснение[править править исходный текст]

Одно из объяснений величины постоянной тонкой структуры включает в себя антропный принцип и гласит, что значение этой константы имеет именно такое значение, потому что иначе было бы невозможным существование стабильной материи и, следовательно, жизнь и разумные существа не смогли бы возникнуть. Например, известно, что, будь \alpha всего на 4 % больше, производство углерода внутри звёзд было бы невозможным. Если бы \alpha была больше, чем 0, 1, то внутри звёзд не смогли бы протекать процессы термоядерного синтеза[33].
Попытки рассчитать \alpha (включая нумерологию)[править править исходный текст]

Ранние попытки[править править исходный текст]
Постоянная тонкой структуры, являясь безразмерной величиной, которая никак не соотносится ни с какой из известных математических констант, всегда являлась объектом восхищения для физиков. Ричард Фейнман, один из основателей квантовой электродинамики, называл её «одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком». Предпринималось большое количество попыток выразить эту постоянную через чисто математические величины или вычислить на основе каких-либо физических соображений. Так, ещё в 1914 году химики Гилберт Льюис и Эллиот Адамс (Elliot Quincy Adams), отталкиваясь от выражения для константы Стефана, после некоторых предположений выразили[34] постоянную Планка через заряд электрона и скорость света. Если составить из их формулы постоянную тонкой структуры, которая тогда ещё не была известна, получится[35]
1/\alpha = 8 \pi (8 \pi^5 / 15)^{1/3} \approx 137, 348.
Работа Льюиса и Адамса не прошла незамеченной и была подхвачена некоторыми другими учёными[36]. Герберт Стэнли Аллен (H. Stanley Allen) в своей статье[37] явным образом сконструировал вышеуказанную безразмерную величину (обозначив её через q) и попытался связать её с величиной заряда и массы электрона; он также указал на примерное соотношение между массами электрона и протона m/M \approx 10 \alpha^2. В 1922 году чикагский физик Артур Лунн (Arthur C. Lunn) предположил[38], что постоянная тонкой структуры каким-то образом связана с ядерным дефектом массы, а также рассмотрел её возможную связь с гравитацией посредством соотношения G m^2/e^2 = \alpha^{17}/2^{11} \pi^6 (G — ньютоновская гравитационная постоянная). Кроме того, он предложил несколько чисто алгебраических выражений для \alpha, а именно: \pi / 2^4 3^3, 7 /\pi^6, 32 /45 \pi^4, 3^2 /5^3 \pi^2.
Первую попытку связать постоянную тонкой структуры с параметрами Вселенной предпринял в 1925 году ливерпульский физик Джеймс Райс (James Rice), находившийся под большим впечатлением от работ астрофизика Артура Эддингтона по объединению общей теории относительности с электромагнетизмом[39]. В своей первой статье[40] Райс пришёл к следующему выражению, связывающему \alpha с радиусом кривизны Вселенной R,
~2 \pi/\alpha = 8 \pi^3 R \rho /3 r^2,
где r — электромагнитный радиус электрона, \rho = 8 \pi G m/c^2 — гравитационный радиус электрона. Однако вскоре он обнаружил в своих вычислениях грубую ошибку и в следующей заметке[41] представил исправленный вариант соотношения, а именно:
~2 \pi/\alpha = r^2 /6 R \rho.
Положив для радиуса Вселенной величину R=1, 06 \times 10^{26} см, Райс получил \alpha^{-1}=133.

Срд 23 Окт 2013 00:46:32
>>56559487
>Один залез в душу. Ну туда тоже, блядь
Глупо. Знаю. Дала слабину. Расслабилась.
Эта шлюха получила пробоину, несите новую.

Срд 23 Окт 2013 00:46:35
Теория Эддингтона[править править исходный текст]
Для Эддингтона вопрос о выводе постоянной тонкой структуры был одной из частных проблем его исследовательской программы по построению фундаментальной теории, способной связать атомные и космические величины. В 1929—1932 годах он опубликовал серию статей[42][43][44][45], посвящённых теоретическому вычислению константы 1/\alpha, которая, как он считал, выражает некоторое число степеней свободы электрона и потому должна быть целым числом. Из своей теории Эддингтон получил 1/\alpha = 16 + 16 (16-1)/2 = 136, а позже добавил к этой величине ещё единицу, связав это с принципом неразличимости частиц. Он также связывал число 1/\alpha=136 с отношением масс протона и электрона M/m, которое, согласно его предположению, должно равняться отношению корней квадратного уравнения
~10 x^2 - 136 x m' + m'^2 = 0,
где m' — некая «стандартная масса». Из решения этого уравнения следовало M/m=1847, 6 (экспериментальное значение, известное в то время, — 1834, 1). Эддингтон также соотносил постоянную тонкой структуры с космическими константами (в частности, с числом Эддингтона, которое оценивает число барионов во Вселенной). Например, в рамках модели статической замкнутой Вселенной он получил
~2 \pi m c \alpha / h = \sqrt{N}/P,
где P — радиус Вселенной, N — число электронов в ней. Аргументы Эддингтона были малопонятны большинству физиков и были столь же мало убедительны, хотя его теория и привлекла определённый интерес научного сообщества. Эксперименты, проведенные в последующие годы, показали, что 1/\alpha не является целым числом. Впрочем, сам Эддингтон до конца жизни придерживался своих убеждений. Рэймонд Бирдж, один из основных оппонентов Эддингтона, в 1941 году предложил[46] следующее соотношение:
~\alpha = 4 \pi R_{\infty} F (e/m)/N_A \approx 1/137, 030,
где R_{\infty} — постоянная Ридберга для случая бесконечной массы ядра, F — постоянная Фарадея, N_A — постоянная Авогадро.[47]
Другие попытки середины XX века[править править исходный текст]
Хотя некоторые ведущие физики (Зоммерфельд, Шрёдингер, Йордан) с интересом отнеслись к теории Эддингтона, вскоре стала ясна трудность согласования с экспериментом; кроме того, было трудно понять методику Эддингтона. По меткому выражению Вольфганга Паули, это была скорее «романтическая поэзия, а не физика».[48] Тем не менее, эта теория породила множество последователей, предлагавших свои более или менее спекулятивные подходы к анализу происхождения постоянной тонкой структуры[49]. Так в 1929 году Владимир Рожанский (Vladimir Rojansky) фактически «переоткрыл» соотношение Аллена между массами протона и электрона[50], а Энос Уитмер (Enos Witmer) предложил[51] соотношение между массами атомов гелия и водорода в виде
~m_{He}/m_H = (Z_{He}/Z_H)^2/(1+\alpha)=4/(1+\alpha).
Аналогичные попытки связать \alpha с другими константами природы (в особенности с m/M) предпринимали примерно в это время Вильгельм Андерсон (Wilhelm Anderson)[52], Рейнгольд Фюрт (Reinhold Frth)[53], Вальтер Глазер (Walter Glaser) и Курт Зитте (Kurt Sitte) (они определили[54] максимальное количество химических элементов как Z&lt;\sqrt{2}/c\alpha&lt;97), Артур Гааз (Arthur Erich Haas)[55], Альфред Ланде[56] и другие. Большое количество такого рода работ побудило физиков Гвидо Бека, Ханса Бете и Вольфганга Рицлера (Wolfgang Riezler) послать в журнал Die Naturwissenschaften шуточную заметку «К квантовой теории абсолютного нуля температуры»[57]. Эта статья пародировала поиски нумерологических формул для физических констант и предлагала «объяснение» тому факту, что постоянная тонкой структуры примерно равна -2/(T_0-1), где T_0=-273{, }15 °C — абсолютный нуль температуры. Редакция журнала не осознала пародийного характера заметки и опубликовала её на страницах издания. Когда истина открылась, эта шутка вызвала гнев редактора журнала Арнольда Берлинера (Arnold Berliner), так что, по настоянию Зоммерфельда, Бете был вынужден извиниться за свой поступок[58].
После открытия мюона в 1937 году возникли спекулятивные предположения о связи новой частицы с константами природы. Согласно Патрику Блэкетту[59], возможна связь между гравитацией и временем жизни мюона в виде
\tau \approx \alpha e^3/m_\mu m c^3 \sqrt{G},
где m_\mu — масса мюона. Генри Флинт (Henry Flint), основываясь на соображениях 5-мерного расширения теории относительности, получил[60] соотношение m_\mu \approx m_e/\alpha. Среди более поздних попыток можно отметить чисто нумерологическое соотношение между массами протона и электрона, появившееся в чрезвычайно короткой заметке[61] некоего Фридриха Ленца (Friedrich Lenz), и гласившее: M/m=6 \pi^5=1836, 12. В 1952 году Ёитиро Намбу указал[62], что массы элементарных частиц тяжелее электрона можно описать следующей эмпирической формулой:
~m=(n+1)m_e/2\alpha,
где n — целое число. Например, для n=2 получается масса мюона (206 m_e), для n=3 — масса пиона (274 m_e), для n=26 — приблизительная масса нуклонов (1849 m_e).
Более научно обоснованными были попытки рассчитать величину постоянной тонкой структуры, предпринятые Максом Борном и Вернером Гейзенбергом на основе их обобщений существующих полевых теорий[63]. Борн при помощи своего подхода, основанного на «принципе взаимности» (см., например, работы[64][65][66]), к концу 1940-х годов смог получить лишь оценку, которая дала 1/\alpha=102, 5. Гейзенбергу в рамках его нелинейной теории поля также удалось получить[67][68] согласие с экспериментальным значением постоянной лишь по порядку величины.
Современные попытки[править править исходный текст]
Возможна и ассоциация с предполагаемой размерностью пространства-времени[69]: в одной из самых многообещающих теорий последнего времени — так называемой «М-теории», развивающейся как обобщение теории суперструн и претендующей на описание всех физических взаимодействий и элементарных частиц — пространство-время полагается 11-мерным. При этом одно измерение на макроуровне воспринимается как время, еще три — как макроскопические пространственные измерения, остальные семь — это так называемые «свернутые» (квантовые) измерения, ощущаемые только на микро-уровне. ПТС при этом объединяет числа 1, 3 и 7 с множителями, кратными десяти, причем 10 можно интерпретировать как суммарную размерность пространства в теории суперструн.
Похожим образом математик Джэймс Гилсон предложил, что постоянная тонкой структуры может быть математически, с большой степенью точности, определена как
\alpha=\frac{\cos(\pi/137)}{137}\frac{\mathrm{tg}\, (\pi/(137\cdot 29))}{\pi/(137\cdot 29)}\approx 1/137{, }035\;999\;7867.
29 и 137 являются, соответственно, 10-м и 33-м простыми числами. До данных 2002 года это значение лежало в пределах ошибок измерений \alpha. В настоящий момент оно отличается на 1, 7 стандартного отклонения экспериментальных данных, что делает данное значение возможным, но маловероятным.
А. Ольчак (2009) приводит более компактную формулу, аппроксимирующую постоянную тонкой структуры с не худшей точностью, чем формула Гилсона[69]. Величина ПТС при этом связывается с ключевой для динамики хаоса постоянной Фейгенбаума \delta. Эта постоянная, в самых общих словах, характеризует скорость приближения решений нелинейных динамических систем к состоянию «неустойчивости в каждой точке» или «динамического хаоса». На сегодняшний день расчётное значение постоянной Фейгенбаума (в пределах точности, требуемой для расчёта ПТС) составляет \delta=4{, }669\;211\;660\;910\;299\;\ldots.
Величина ПТС весьма точно вычисляется как корень простого уравнения
1/\alpha=137+\frac{\delta}{1/\alpha-\delta\pi/2},
где \pi=3{, }141\;592\;653\;589\;\ldots,
и составляет \alpha=1/137, 035\;999\;559\;\ldots, что аппроксимирует экспериментальное значение до десятого десятичного знака. Точность совпадения составляет ~1, 3 стандартных интервала сегодняшней экспериментальной погрешности.
Следует также заметить, что с точки зрения современной квантовой электродинамики постоянная тонкой структуры является бегущей константой связи, то есть зависит от энергетического масштаба взаимодействия. Этот факт лишает большей части физического смысла попытки сконструировать нумерологическую формулу для какого-то конкретного (в частности — нулевого, если речь идёт о значении 1/137, 036\ldots) передаваемого импульса.

Срд 23 Окт 2013 00:46:53
>>56562056
Да заебал ты толстить, скройся уже.

Срд 23 Окт 2013 00:46:55
>>56562060
У меня всегда был внешний канал, я про локалки очень мало знаю, я в них не был. Локалки - это какой-нибудь две тысячи второй-третий?

но кроме буржуев были еще гики. Я был и тем и другим

Срд 23 Окт 2013 00:47:25
Сжимаемость — свойство вещества изменять свой объём под действием всестороннего равномерного внешнего давления[1]. Сжимаемость характеризуется коэффициентом сжимаемости, который определяется формулой
\beta =-\frac{1}{V} \frac{dV}{dp},
где V — это объём вещества, p — давление.
Коэффициент сжимаемости называют также коэффициентом всестороннего сжатия или просто коэффициентом сжатия[2].
Нетрудно показать, что из приведённой формулы следует выражение, связывающее коэффициент сжимаемости c плотностью вещества {\rho}:
\beta =\frac{1}{\rho}\frac{d \rho}{d p}.
Величина коэффициента сжимаемости зависит от того, в каком процессе происходит происходит сжатие вещества. Так, например, процесс может быть изотермическим, но может происходить и с изменением температуры. Соответственно, для различных процессов в рассмотрение вводят различные коэффициенты сжимаемости.
Для изотермического процесса вводят изотермический коэффициент сжимаемости, который определяется следующей формулой:
\beta_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T,
где индекс T обозначает, что частная производная берётся при постоянной температуре.
Для адиабаческого процесса вводят адиабатический коэффициент сжимаемости, определяемый следующим образом:
\beta_S=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S,
где S обозначает энтропию (адиабатический процесс протекает при постоянной энтропии). Для твёрдых веществ различиями между этими двумя коэффициентами обычно можно пренебрегать.
Величина, обратная коэффициенту сжимаемости называется объёмным модулем упругости, который обозначается буквой K (в англоязычной литературе — иногда B).
Иногда коэффициент сжимаемости называют просто сжимаемостью.
Уравнение сжимаемости связывает изотермическую сжимаемость (и косвенно давление) со структурой жидкости.
Адиабатическая сжимаемость всегда меньше изотермической. Справедливо соотношение
\beta_S = \frac{C_V}{C_P} \beta_T ,
где C_V — теплоёмкость при постоянном объёме, C_P — теплоёмкость при постоянном давлении.
Термодинамика[править править исходный текст]

Термин «сжимаемость» также используется в термодинамике для описания отклонений термодинамических свойств реальных газов от свойств идеальных газов. Коэффициент сжимаемости определяется как
Z=\frac{p \underline{V}}{R T},
где p — давление газа, T — температура, \underline{V} — молярный объём.
Для идеального газа коэффициент сжимаемости Z равен единице, и тогда получаем привычное уравнение состояния идеального газа:
p = {RT\over{\underline{V}}}.
Для реальных газов Z может, в общем случае, быть как меньше единицы, так и больше неё.
Отклонение поведения газа от поведения идеального газа важно возле критической точки, или в случаях очень высоких давлений или достаточно низких температур. В этих случаях график зависимости коэффициента сжимаемости от давления (англ.) или, иначе говоря, уравнение состояния больше подходит для получения точных результатов при решении задач.
Связанные с этим ситуации рассматриваются в гиперзвуковой аэродинамике, когда диссоциация молекул приводит к возрастанию молярного объёма, потому что один моль кислорода, с химической формулой O2, превращается в два моля одноатомного кислорода, и аналогично N2 диссоциируется в 2N. Поскольку это происходит динамически по мере того, как воздух обтекает аэрокосмический объект, то удобно изменять Z, рассчитанный для изначальной молярной массы воздуха 29, 3 грамм/моль, чем миллисекунда за миллисекундой отслеживать изменяющийся молекулярный вес воздуха. Это зависящее от давления изменение происходит с атмосферным кислородом при изменении температуры от 2500 K до 4000 K, и с азотом при изменении температуры от 5000 K до 10, 000 K.[3]
В тех областях, где зависящая от давления диссоциация является неполной, как коэффициент бета (отношение дифференциала объёма к дифференциалу давления), так и теплоёмкость при постоянном давлении будут сильно возрастать.

Срд 23 Окт 2013 00:47:37
>>56562134
А я урод и не девственник, где твой бог теперь, говно самовлюбленное? Мерить людей ебалом, плечами, набежало скотов с быдлятни, больно в б заглядывать.

Срд 23 Окт 2013 00:48:51
Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например[1]
\theta(x)=\begin{cases} 0, &amp; x&lt;0;
\\ \dfrac{1}{2}, &amp; x=0;
\\ 1, &amp; x>0.\end{cases}
Другое распространённое определение:
\theta(x)=\begin{cases} 0, &amp; x&lt;0;
\\ 1, &amp; x\geqslant 0.\end{cases}
Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, \theta'=\delta, это также можно записать как:
\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\, dt.
Содержание [убрать]
1 Дискретная форма
2 Аналитические формы
3 Запись
4
5 Преобразование Фурье
6 См. также
7 Примечания
Дискретная форма[править править исходный текст]

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента n:
\theta[n]=\begin{cases}0, &amp; n&lt;0; \\ 1, &amp; n\geqslant 0, \end{cases}
где n — целое число.
Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:
\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].
Аналитические формы[править править исходный текст]

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:
\theta(x)\approx\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{th}\, kx=\frac{1}{1+e^{-2kx}},
где большему k соответствует более крутой подъём функции в точке x=0. Если принять \theta(0)=1/2, уравнение можно записать в предельной форме:
\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2}(1+\mathrm{th}\, kx)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.
Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:
\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\mathrm{arctg}\, kx\right);
\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\, \mathrm{erf}\, kx\right).
Запись[править править исходный текст]

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:
\theta(x)=-\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\, d\tau.
\theta(0)[править править исходный текст]

Значение функции в нуле часто задаётся как \theta(0)=0, \theta(0)=1/2 или \theta(0)=1. \theta(0)=1/2 — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:
\theta(x)=\frac{1}{2}(1+\sgn x)=\begin{cases} 0, &amp; x&lt;0;
\\ \dfrac{1}{2}, &amp; x=0;
\\ 1, &amp; x>0.\end{cases}
Значение в нуле может явно указываться в записи функции:
\theta_n(x)=\begin{cases}0, &amp; x&lt;0;
\\ n, &amp; x=0;
\\ 1, &amp; x>0.\end{cases}
Преобразование Фурье[править править исходный текст]

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):
\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\delta(t)\, dt.
Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции ~\theta(t), получим её изображение вида:
\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),
то есть:
\theta(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right)e^{i\omega t}\, d\omega
(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

Срд 23 Окт 2013 00:50:09
>>56561886
И это тит нормально. Двачебыдлиус обыеновениус.

Срд 23 Окт 2013 00:50:55
Частота Раби определяется выражением
\Omega_0 = \frac{\vec{d}\cdot\vec{\mathcal{E}}}{\hbar},
~d — дипольный момент, ~\mathcal{E} — электрическое поле излучения.


Двухуровневый атом:
~g — основное и ~e — возбужденное состояния,
~\hbar\omega_L — внешнее резонансное излучение с частотой ~\omega_L
Из определения следует, что частота Раби (англ. Rabi frequency) количественно описывает взаимодействие резонансного излучения с дипольным моментом атома или молекулы. Под действием резонансного лазерного излучения интенсивностью ~\mathcal{E}^2 населенность b^2_e(t) возбужденного уровня атомной системы осциллирует с частотой Раби ~\Omega_0 (иногда их называют биениями Раби) [1]:
b^2_e(t)= \sin^2\left(\frac{\Omega_0t}{2}\right)
Содержание [убрать]
1 Происхождение термина
2 Обобщенная Раби частота
3 Вакуумная Раби частота
4 Одетые состояния («dressed states»)
4.1 /2 и импульсы
5 Примечания
6 Литература
Происхождение термина[править править исходный текст]

Термин частота Раби назван именем американского физика, уроженца Галиции, лауреата Нобелевской премии по физике (1944 г.) Исидора Раби. В 1937 году Раби исследовал прецессию магнитного дипольного момента атома со спином 1/2 в магнитном поле и вероятность изменения направления спина атома на противоположное. Оказалось, что «переворот» спина происходит с частотой Раби, величина которой определяется выше приведенной формулой (англ. Rabi problem).
Обобщенная Раби частота[править править исходный текст]

Для нерезонансного света вводится так называемая Обобщенная Раби частота ~\Omega^{'}.
~\Omega^{'} = \sqrt{ \Omega_{0} ^2 + \Delta ^2}
где ~\Delta = \omega_{L} - \omega_{0} есть отстройка лазерного света от резонансного атомного перехода. Обобщенная Раби частота участвует в модели Джейнса-Каммингса, которая является самой простой и в то же время адекватной моделью взаимодействия двухуровнего атома с одной модой квантованного поля в резонаторе с высокой добротностью.
Вакуумная Раби частота[править править исходный текст]

В 1946 г. Пёрселл (англ. Purcell) обратил внимание на то, что скорость спонтанного излучения двухуровневой системы, помещенной в резонатор, увеличивается пропорционально отношению ~Q/V по сравнению со скоростью спонтанного излучения в свободном пространстве [2], здесь
~Q, ~V — добротность и объем моды резонатора, соответственно. Если добротность резонатора ~Q=\omega/\Delta \omega_c велика, так что ~\Omega/\Delta\omega_c >1, то спонтанное излучение становится обратимым, а атом обменивается энергией с созданным им же полем со скоростью, определяемой вакуумной частотой Раби ~\Omega^{v}_{0}.
Предположим, мы имеем пустой высокодобротный одномодовый резонатор. Если в такой резонатор влетает атом, находящийся в возбужденном состоянии ~e, то вакуумные флуктуации моды резонатора сынициируют спонтанное испускание атомом фотона. В результате атом окажется в основном состоянии ~g. Так как резонатор добротный, то испущенный фотон перепоглотится и атом снова перейдет в возбужденное состояние. Таким образом, вследствие вакуумных флуктуаций поля в резонаторе, атом будет осциллировать между его уровнями. Такие осцилляции напоминают поведение атома под действием резонансного лазерного поля поэтому описанные переходы атома из состояния ~g в состояние ~e и обратно, вызванные вакуумными флуктуациями поля в пустом добротном резонаторе, называют вакуумной Раби частотой ~\Omega^{v}_{0}.
Вакуумные осцилляции наблюдались на ридберговских переходах атомов в микроволновых резонаторах [3] и на оптических переходах в микрорезонаторах [4]. Аналитическое выражение для вакуумной Раби частоты имеет вид:
~\Omega^{v}_{0}=\frac{\hat{d}\hat{E}(\vec{r})}{\hbar},
где ~ \hat{E}(\vec{r})=\sqrt{\frac{2\pi\hbar\omega}{V}}\vec{e}u(\vec{r})(c+c^{\dagger}),
~V — объем моды резонатора, ~\vec{e} — вектор поляризации моды, ~\omega — частота поля, ~{c+ c^{\dagger} } — операторы рождения и уничтожения фотона, ~u(\vec{r}) — описывает пространственное распределение моды резонатора.
Одетые состояния («dressed states»)[править править исходный текст]

(см. также Сизифово охлаждение#Переменный Штарк эффект (AC-Stark effect))


Смещение атомных уровней g и e под действием лазерного излучения при «голубой» (a) и «красной» (b) настройке частоты лазера. Смещение атомных уровней \Delta{E} противоположно по знаку отстройки частоты лазера
У атома, находящегося в резонансном, когерентном поле, появляются новые зависящие от времени состояния, которые описывают с помощью «одетых» состояний («одетых» полем). В строгом смысле считать их собственными состояниями нельзя, но для описания системы их охотно и успешно используют.
В основе этого понятия лежит известный эффект Штарка. Атом, помещенный во внешнее электрическое поле ~\mathcal{E} , меняет свою энергию. В результате энергетические уровни атома смещаются на величину \Delta{E} = \vec{d}\cdot\vec{ \mathcal{E}} , где \vec{ d } — дипольный момент атома. В 1955 г. Отлер и Таунс опубликовали работу, в которой представлены результаты исследования эффекта Штарка в интенсивных резонансный полях [5] (см. en:Autler–Townes effect). Оказалось, что под действием переменного электрического поля, в том числе при освещении светом, уровни атома также смещаются. С этого времени этот эффект называют «Переменным Штарк-эффектом» (в англоязычной литературе этот эффект — AC-Stark effect или Autler-Townes effect):
\Delta{E} = -c^2{\frac{\Omega^2_0}{2\delta}}
где \Omega_0 = \frac{\vec{d}\cdot\vec{\mathcal{E}}}{\hbar} — Частота Раби, ~\delta — отстройка частоты лазера от атомного резонанса ~\nu_{L} В 1977 году К. Коэн-Таннуджи ввел понятие одетые состояния.[6]
/2 и импульсы[править править исходный текст]
Если приложить импульс поля длительностью ~\tau так, что ~\Omega_0\times\tau=\pi, то атом перейдет из состояния ~g в состояние ~e (см. формулу для b^2(t)). Такой импульс называют ~\pi-импульс.
В случае, когда частица в результате импульсного воздействия за время ~\tau=\frac{\pi}{2\Omega_0} перейдет в суперпозиционное состояние ~\frac{g + e}{\sqrt{2}}, такой импульс называют ~\pi/2-импульсом.

Срд 23 Окт 2013 00:51:40
>>56562268
а я даже в щечку с тян не целовался, даже за плечи не приобнимал. Я в дестве жирным был и меня постоянно обзывали, вот у меня характер мудацкий сложился всех по внешности мерить, и вбыдлятне я даже не сидел никогда, нахуя, если у меня один друг, мы с ним по телефону общаемся

Срд 23 Окт 2013 00:52:16
>>56562241
двачешаблон полон аргументов.
Мимотня :)

Срд 23 Окт 2013 00:53:06
Ошибка: Вы ничего не написали в сообщении.

Срд 23 Окт 2013 00:53:36
>>56559487
>Сосач
>борда лицемерных шлюхокунов
>Тут полно тянок, не бляди
Приехали ребят, проебались и докатились. Это дно ящитаю.

Срд 23 Окт 2013 00:54:49
Диссипация атмосфер планет (Планетарный ветер) — потеря газов атмосферой планет вследствие их рассеяния в космическое пространство. Основным механизмом потери атмосферы является термальный — тепловое движение молекул, из-за которого молекулы газов, находящиеся в сильно разреженных внешних слоях атмосферы, приобретают скорость, превышающую критическую скорость ускользания, и поэтому могут уйти за пределы поля тяготения планеты. Устойчивой считается атмосфера, средняя скорость молекул которой не превышает 0, 2 критической.[1] Если порог средней тепловой скорости составляет 0, 25, то атмосфера рассеивается за 50 000 лет, а при скорости 0, 33 от критической — в течение нескольких недель.[1]
В результате процесса рассеивания атмосферы в космосе, формируется планетарный ветер. Диссипация атмосферы имеет большое значение для планеты, так как при её потере на поверхности изменяется климат, в том числе снижается парниковый эффект — увеличиваются суточные и сезонные колебания температуры. Венера и Марс, имея меньшую, чем Земля, силу притяжения и магнитное поле, из-за диссипации атмосферы потеряли большую часть своих запасов воды.
Содержание [убрать]
1 Термальный механизм диссипации
2 Значение солнечного ветра
3 Нетермальный механизм диссипации
4 Диссипация атмосфер планет Солнечной системы
5 Диссипация атмосферы Земли
6 Литература
7 См. также
8 Ссылки
Термальный механизм диссипации[править править исходный текст]

Средняя скорость молекул газа напрямую зависит от температуры, но скорость отдельных молекул постоянно меняется, поскольку они сталкиваются друг с другом, передавая кинетическую энергию. Распределение кинетической энергии между молекулами описывается распределением Максвелла. Зависимость кинетической энергии молекулы от скорости и массы определяется формулой: E_{\mathit{kin}}=\frac{1}{2}mv^2.
Отдельные молекулы с высокой кинетической энергией, которые попадают в правый хвост распределения Максвелла, могут иметь скорости, превышающие скорость ускользания, и на уровне атмосферы, где длина свободного пробега сравнима со шкалой высот, могут покидать атмосферу.
Более массивные молекулы газа при равной температуре газа и, соответственно, равной средней кинетической энергии имеют меньшую среднюю скорость, и поэтому они имеют меньшую вероятность покинуть атмосферу.
Именно поэтому диссипация водорода из атмосферы происходит быстрее диссипации углекислого газа. Кроме того, чем больше масса планеты, тем выше скорость ускользания и меньше вероятность диссипации атмосферы. Вот почему такие газовые гиганты как Юпитер и Сатурн имеют огромное количество водорода и гелия в своей атмосфере, в том числе покинувших атмосферу Земли. Расстояние до звезды также имеет важное значение: чем ближе планета, тем выше температура атмосферы и выше диапазон скоростей молекул, поэтому более массивные молекулы имеют большую вероятность диссипации из атмосферы. Отдаленные от Солнца планеты имеют холодные атмосферы, а молекулы имеют меньший диапазон скоростей и меньшую вероятность ускользания. Именно это позволяет Титану, который меньше Земли и дальше от Солнца, удерживать свою атмосферу.
Значение солнечного ветра[править править исходный текст]

Важную роль в процессе диссипации атмосферы играют масса планеты, состав атмосферы, расстояние до Солнца и уровень солнечной активности.[2] Общее ошибочное мнение состоит в том, что главный нетермический механизм диссипации — сдувание атмосферы солнечным ветром в отсутствие магнитосферы. Солнечный ветер может передавать свою кинетическую энергию частицам атмосферы, которые могут приобретать скорость достаточную для диссипации из атмосферы. Солнечный ветер, состоящий из ионов, отклоняется магнитосферой, т.к. заряженные частицы движутся вдоль магнитного поля. Таким образом, магнитосфера препятствует диссипации атмосферы планеты. Например, на Земле магнитосфера отклоняет солнечный ветер от планеты с эффективным радиусом порядка 10 радиусов Земли.[3] Область отражения называется головной ударной волной.
Однако, в зависимости от размера планеты и состава атмосферы магнитосфера может и не определять диссипацию атмосферы. Например, Венера не имеет мощной магнитосферы. Её относительная близость к Солнцу напрямую влечет более плотный и мощный солнечный ветер, который мог бы сдуть атмосферу планеты полностью, как например на Марсе. Несмотря на это, атмосфера Венеры на 2 порядка плотнее атмосферы Земли.[4] Последние модели показывают, что солнечный ветер отвечает не более чем за 1/3 общей нетермической диссипации атмосферы.[4]
Поскольку Венера и Марс не имеют магнитосферы для защиты атмосферы от солнечного ветра, солнечный свет и взаимодействие солнечного ветра с атмосферой планет вызывают ионизацию верхних слоев атмосферы. Ионизированные слои атмосферы, в свою очередь, индуцируют магнитный момент, который отражает солнечный ветер аналогично магнитосфере, ограничивая тем самым эффект солнечного ветра на верхние слои атмосферы радиусом 1.2-1.5 от радиуса планеты, т.е. на порядок ближе к поверхности по сравнению с магнитосферой Земли. Проходя эту область, которая называется головной ударной волной, солнечный ветер замедляется до звуковых скоростей.[3] Около поверхности давление солнечного ветра балансирует с давлением ионосферы, которая называется областью ионопаузы. Это взаимодействие обычно мешает солнечному ветру быть основным фактором в диссипации атмосферы.
Нетермальный механизм диссипации[править править исходный текст]

Основные нетермальные механизмы диссипации зависят от размера рассматриваемых планет. Основные факторы влияющие на диссипацию в каждом случае — это масса планеты, состав атмосферы и расстояние до Солнца. Основные нетермальные процессы диссипации для Венеры и Марса, двух планет земной группы без магнитосферы, существенно различаются. Основным процессом диссипации для Марса является захват солнечного ветра, поскольку его атмосфера недостаточно плотна для своей защиты.[4] Венера лучше защищена от солнечного ветра своей плотной атмосферой, и захват солнечного ветра не является основным нетермическим процессом диссипации атмосферы. Небольшие космические тела без магнитного поля больше страдают от солнечного ветра, поскольку не могут удерживать достаточно плотную атмосферу.
Основной нетермический процесс диссипации атмосферы Венеры — ускорение частиц атмосферы в электрическом поле. Поскольку электроны более подвижны по сравнению с другими частицами, они имеют больше шансов покинуть верхние слои ионосферы Венеры.[4] В результате может накапливаться небольшой итоговый положительный заряд. Итоговый положительный заряд в свою очередь создает электрическое поле, которое может ускорять другие положительные частицы и выталкивать их из атмосферы. В результате этого положительные ионы водорода покинули атмосферу планеты. Другой важный процесс диссипации атмосферы Венеры происходит в результате фотохимических реакций, обусловленных близостью к Солнцу. Фотохимические реакции приводят к разложению молекул на составляющие их радикалы с высокой кинетической энергией, сосредоточенной в менее массивной частице. Такие частицы будут иметь достаточно высокую скорость для диссипации из атмосферы планеты. Кислород, по сравнению с водородом, имеет более высокую массу для диссипации из атмосферы при помощи этого механизма.

Срд 23 Окт 2013 00:55:21
>>56561768
Реально вот один здравомыслящий человек нашёлся!Я тут пишу-пишу, а он два слова написал, но зато КАК! Есть тут ещё то, что душу может согреть и горести, и в печали, так что не надо на пацанов местных гнать, вполне они правильно рассуждать.

Срд 23 Окт 2013 00:55:27
>>56559487
СИСЬКИ, ШЛЮХА, ГДЕ СИСЬКИ? ТЫ ЗНАЕШЬ ПРАВИЛА!

Срд 23 Окт 2013 00:55:41
>>56559920
> Общались два гола
Дура тупая, ты его два года динамила.

Срд 23 Окт 2013 00:57:24
Сверхкритический флюид (СКФ), сверхкритическая жидкость — состояние вещества, при котором исчезает различие между жидкой и газовой фазой. Любое вещество, находящееся при температуре и давлении выше критической точки, является сверхкритической жидкостью. Свойства вещества в сверхкритическом состоянии промежуточные между его свойствами в газовой и жидкой фазе. Так, СКФ обладает высокой плотностью, близкой к жидкости, низкой вязкостью и при отсутствии межфазных границ поверхностное натяжение также исчезает. Коэффициент диффузии при этом имеет промежуточное между жидкостью и газом значение. Вещества в сверхкритическом состоянии могут применяться в качестве заменителей органических растворителей в лабораторных и промышленных процессах. Наибольший интерес и распространение в связи с определенными свойствами получили сверхкритическая вода и сверхкритический диоксид углерода[1][2].

Одно из наиболее важных свойств сверхкритического состояния — это способность к растворению веществ. Изменяя температуру или давление флюида, можно менять его свойства в широком диапазоне. Так, можно получить флюид, по свойствам близкий либо к жидкости, либо к газу. Растворяющая способность флюида увеличивается с увеличением плотности (при постоянной температуре). Поскольку плотность возрастает при увеличении давления, то меняя давление можно влиять на растворяющую способность флюида (при постоянной температуре). В случае с температурой зависимость свойств флюида несколько более сложная — при постоянной плотности растворяющая способность флюида также возрастает, однако вблизи критической точки незначительное увеличение температуры может привести к резкому падению плотности, и, соответственно, растворяющей способности[5].
Сверхкритические флюиды неограниченно смешиваются друг с другом, поэтому при достижении критической точки смеси система всегда будет однофазной. Приблизительная критическая температура бинарной смеси может быть рассчитана как среднее арифметическое от критических параметров веществ
Tc(mix) = (мольная доля A) TcA + (мольная доля B) TcB.
Если необходима большая точность, то критические параметры могут быть рассчитаны с использованием уравнений состояния, например с помощью уравнения Пенга-Робинсона.[6]
Области применения[править править исходный текст]

Сверхкритическая флюидная экстракция[править править исходный текст]
Одной из наиболее широких областей применения флюидов является экстракция. Самым распространенным растворителем для СКФ-экстракции является углекислый газ, так как он дешев, экологичен и имеет относительно невысокие критические температуру Tкрит и давление Pкрит.
СКФ-экстракция имеет ряд значительных преимуществ перед экстракцией органическими растворителями[7]:
получаемый экстракт не нуждается в очистке от растворителя;
экологичность процесса («зелёный процесс»);
в некоторых случаях экстракция может быть селективной за счет контроля плотности растворителя.
Сверхкритическая флюидная хроматография[править править исходный текст]
Сверхкритическая флюидная хроматография имеет ряд преимуществ перед жидкостной хроматографией (ЖХ) и газовой хроматографией (ГХ). В ней возможно применение универсальных ПИД-детекторов (как в ГХ и в отличие от ЖХ), разделение термически нестабильных веществ и нелетучих веществ (в отличие от ГХ). На данный момент, несмотря на все преимущества, не нашла широкого применения (за исключением некоторых особых областей, таких как разделение энантиомеров и высокомолекулярных углеводородов[8]). Несмотря на высокую чистоту получаемых соединений, высокая стоимость делает СКФ-хроматографию применимой только в случае очистки или выделения дорогих веществ. Очень перспективна и активно внедряется СКФ-хроматография, например, в фармацевтике.
Флюид как среда для проведения реакций[править править исходный текст]
Уникальная способность сверхкритического флюида растворять большие объемы газа, в особенности H2 и N2, вкупе с высоким коэффициентом диффузии, делает чрезвычайно перспективным его использование в качестве растворителя.[9] Изменение температуры и давления позволяют влиять на свойства растворителя и маршрут реакции, что делает возможным более высокий выход целевого продукта.
История[править править исходный текст]

Впервые сверхкритическое состояние вещества обнаружил Каньяр де ла Тур в 1822 году, нагревая различные жидкости в паровом автоклаве Папена. Внутрь автоклава он поместил кремниевый шарик. Сам де ла Тур работал в области акустики — в частности, ему принадлежит изобретение сирены. При встряхивании автоклава он слышал всплеск, возникавший, когда шарик преодолевал границу раздела фаз. Повторяя встряхивание в процессе дальнейшего нагревания, Каньяр де ла Тур заметил, что звук, издаваемый шариком при столкновении со стенкой автоклава, в определённый момент резко меняется — становится глухим и более слабым. Для каждой жидкости это происходило при строго определенной температуре, которую стали именовать точкой де ла Тура.
В двух опубликованных де ла Туром статьях в Annales de Chimie et de Physique описаны его эксперименты по нагреванию спиртов в запаянных стеклянных трубках под давлением. Он наблюдал, как по мере нагревания объём жидкости увеличивался в два раза, а затем она вообще исчезала, превращаясь в некое подобие газа и становясь прозрачной, так что казалось, что трубка пуста. При охлаждении наблюдалось образование плотных непрозрачных облаков (явление, которое сейчас принято называть критической опалесценцией). Также де ла Тур установил, что выше определенной температуры увеличение давления не приводит к образованию жидкости.
В последующих работах де ла Тур сообщает о серии схожих опытов с различными веществами. Он экспериментировал с водой, спиртом, эфиром и дисульфидом углерода.
Фарадей по достоинству оценил выполненную работу — в частности, в своем письме Уильяму Уэвелу он пишет: «Cagniard de la Tour made an experiment some years ago which gave me occasion to want a new word»; также в этом письме он указывает на то, что точка перехода жидкости в состояние флюида не была названа де ла Туром. В своих дальнейших работах Фарадей называет сверхкритическое состояние «состоянием де ла Тура», а саму точку фазового перехода точкой де ла Тура.
В своих работах Д. И. Менделеев в 1861 г. назвал критическую температуру температурой абсолютного кипения.
Термин «сверхкритический флюид» (supercritical fluid) был впервые введен в работах Т. Эндрюса в 1869 году. Проводя опыты в толстостенных стеклянных трубках, он измерял зависимость объема от давления и построил линии сосуществования двух фаз для углекислоты.
В 1873 году Ван дер Ваальс показал, что экспериментально найденные уравнения состояния Эндрюса могут быть объяснены количественно с использованием расширенной модели идеального газа, где в простой форме учтены молекулярные притяжение и отталкивание на близких расстояниях.
В начале ХХ веке все методы построения уравнений состояния, базирующиеся на приближении среднего поля, были систематизированы в феноменологической теории Л. Д. Ландау, описывающей в том числе и сверхкритические фазовые переходы системы.[10][11]
Первое промышленное производство на основе применения сверхкритических флюидов заработало в 1978 году — это была установка по декофеинизации кофе, за ним в 1982 году последовала промышленная экстракция хмеля (для пивоваренной промышленности).[12]
Ссылки

Срд 23 Окт 2013 00:57:56
>>56562428
А меня все детство и школу стебали, что я урод. Да и сейчас не забывают время от времени напомнить, и дальше что? Я, конечно, тоже социофоб ебаный, но нахуй сваливать свои неудачи на других? Если ты такой пиздатый, то где же твоя тян? Может ты что-то попутал? Давай-ка ты себе хребет сломаешь лучше, стесняшка недооцененный.

Срд 23 Окт 2013 00:58:28
>>56561983
Внатуре ты вот раскрыл, и из него дерьмо полилось. Что-то там интеренеты в нём поменяли. Да ты даже ничего не знаешь. Ни о чём. и сам ты человек ни о чём, у тебя мыслей здравых нету никаких. Что-то ты пытаешься себя здравым показать, но на деле ты кусок дерьма, который всё вокруг испачкал и удивляется, почему так воняет. Пора бы уже в жизни определяться, для чего ты вообще живёшь и зачем.

Срд 23 Окт 2013 00:58:46
Теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит
Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.
Теорема утверждает сохранение во времени фазового объема, или плотности вероятности в фазовом пространстве.
Содержание [убрать]
1 Уравнение Лиувилля
2 Геометрическая интерпретация
3 Физическая интерпретация
4 Запись через скобку Пуассона
5 Запись с использованием оператора Лиувилля
6 Замечания
7 См. также
Уравнение Лиувилля[править править исходный текст]

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в 6N-мерном фазовом пространстве (N — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами q_i и сопряжёнными импульсами p_i, где i=1, \dots, d, d=3N. Тогда распределение в фазовом пространстве \rho(p_i, q_i) определяет вероятность \rho(p, q)\, \mathrm{d}^dq\, \mathrm{d}^dp того, что система будет находиться в элементе объёма \mathrm{d}^dq\, \mathrm{d}^dp своего фазового пространства.
Уравнение Лиувилля описывает эволюцию \rho(p_i, q_i;t) во времени t согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:
\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0.
Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:
\dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}
Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция \rho определяется уравнением неразрывности (непрерывности):
\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla (\rho \, \mathbf{v})= \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \rho\, \mathrm{div}\mathbf{v} + \mathbf{v}\, \mathrm{grad}\rho =0,
где \mathbf{v} — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:
\nabla (\rho \, \mathbf{v}) = \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)
и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:
\rho\, \mathrm{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\, \partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,
где H — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности d \rho/dt равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей (\dot p , \dot q) в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.
Геометрическая интерпретация[править править исходный текст]

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — p_i — но сжимается по другой координате q_i так, что произведение \Delta p_i \Delta q_i остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объем) не изменяется.
Более точно, фазовый объём \Gamma сохраняется при сдвигах времени. Если
\int\limits_\Gamma d^dq\, d^dp = C,
и \Gamma(t) множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество \Gamma в момент времени t, тогда
\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\, d^dp = C,
для всех времён t. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.
Физическая интерпретация[править править исходный текст]

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:
N=\int d^dq\, d^dp\, \rho(p, q)
(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил \mathbf{F} с координатами \mathbf{x} и импульсами \mathbf{p}, теорему Лиувилля можно записать в виде
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,
где \mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}} — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил \mathbf{F}.
В классической статистической механике число частиц N велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае \partial\rho/\partial t=0 можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения \rho равна любой функции гамильтониана H, например, в распределении Максвелла-Больцмана \rho\propto e^{-H/kT}, где T — температура, k — постоянная Больцмана.
Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.
Запись через скобку Пуассона[править править исходный текст]

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах (q^i, p_j) вид
\{A, B\} = \sum_{i=1}^{N} \left(
- \frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}} +
\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}}
\right)
уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид
\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\, \rho, H\, \}
Запись с использованием оператора Лиувилля[править править исходный текст]

При помощи оператора Лиувилля
i{\hat{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],
для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид
\frac{\partial \rho }{\partial t}+i{\hat{L}}\rho =0.

Срд 23 Окт 2013 00:59:07
>>56559487

Тян должны страдать ^_^
мимо романтик, мечтающий о тру лав как в онемэ

Срд 23 Окт 2013 00:59:27
>>56562428
> и вбыдлятне я даже не сидел никогда, нахуя
> нахуя
Это превосходный медиаплеер, например.
Мимомеломан

Срд 23 Окт 2013 00:59:53
>>56562223
Как ты её чётко подъебал. Внатуре пробоина у неё, как у ложки той.

Срд 23 Окт 2013 01:00:44
Поясняю один раз по хардкору за шлюхокунов. Внимание:
Тне ебаться со многими и скакать по хуйцам - позор и блядство, куну ебать многих тней - ничего предосудительного. Это не лицемерие, это разница полов.

Срд 23 Окт 2013 01:01:30
Добротность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.
Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.
Общая формула для добротности любой колебательной системы:
Q = \frac{2\pi f_0 W}{P_d},
где:
f_0 — резонансная частота колебаний
W — энергия, запасённая в колебательной системе
P_d — рассеиваемая мощность.
Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.
Для последовательного Колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}
,
где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.
Для параллельного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивление включены параллельно:

Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}
,


ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью.
Для электрической цепи гораздо проще измерить амплитуду (ток или напряжение), чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды осцилляции, полоса на АЧХ будет 1/\sqrt{2} от пика (примерно 3 дБ, а 1/2 это 6 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой \Delta\omega по уровню 1/\sqrt{2} с круговой частотой резонанса \omega_0 = 2\pi f_0:
Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}=\frac{\omega_0}{2\delta}= \pi N_e ,
где: \delta — коэффициент затухания, равный полуширине резонансной кривой, N_e — число колебаний за время релаксации.
Содержание [убрать]
1 Метрологические аспекты
2 Ссылки
3 Литература
4 См. также
Метрологические аспекты[править править исходный текст]

Для измерения электрической добротности на частотах до десятков — сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.

Срд 23 Окт 2013 01:02:22
>>56562742
> Тне ебаться со многими и скакать по хуйцам - позор и блядство, куну ебать многих тней - ничего предосудительного.
Двойными стандартами попахивает. И нет, я не шлюха.

Срд 23 Окт 2013 01:02:26
>>56562742
Это охуевшие куны. Унижайте их, насмехайтесь над ними.

Срд 23 Окт 2013 01:02:31
Лазерная абляция (англ. laser ablation) — метод удаления вещества с поверхности лазерным импульсом. При низкой мощности лазера вещество испаряется или сублимируется в виде свободных молекул, атомов и ионов, то есть над облучаемой поверхностью образуется слабая плазма, обычно в данном случае тёмная, не светящаяся (этот режим часто называется лазерной десорбцией). При плотности мощности лазерного импульса, превышающей порог режима абляции, происходит микро-взрыв с образованием кратера на поверхности образца и светящейся плазмы вместе с разлетающимися твёрдыми и жидкими частицами (аэрозоля). Режим лазерной абляции иногда также называется лазерной искрой (по аналогии с традиционной электрической искрой в аналитической спектрометрии, см. искровой разряд).
Лазерная абляция используется в аналитической химии и геохимии для прямого локального и послойного анализа образцов (непосредственно без пробоподготовки). При лазерной абляции небольшая часть поверхности образца переводится в состояние плазмы, а затем она анализируется, например, методами эмиссионной или масс-спектрометрии. Соответствующими методами анализа твёрдых проб являются лазерно-искровая эмиссионная спектрометрия (ЛИЭС; анг. LIBS или LIPS) и лазерно-искровая масс-спектрометрия (ЛИМС). В последнее время быстро развивается метод ЛА-ИСП-МС (масс-спектрометрия с индуктивно-связанной плазмой и лазерной абляцией), при котором анализ производится путём переноса продуктов лазерной абляции (аэрозоля) в индуктивно-связанную плазму и последующим детектированием свободных ионов в масс-спектрометре. Перечисленные методы относятся к группе методов аналитической атомной спектрометрии и к более общей совокупности методов элементного анализа (см. аналитическая химия).
Метод лазерной абляции применяется для определения концентраций как элементов, так и изотопов. Он конкурирует с ионным зондом. Последний требует значительно меньший анализируемый объем, но, как правило, гораздо дороже.
Лазерная абляция также применяется для тонкой технической обработки поверхностей и нанотехнологии (например, при синтезе одностенных углеродных нанотрубок).
Преимущества метода[править править исходный текст]

Лазерная абляция применяется в разнообразных областях:
пробоотбор для анализа вещества (LIBS, LA ISP OES, LA ICP MS)
обработка деталей (micromachining)
получение тонких пленок, в том числе новых материалов (PLD)
Лазерное парофазное осаждение (ЛПА или PLD — pulsed laser deposition) — это процесс быстрого плавления и испарения материала мишени в результате воздействия на него высокоэнергетического лазерного излучения, с последующим переносом в вакууме распыленного материала от мишени к подложке и его осаждения.
К преимуществам метода относятся:
высокая скорость осаждения (> 1015 атом·см-2·с-1);
быстрый нагрев и охлаждение осаждаемого материала (до 1010 К·с-1), обеспечивающее образование метастабильных фаз;
непосредственная связь энергетических параметров излучения с кинетикой роста слоя;
возможность конгруэнтного испарения многокомпонентных мишеней;
строгая дозировка подачи материала, в том числе многокомпонентного с высокой температурой испарения;
агрегация в кластеры разного размера, заряда и кинетической энергии (10 — 500 эВ), позволяющая проводить селекцию с помощью электрического поля для получения определённой структуры, осаждаемой плёнки.
Описание метода[править править исходный текст]

Подробное описание механизма ЛА является очень сложным, сам механизм включает процесс абляции материала мишени с лазерным облучением, развитие плазменного факела с содержанием ионов и электронов с высокой энергией, а также кристаллический рост самого покрытия на подложке. Процесс ЛА в целом можно разделить на четыре этапа:
1. взаимодействие лазерного излучения с мишенью — абляция материала мишени и создание плазмы;
2. динамика плазмы — ее расширение;
3. нанесение материала на подложку;
4. рост пленки на поверхности подложки.
Каждый из этих этапов имеет решающее значение для физико-механических и химических параметров покрытия, а, следовательно, и медико-биологических эксплуатационных характеристик. Удаление атомов из объема материала осуществляется испарением массы вещества на поверхность. Происходит первоначальная эмиссия электронов и ионов покрытия, процесс испарения по своей природе является термическим. Глубина проникновения лазерного излучения в этот момент зависит от длины волны лазерного излучения и показателя преломления материала мишени, а также пористости и морфологии мишени.

Срд 23 Окт 2013 01:02:54
>>56562742
По мне так ебаться в принципе не предосудительно, ни для кого, ни с кем, ни в каком количестве. (Если всё по обоюдному согласию конечно.) Тесаки, телегонисты, ханжи и просто аноны вроде тебя могут пройти нахуй.
Я кун, кстати.

Срд 23 Окт 2013 01:03:07
Динамика плазмы[править править исходный текст]

На втором этапе плазма материала расширяется параллельно нормали поверхности мишени к подложке из-за кулоновского отталкивания. Пространственное распределение факела плазмы зависит от давления внутри камеры. Зависимости формы факела от времени может быть описана в два этапа:
Струя плазмы узкая и направлена вперед от нормали к поверхности (длительность процесса несколько десятков пикосекунд), практически не происходит рассеяния, не нарушается стехиометрия.
Расширение плазменного факела (длительность процесса несколько десятков наносекунд). От дальнейшего распределения абляционного материала в факеле плазмы может зависеть стехиометрия пленки.
Плотность факела может быть описана как зависимость cosn(х), близкая к гауссовой кривой. Дополнительно к остронаправленному пиковому распределению, наблюдается второе распределение, описываемое зависимостью cos [43, 46]. Эти угловые распределения отчётливо указывают, что унос материала является комбинацией различных механизмов. Угол разлёта плазмы не зависит прямо от плотности мощности и характеризуется, главным образом, средним зарядом ионов в плазменном потоке. Увеличение лазерного потока даёт более высокую степень ионизации плазмы, более острый плазменный поток с меньшим углом разлёта. Для плазмы с ионами заряда Z=1 — 2 угол разлёта составляет =24 29°. Нейтральные атомы, главным образом, осаждаются на краю плёночного пятна, тогда как ионы с высокой кинетической энергией осаждаются в центре. Для того, чтобы получить однородные плёнки, край плазменного потока должен быть экранирован. Кроме угловой зависимости скорости осаждения наблюдаются определённые вариации в стехиометрическом составе испарённого материала в зависимости от угла при осаждении многокомпонентных плёнок. Остронаправленное пиковое распределение сохраняет стехиометрию мишени, тогда как широкое распределение является нестехиометрическим. Как следствие, при лазерном осаждении многокомпонентных плёнок всегда существуют стехиометрические и нестехиометрические компоненты в плазменном потоке в зависимости от угла осаждения. Так же динамка разлета плазмы зависит от плотности мишени, и ее пористости. Для мишеней из одинакового материала, но разной плотности и пористости временные интервалы разлета плазмы различны. Показано, что скорость абляции вдоль распространения лазерного излучения в пористом веществе в (1.5-2) раза превышает теоретические и экспериментальные результаты для скорости абляции в твердом веществе, описать режим и материал.
Технологически важные параметры ЛА[править править исходный текст]

Можно выделить основные важные технологические параметры ЛА оказывающие влияние на рост и физико-механические и химические свойства пленок при нанесении материала на подложку:
параметров лазера — факторы от которых в основном зависит плотность энергии (Дж/см2). Энергия и скорость абляционных частиц зависит от плотности энергии лазера. От этого в свою очередь зависит степень ионизации абляционного материала и стехиометрия пленки, а также скорость осаждения и роста пленки.
температура на поверхности — температура поверхности большое влияние на плотность нуклеации(первая по времени наступления стадия фазового перехода, образование основного числа устойчиво растущих частиц новой, стабильной фазы). Как правило, плотность нуклеации уменьшается с повышением температуры подложки. Так же от температуры подложки может зависеть шероховатость покрытия.
состояние поверхности подложки — зарождение и рост покрытия зависит от состояния поверхности: предварительная обработка(химическая обработка, наличие или отсутствие оксидной пленки и т. д.), морфологии и шероховатости поверхности, наличие дефектов.
давление — от рабочего давления в камере системы напыления зависит плотность нуклеации, и как следствие морфология и шероховатость покрытия, а также параметры давления оказывают влияние на стехиометрию поверхности. Так же возможно перераспыление материала с подложки обратно в камеру при некоторых параметрах лазера и давления.
На данный момент описаны три механизма роста пленок, подходящие для ионно-плазменных вакуумных методов:
Зародышевый механизм роста Вольмера-Вебера: реализуется на атомно гладких гранях совершенного кристалла, каковыми являются грани с малыми индексами Миллера. Рост пленок в этом случае происходит через начальное образование двухмерных или трехмерных зародышей, в дальнейшем разрастающихся в сплошную пленку на поверхности подложки.
Послойный механизм роста Франка — ванн — дер — Мерве: реализуется при наличии на поверхности подложки ступеней источником, которых является, в частности естественная шероховатость граней с большими индексами Миллера. Эти грани представляются в виде совокупности атомных ступеней, образованных участками плотноупакованных поскостей с малыми индексами Миллера.
Механизм Странского-Крастанова: представляет собой промежуточный механизм роста. Он заключается в том, что сначала на поверхности идет рост по послойному механизму, зaтeм после образования смачивающего слоя (толщиной в один или несколько моноатомных слоев) происходит переход к островковому механизму роста. Условием реализации такого механизма является значительное (в несколько процентов) рассогласование постоянных решетки осаждаемого материала и материала подложки.
Минусы метода[править править исходный текст]

Метод лазерной абляции имеет определённые трудности, связанные с получением плёнок веществ, слабо поглощающих (оксиды различных веществ) или отражающих (ряд металлов) лазерное излучение в видимой и близкой ИК-области спектра. Существенным недостатком метода является низкий коэффициент использования материала мишени, поскольку его интенсивное испарение происходит из узкой зоны эрозии, определяемой размером фокального пятна (~10-2 см2), и вследствие этого небольшая площадь осаждения (~10см2). Значение коэффициента полезного использования материала мишени при лазерном напылении составляет 1 — 2 % и менее. Образование кратера в зоне эрозии и его углубление изменяет пространственный угол разлёта вещества, вследствие чего ухудшается однородность пленок, как по толщине, так и по составу, а также выводит мишень из строя, что особенно характерно для высокочастотного напыления (частота следования импульсов порядка 10 кГц). Повышение однородности плёнок и увеличения срока службы мишени требует использования скоростной системы (~1 м/с) плоскопараллельного сканирования мишени, что позволяет избежать перекрытия соседних фокальных пятен, и вследствие этого локального перегрева мишени и образования на ней глубоких кратеров, что, однако существенно усложняет конструкцию внутрикамерного устройства и сам процесс напыления.

Срд 23 Окт 2013 01:03:12
>>56562546
Ваш пост был одобрен автором предыдущего поста.

Срд 23 Окт 2013 01:03:49
Лазерно-искровая эмиссионная спектрометрия (ЛИЭС) — один из методов атомно-эмиссионного спектрального анализа, в котором используют спектры плазмы лазерного пробоя (лазерной искры) для анализа твёрдых образцов, жидкостей, газовых сред, взвешенной пыли и аэрозолей. В англоязычной литературе данный метод именуют Laser-Induced Breakdown Spectroscopy или Laser-Induced Plasma Spectroscopy (LIBS или LIPS).
Лазерный пробой формируют при фокусировке импульсного лазерного излучения на поверхности образца (или в объёме газа — например, в воздухе). Процесс создания плазмы путём лазерного облучения поверхности образца называют лазерной абляцией.
В настоящее время ЛИЭС бурно развивается в связи с возможностью создания универсальных эмиссионных анализаторов, способных анализировать любые типы образцов (включая микроскопические) на все элементы сразу, с отличным пространственным разрешением по поверхности, причем бесконтактно, не касаясь самих образцов (удалённых объектов), без какой-либо пробоподготовки (в случае гомогенного химического состава материала), работающих в реальном времени в компактном переносном варианте.
В лазерной искре формируется весьма горячая плазма (до 40 тыс. кельвин при концентрации электронов до ~1018 см3). При этом плазма факела, экстрагируемого из совершенно разных образцов, часто обладает схожими характеристиками.
Использование фемтосекундных лазерных импульсов (короче 1000 фс) предельно упрощает процесс мгновенного испарения и ионизации вещества без влияния теплопередачи по объёму образца и экранирования лазерного излучения плазмой факела, формирование которой происходит уже после окончания лазерного импульса. Эти факторы улучшают воспроизводимость анализа.
Применение ультрафиолетовых лазеров позволяет обеспечить лучшую эффективность и воспроизводимость лазерной абляции и, следовательно, более высокую точность анализа, чем это достижимо при помощи менее сложных и более распространённых инфракрасных лазеров.
В практических приложениях наибольшие сложности вызывают проблемы градуировки и не впечатляющие пределы определения (около 103 % с относительной погрешностью 5—10 %). Во многих случаях градуировка остается лишь приблизительной. В случаях анализа материалов, представляющих неоднородные смеси веществ (например руд и металлургических шихт), необходима трудоёмкая пробоподготовка образцов.
С целью снижения пределов определения в ЛИЭС иногда используются сдвоенные лазерные импульсы. В идеальном варианте первым коротким ультрафиолетовым импульсом производится лазерная экстракция (создаётся факел), а вторым, более длинным, инфракрасным импульсом производится дополнительный нагрев плазмы факела.
Плазму лазерной искры можно использовать не только как источник эмиссионных спектров, но и как атомизатор-ионизатор для масс-спектрометрической регистрации ионов. Это уже другой метод — метод лазерно-искровой масс-спектрометрии (ЛИМС), или лазерной микромасс-спектрометрии. Обычно в методе ЛИМС применяют время-пролётные масс-спектрометры, чтобы импульсный характер лазерной искры сочетался с импульсным отбором ионов.

Срд 23 Окт 2013 01:04:12
>>56562079
>>56562448

Я тут, блядь, пытаюсь показать вам здравое зерно, чтобы вы уже сами всё это увидели. Внатуре распинаюсь пол-треда, но вы нихуя не слышите даже. А потому вам западло думать, ЗАПАДЛО, что если окажется всё не так, как вы считать привыкли. Вот в чём дело. Отсюда у пизды ноги и растут.

Срд 23 Окт 2013 01:04:58
Создание инверсии населённостей[править править исходный текст]

Как указано выше, для работы лазера необходима инверсия населённостей, однако получить её для группы атомов, находящихся в термодинамическом равновесии, невозможно. Фактически, прямой переход атомов в возбуждённое состояние будет всегда компенсироваться процессами спонтанного и вынужденного излучений. Лучшее, что может быть достигнуто в такой ситуации — оптическая прозрачность в случае N1 = N2 = N/2, но не усиление.
Чтобы достигнуть неравновесного состояния, необходимо использовать косвенные способы перевода атомов в возбуждённое состояние. Чтобы понять, как это работает, мы будем использовать более реалистичную модель, известную как трёхуровневый лазер. Возьмем ещё раз группу из N атомов, но теперь каждый из них может находиться в трёх различных энергетических состояниях, на уровнях 1, 2 и 3 с энергиями E1, E2 и E3, в количестве N1, N2 и N3, соответственно. При этом диаграмма энергетических уровней будет выглядеть следующим образом:

=================================== уровень 3, E3, N3
^
R (быстрый переход без излучения)
V
-- -------------------------------- уровень 2, E2, N2


P (накачка)
L (медленный переход с излучением)


V
----------------------------------- уровень 1 (осн. состояние), E1, N1

На этой диаграмме E1 &lt; E2 &lt; E3; т. е. энергетический уровень 2 лежит между основным состоянием и уровнем 3.
В самом начале система атомов находится в термодинамическом равновесии, и большинство атомов находится в основном состоянии, т. е. N1 N, N2 N3 0. Если теперь осветить атомы светом частоты 31, где E3-E1 = h31 (h — Постоянная Планка), благодаря поглощению, начнётся процесс перехода атомов в возбуждённое состояние на уровень 3. Такой процесс называется накачкой, и не всегда он вызывается светом. Для этой цели также применяются электрические разряды или химические реакции. Уровень 3 также иногда называют уровнем накачки или полосой накачки, а энергетический переход E1 E3 — переходом накачки, который показан буквой P на диаграмме.
Если мы будем продолжать накачку атомов, мы возбудим до уровня 3 достаточное их количество, т. е. N3 > 0. Далее нам необходимо, чтобы атомы быстро перешли на уровень 2. Освобождённая при этом энергия может излучиться в виде фотона механизмом спонтанного излучения, но на практике рабочее тело лазера выбирают так, чтобы переход 32, обозначенный на диаграмме буквой R, проходил без излучения, а энергия тратилась на нагрев рабочего тела.
Атом на уровне 2 может перейти на основной уровень, спонтанно излучив фотон частоты 21 (которую можно найти из выражения E2-E1 = h21). Этот процесс показан на диаграмме буквой L. Время до этого перехода 21 значительно превышает время неизлучающего перехода 32 — 32 (21 >> 32). При таком условии, количество атомов на уровне 3 будет примерно равно нулю (N3 0), а количество атомов на уровне 2 — больше нуля (N2 > 0). Если на этом уровне удастся удержать больше половины атомов, между уровнями 1 и 2 будет достигнута инверсия населённостей, а на частоте 21 начнётся оптическое усиление.
Поскольку для достижения такого эффекта нужно возбудить не менее половины атомов, для накачки нужна очень большая энергия. Поэтому трёхуровневые лазеры непрактичны, хотя они и стали первыми созданными Теодором Майманом лазерами (на основе рубина) в 1960 году. На практике чаще используются четырёхуровневые лазеры, как показано на диаграмме ниже:
=================================== уровень 4, E4, N4
^
Ra (быстрый переход без излучения)
V
-- -------------------------------- уровень 3, E3, N3


P
(накачка) L (медленный переход с излучением)


V
-- -------------------------------- уровень 2, E2, N2

Rb (быстрый переход без излучения)
V
----------------------------------- уровень 1 (осн. состояние), E1, N1
Здесь присутствует четыре энергетических уровня E1, E2, E3, E4, и количество атомов N1, N2, N3, N4, соответственно. Энергии этих уровней последовательно увеличиваются: E1 &lt; E2 &lt; E3 &lt; E4.
В такой системе при накачке P атомы переходят из основного состояния (уровень 1) на уровень накачки 4. С уровня 4 атомы с помощью быстрого неизлучающего перехода Ra — на уровень 3. Так как время до перехода L намного превышает время до перехода Ra, на уровне 3 скапливаются атомы, которые затем с помощью спонтанного или вынужденного излучения переходят на уровень 2. С этого уровня быстрым переходом Rb атом может вернуться в основное состояние.
Как и в предыдущем случае, наличие быстрого перехода Ra приводит к тому, что N4 0. В четырёхуровневом лазере, благодаря наличию второго быстрого перехода Rb, количество атомов на уровне 2 также стремится к нулю (N2 0). Это важно, так как основное количество атомов скапливается на уровне 3, который образует инверсию населённостей с уровнем 2 (N3 > 0, откуда N3 > N2).
Полученное оптическое усиление (и, соответственно, работа лазера) происходит на частоте 32 (E3-E2 = h32)
Так как для образования инверсии населённостей в четырёхуровневом лазере достаточно небольшого числа атомов, такие лазеры более практичны. Это объясняется тем, что основное число атомов продолжает оставаться на уровне 1, а инверсия населённостей образуется между уровнями 3 (где находится некоторое число возбуждённых атомов) и уровнем 2, где атомов практически нет, потому что они быстро попадают на уровень 1.
На самом деле можно сделать лазеры с количеством энергетических уровней, большим четырёх. Например, у лазера может быть несколько уровней накачки, либо они могут образовывать сплошную полосу, позволяя лазеру работать в широком диапазоне длин волн.
Следует заметить, что энергия перехода оптической накачки в трёх- и четырёхуровневых лазерах превышает энергию перехода излучения. Отсюда следует, что частота излучения накачки должна быть больше частоты выходного излучения лазера. Другими словами, длина волны излучения накачки короче длины волны лазера. При этом для некоторых рабочих тел возможен процесс, когда накачка происходит поэтапно, через несколько уровней. Такие лазеры называются up-conversion lasers (лазер с кооперативным эффектом).
Несмотря на то, что в большинстве лазеров процесс излучения вызывается переходом атомов между различными электронными энергетическими уровнями, описанными выше, это может быть не единственным механизмом работы лазера. Многие широко используемые лазеры (например, лазеры на красителях, лазер на углекислом газе), в которых рабочее тело состоит из молекул, энергетические уровни могут соответствовать режимам колебаний этих молекул. В случае водяных мазеров, такой процесс происходит и в природе.

Срд 23 Окт 2013 01:06:19
>>56562634
Ну, я считаю, что я урод, я из дома выхожу редко, мне кажется, что мне тыкают пальцем и смеются, уродом конечно меня не называли, жирным называли, но в поздние годы тян знакомые говорили что я красивый, но это просто, чтоб утешить, да и вообще нахуй я тян нужен? Я не работаю. И я считаю, что все уроды должны быть кастрированы, либо отгорожены от тян, почему они с уродами вообще разговаривают, нахуя? Мне от этого припекает, я вот например 100% умру девственнотой, но почему некоторые уроды получают от жизни все, а другие ничего, у меня были знакомые уроды, и говорили, что они прям уроды, даже те-же тянки, но они девственнотой не были.

Срд 23 Окт 2013 01:06:54
>>56562810
Я же специально для таких как ты написал: разница полов. Поговорку про русского и немца знаешь? Так тут аналогичная ситуация.

Срд 23 Окт 2013 01:08:11
>>56562998
> Так тут аналогичная ситуация
С чего бы это? Пруф или нахуй иди.

Срд 23 Окт 2013 01:09:52
>>56563047
Пруф на что? На немцев?

Срд 23 Окт 2013 01:10:13
>>56562679
интересные у тебя понятия о любви. Это в аниме такие?

Срд 23 Окт 2013 01:10:47
>>56563126
Пруф на то, что разница полов существует. И на каком основании она существует.

Срд 23 Окт 2013 01:11:04
>>56562834
Да без базару, только гуляющей со всеми подряд тне стоит смириться с тем что она шлюха и не рассчитывать на статус ламповой хранительницы очага - в глазах любого куна таковой уже никогда не станешь.
>>56562815
Сиськи с супом есть? Нету. Значит ты охуевшая зелень-толстота.

Срд 23 Окт 2013 01:11:19
>>56562742
А ты подумай, кого они ебут-то? Сами себя что ли? В этом-то и суть, что они ебут и им реально похуй, они реально не заморочены в этом плане. Хотя они может быть тоже иногда хотят для себя такую чтобы не на пару раз. Но в любом случае они находятся, то есть иной раз общаешься с человеком, он так сам про себя и думает, что ёбарь-террорист, усилия даже какие-то для этого прикладывает. Но это другая проблема уже. Если человек осознаёт, он не будет так делать, конечно.

Срд 23 Окт 2013 01:11:19
>>56562696
Но надо бороться с перадством, это же беда человечества, я, например у габена иконки покупаю за мамины деньги, даже инди хуйню пиратить стыдно, а музыку тоже покупать надо.

Срд 23 Окт 2013 01:11:33
>>56562967
Тянка только в случае ужасающего ебала останется девственнотой, а страшнотяны очень даже пользуются популярностью, у них в плюсах меньшая тупопездность, по крайней мере на первый взгляд.вообще это странно, кунам внешность тян пожалуй даже менее важна, чем им наша, это все ебаный устойчивый пиздеж столетий А куны, ну куны не нужны. Не можешь ебать тян - не будешь ебать, всем похуй, кунов все равно значительно больше, каждому по пизде не хватит.

Срд 23 Окт 2013 01:12:20
>>56563166
Серьезно, ты считаешь что отличие между кучном и тян лишь в физиологии?

Срд 23 Окт 2013 01:12:58
>>56563166
Вам скоро выдадут эти книжки, запомни название, там ты найдешь пруф.

Срд 23 Окт 2013 01:14:43
>>56563241
Собственно, почему бы и нет? Если ты считаешь, что это не так, будь добр подтверждать свои слова.
>>56563265
Прошел 7 лет назад, никакой разницы, кроме органов размножения не увидел.

Срд 23 Окт 2013 01:17:15
>>56563344
Подержись за ручку и поймешь разницу, это совсем другие люди, иррациональные алогичные существа, каждый месяц переживающие гормональный взрыв с психологическими последствиями.

ключизамок.тхт

Срд 23 Окт 2013 01:17:19
>>56563344
Толсто. Если бы это было так, тогда битарды не испытывали бы проблем в общении с тнями, так как те мыслили бы идентично кунам, а это далеко не так. Шах и мат.

Срд 23 Окт 2013 01:17:28
Что-то все с сажей пишут, надо бы бампануть разок.

Срд 23 Окт 2013 01:18:12
>>56563444
>>56563440
Окей, убедили.

Срд 23 Окт 2013 01:18:34
>>56563208
Да даже с ужасающим ебалом она не будет девственнотой, были пару знакомых, ну и говорили, что не девственницы, хотя на вид, конечно были пиздец, хуйни в голове больше, чем у пизды тупой. А про то, что тян меньше, чем кунов это, блядь только конченый будет отрицать, и вообще, я лучше на трапов подрочу и успокоюсь.

Срд 23 Окт 2013 01:18:49
>>56563453
Нахуя?

Срд 23 Окт 2013 01:20:50
И вообще, теперь это музыки тред.

Срд 23 Окт 2013 01:21:05
>>56563344
Я не он, но ты совсем ебанутый. Это исторически сложившееся положение (и нихуя оно не изменится), кун - завоеватель, тян - побежденный. Это пиздато, когда завоевал многих, и это хуево, когда сдаешься каждому встречному-поперечному.

Срд 23 Окт 2013 01:21:18
>>56559487
Дай угадаю, ты уебищная жируха?

Срд 23 Окт 2013 01:21:15
>>56559487
Что за бессвязную хуйню ты написала? Конкретно расскажи что произошло?


Срд 23 Окт 2013 01:24:16
>>56563512

Мне скучно.

Срд 23 Окт 2013 01:25:46
>>56563717
Ну и хуйло.

Срд 23 Окт 2013 01:26:22
>>56559487
Это всё потому что ты жируха. Ну да, без пруфоф ты сам знаешь кто.

Срд 23 Окт 2013 01:28:03
>>56563776

Зато смотри какую я песню слушаю!

Срд 23 Окт 2013 01:29:00
>>56563807
фимоз

Срд 23 Окт 2013 01:29:53
>>56563807
Сделал сигну треду тни. Опущенка.

Срд 23 Окт 2013 01:30:48
>>56563869
Ты что, тред перечитал, что ли? Алсо, слышал.

Срд 23 Окт 2013 01:32:31
>>56563977
Говно.

Срд 23 Окт 2013 01:33:06
>>56563977

Это, конечно, хорошо, но слышал ли ты БУРАТО?

Срд 23 Окт 2013 01:34:12
>>56564025
Согласен.

Срд 23 Окт 2013 01:34:42
Вы ебанутые? Вы что тут делаете?

Срд 23 Окт 2013 01:35:09
>>56563977
Палю тебе годноту, пидор.

Срд 23 Окт 2013 01:36:11
>>56564106
Я сегодня на гопосленге парню с работы за электричество пояснял.

Срд 23 Окт 2013 01:36:55
>>56559487
Тупая пизда с синдромом недоеба и социоблядством головного мозга.
Дерьма наверни, шлюха.

Срд 23 Окт 2013 01:37:31
>>56564055
Проиграл.
>>56564106
Сидим, как сычи. Очевидно же.
>>56564126
Рэп нинужен.

Срд 23 Окт 2013 01:39:22
ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА

Срд 23 Окт 2013 01:39:28
тред не читай
@
сразу отвечай


а кто сказал что куны чем-то лучше? лол, у меня вообще большинство знакомых кунов типичные уебки, без каких-либо зачатков здравого смысла. У меня конечно тоже иногда проскакивает, не святой, что уж говорить.
И если ты не жирный - то найти тебе чеовека, с которым тебе будет интересно или блять попробуй найти проблему в себе, раз кун залез в душу, ему там что-то не понравилось :3

Срд 23 Окт 2013 01:40:47
>>56564265
внатуре ты хуиты не слышал ни разу

Срд 23 Окт 2013 01:40:57
ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА ХУИТА

Срд 23 Окт 2013 01:41:32
>>56564267
Шлюха, это музыки тред. Съеби.

Срд 23 Окт 2013 01:41:39
>>56559487
Ну что у тебя за идеализм на ночь глядя? Человек разумный в каждом из нас есть. А шлюхой чуйствовать себя нинада. Как там.. Ты сердце не прячь, амур не промажет!

Срд 23 Окт 2013 01:42:22
>>56564213
Именно гангста-реп охуенен. Он для илиты, которая может в атмосферу.

Срд 23 Окт 2013 01:42:23
>>56559487
>>56560970
Ох... Вы чего хотите?
Вот всегда в этих биопроблемных тредах мучил один вопрос, чего хочет оп и ему сочувствующие?
Вы же не пытаетесь решить проблему, в смысле совсем. До вас их было сотни и уж 2-3 из них вы точно читали (а вероятнее процентов 50 из тех что заставали). Все советы сказаны, тему разжевывать больше не имеет смысла.
Ищут хрен пойми кого, а между тем, тут есть нормальные люди, но они сидят в рид онли и отвечают более чем редко, но вам же они не подойдут, банально не заинтересуют же. В смысле "Ну ты какой-то скучный", "У нас нет тем для разговора", при чем что в реальной жизни могут вполне себе вести светскую беседу. Просто при первом разговоре не то, что робеют, а скорее боятся что-то лишнее ляпнуть и контакт порвать, то есть при знакомстве разница в отношении к одному предмету (хоть и пустяковыму) может сыграть ключевую роль, при чем если этот факт выясняется не при знакомстве, а хотя бы спустя пару месяцев вызовет единственную реакцию "Эм, ну ок". К примеру "Тебе нравится цирк Дюссолей", нет - гроб гроб кладбище пидор, не можешь в понимение искусства. К чему я все это виду: если у вас в нете при знакомстве возникает восторг "ДА У НЕГО ВСЕ ТЕЖЕ ИНТЕРЕСЫ, ЧТО И У МЕНЯ, ОН ТАКОЙ НЯША", поздравляю вы нашли пиздолиса/недопикапера/лицемера (нужное подчеркнуть), а так и будет , потому что нормальный человек говорит о своих увлечениях и вкусах, а не подстраивается под собеседника и как-то шансов, что ваши интересы совпадают хотя бы на 50% чрезвычайно малы, но как бы это все хрень, если в ключевых вопросах вы согласны (отношение к работе, потребительству, социоблядству, отношение к отношениям, лол).

P.S.
Какую то хрень накатал. К черту, пойду дальше фигачить дисер....

Срд 23 Окт 2013 01:42:43
>>56559487
Никкакого баттхерта, сучка. У меня пипирка 21, идеальный стиль и вкус, дальше забыл

Срд 23 Окт 2013 01:44:33
>>56564337
И ты тоже, будь добра, отправляйся к сатане.
>>56564355
Как говорится, на вкус и цвет.

Срд 23 Окт 2013 01:45:15
>>56559487

Мне вообще похуй на секс, передернул и мне хватает. Нам с тобой не по пути.

Срд 23 Окт 2013 01:57:38
>>56559487
Как то в один зимний вечер, пройдя в течении пары месяцев до этого видеокурсы Тимура Смирнова и начитавшись Алекса Лесли, я решил всё таки побороть свой страх перед тян и постараться завести знакомую. В подробности как всё происходило вдаваться не буду, вообщем у меня получилось заговорить с тян, которую только что бросил кун. Она мне рассказала о том, как в течении нескольких месяцев её разводил кун на перепих, но сделал это так ювелирно, что она даже и не догадывалась, в отличии от других бездарей, которые пытались её склеить. Ну вышло так, что предложил выпить чашечку чаю у меня дома и рассказать об этом поподробнее (естественно я сказал что не пытаюсь её трахнуть, просто мне интересно выслушать как это всё выглядело с её стороны). Она сразу согласилась, видимо потому, что она была разбита и голова её особо не варила.
Как только мы зашли ко мне домой (дома никого не было), я громко захлопнул дверь и закрыл на ключ - дверь с наружи тоже закрывалась на ключ и возможности выйти из хаты для неё не было, так как ключи были у меня. Она спросила - что я делаю? Я ничего не ответил. Я просто схватил её за шкиботы за её дорогущий пуховик, сделал ей борцовскую подсечку (аля борцуха стайл, бывший самбист то) и завалил на пол. В руке у меня оказался вырванный из пуховика кусок, но не долго думая выкинуть его или нет, ко мне пришла идея - засунуть его этой шлюхе в рот, чтобы не кричала. После того как я с успехом это проделал, я начал её ебашить кулаками по лицу, пока кровь не собралась лужей на полу возле неё, затем я проделал пару болевых на ноги, как тренер Валентиныч учил, и делал до тех пор, пока что-то не хрустнуло у неё в области колена. К этому времени она уже не могла мычать через кусок пуховика, а просто издавала какие-то скрипучие звуки. Затем я обнаружил на телефонном столике рядом со мной пустой флакон из под одеколона - я сразу схватил его и разбил ей об голову, тут то шлюха и замолчала.
А ведь батя был прав - самбо в жизни пригодилось, теперь буду пиздить всех шлюх, чтобы не выёбывались, а то приохуели совсем.

Срд 23 Окт 2013 02:13:52
>>56564816
Иными словами, знакомую ты не завел?

Срд 23 Окт 2013 02:30:30
>>56563139

просто ирл тни на такую любовь не способны. у них внутри пусто.

Срд 23 Окт 2013 02:33:54
>>56565792
Без доли практичности никуда не уедешь. Так-то.

Срд 23 Окт 2013 03:07:55
>>56559487
Все верно, паста, хули.

Срд 23 Окт 2013 03:12:53
>>56565792
У меня тоже внутри пусто. Выросла капуста

Срд 23 Окт 2013 03:42:00
>>56565903
сама далеко уехала?

Срд 23 Окт 2013 03:49:15
>>56559487
Я вижу пасту этой шлюхи на протяжении полугода. Лолирую с местных ньюфагов.

Срд 23 Окт 2013 04:03:44
>>56559487
некогда не буду обсуждать со шлюхой интересные темы (политику, религию, философию, борды, игры, гаджеты и т д) там нужна другая линия поведения. и если у тебя есть пизда и тебе это интересно, то это скорей исключение из правил! а мне нужна продуктивность, тоесть писька твоя! и пообщавшись со мной ты подумаешь что я быдло и дебил, но поскольку я люблю еблю, я буду придерживаться привычных алгоритмов! а на твои интересы и внутренний мир, мне похуй.

Срд 23 Окт 2013 04:15:47
>>56559487
Мне жаль тебя.
сажа-скорби

Срд 23 Окт 2013 04:22:36
Итт буйные зелёные шлюхи, с дотом на кровотечку, пытаются самоутвердиться за счёт забитых омег и рачков, но даже последние могут дать отпор обезумевшим селёдкам.

Срд 23 Окт 2013 04:32:39
>>56559487
Сиськи или нахуй тварь.

Срд 23 Окт 2013 04:39:20
Не могу представить тян как нормального собеседника/друга/напарника. У тян мозг появляется лет так в 25~35 после того, как вам пизду ваш новорожденный ребенок порвёт и то, после нескольких недель упражнения Кегеля.
Я вижу два варианта:
1) очевидные тп-турбошлюхи, ебанутые на голову или чсв овер дохуя.
2) пгмнутые няши-скромняши, которые не могут в дискасс.
3) это опять же безпруфные сисы, которые сидят тут под видом кунов, ибо опять же, с тян дискасс не возможен.

Срд 23 Окт 2013 04:39:59
>>56559487
Помню тот тред. Теперь это паста, пацаны.

Срд 23 Окт 2013 04:45:17
>>56559487 Лера, иди спать. Как захочу ебаться - наберу, не волнуйся.

Срд 23 Окт 2013 04:50:13
>>56559487
Шлюха заставила меня смеяться.
У неё такая же каша в голове, как и у любой шлюхи в её 17-19 лет. Только этой шлюхе еще и сосака голову засорила.
Сажи.

Срд 23 Окт 2013 04:57:55
>>56564356
Ты дело говоришь, уважаемый. Согласен с тобой на все 100%.
Тебе добра, треду сажи.

Срд 23 Окт 2013 05:03:51
>>56568334 лел, жаль шлюха убежала. почт уверен, что это именно она. хотя, почему меня это собственно ебет. завтра спрошу, если не забуду, лол.


← К списку тредов