Карта сайта

Это автоматически сохраненная страница от 04.03.2014. Оригинал был здесь: http://2ch.hk/b/res/63688308.html
Сайт a2ch.ru не связан с авторами и содержимым страницы
жалоба / abuse: admin@a2ch.ru

Срд 05 Мар 2014 00:27:05
СУПИР ТРЕД для тех, кому <15
СУПИР ТРЕД для тех, кому <15 Здесь и сейчас, на уютном ночном, встречаются анончики, которые за свою короткую жизнь успели стать супер алтфаками и небыдлами!
Псевдоилита, пиздуй отсюдова. Здесь только мы.

опу 12



Срд 05 Мар 2014 00:28:20
>>63688308
Хипстерок, иди нахуй, хипстерок.

Срд 05 Мар 2014 00:29:38
>>63688393
Слышь, ты!)

Срд 05 Мар 2014 00:33:13
Че вы сдохли?

Срд 05 Мар 2014 00:33:18
Ну, опхуй, я здесь

Срд 05 Мар 2014 00:35:59
>>63688715
прив

Срд 05 Мар 2014 00:37:46
ебамп

Срд 05 Мар 2014 00:38:24



Срд 05 Мар 2014 00:39:48
да че вы парни))000 падем лучшэ в доту))00000 я вот ща пивко дапью)0000

Срд 05 Мар 2014 00:40:06
>>63688308
Уёбывай с моих двачей.

Срд 05 Мар 2014 00:41:16
>>63689142
вобщето это и мой двач тоже

Срд 05 Мар 2014 00:44:00
>>63689142
Палец верх, кто от Мэда ))))

Срд 05 Мар 2014 00:44:28
>>63689117
Пошле


Срд 05 Мар 2014 00:46:27

Срд 05 Мар 2014 00:47:40
>>63689526
тапор в очко

Срд 05 Мар 2014 00:48:12
мне 13 задавайте ответы

Срд 05 Мар 2014 00:48:55
>>63689629
Размер ануса,в метрах.

Срд 05 Мар 2014 00:49:52
>>63688877
Как дела))

Срд 05 Мар 2014 00:50:48
>>63689597
Мих не хуей )

Срд 05 Мар 2014 00:52:43
>>63689765
Миху в мусоропроводе найдешь.

Срд 05 Мар 2014 00:53:03
>>63689629
Ребят го вкoнтакт, мы кoнфaч сделали, vkantakt kom/cnn_rea дoбавь (или лox)

Срд 05 Мар 2014 00:53:25
дароф пассани))

Срд 05 Мар 2014 00:53:59
>>63689903
мне мамка заприщает (сука шлюза)

Срд 05 Мар 2014 00:54:11
>>63689917
хай

Срд 05 Мар 2014 00:54:40
>>63689917
как дила

Срд 05 Мар 2014 00:55:27
>>63689997
збс у тя ник))
как завут?
>>63689964
дароф

Срд 05 Мар 2014 00:55:42
А теперь честно, кому здесь менше 15 ?

Срд 05 Мар 2014 00:55:51
>>63689997
вот свеженкий хуйцов соснул

Срд 05 Мар 2014 00:56:39
>>63690047
на стенке у cnn_rea оставил

Срд 05 Мар 2014 00:56:44
>>63690060
Ты ебнутый? Никому же.

Срд 05 Мар 2014 00:57:00
>>63690070
слышь на моего бро не наезжай, забаню.

Срд 05 Мар 2014 00:57:28
>>63690060
Двач - это детский сайт.

Срд 05 Мар 2014 00:57:37
>>63690132
мне. и Михе.

Срд 05 Мар 2014 00:59:04
>>63690174
смишнявки зато

Срд 05 Мар 2014 00:59:11
Блядь, сука, ебаные унтерменши. А потом ноют, какого хуя школьников за людей не считают. Желаю вам гореть в аду, пидоры. А вообще, толсто.

Срд 05 Мар 2014 00:59:12

Срд 05 Мар 2014 01:00:46
>>63690297
нихуя не толсто. мне и вправду 12, но я не стыжусь этого.

Срд 05 Мар 2014 01:01:05
>>63690397
а мне 14

Срд 05 Мар 2014 01:01:41
>>63690420
не пизди)

Срд 05 Мар 2014 01:02:13
>>63690454
Я говорю правду.

Срд 05 Мар 2014 01:03:26
>>63690486
паспорт довай фотай бля))

Срд 05 Мар 2014 01:04:18
>>63690569
Я бомж. У меня нет паспорта.

Срд 05 Мар 2014 01:05:34
>>63690569

Если не сщитать паспортом клеймо на моей жопе.

Срд 05 Мар 2014 01:05:55
мудаки бампайте

Срд 05 Мар 2014 01:06:08
>>63690615
>>63690696
ахаххаха лах бля ебать)))) довай фотай клеймо тогда)

Срд 05 Мар 2014 01:07:31
>>63690738
Хозяйн не разрешает

Срд 05 Мар 2014 01:09:37
>>63690833
мне похую кто тебе там не разрешает бля быра фотай или те не 14 и мы тя запетушим и обоссым))

Срд 05 Мар 2014 01:09:40
пиарьте наш тред по всему Б
будет круто

Срд 05 Мар 2014 01:10:55
>>63690965
я мамке нажалуюс

Срд 05 Мар 2014 01:12:39
>>63691036
все пезда те короч пацаны петушим его бляя)))) это великовозрастный мудак а не норм посан)) побзынькал на тебя)

Срд 05 Мар 2014 01:14:36
>>63691138
тупая пикча с вк,используемая школьниками

Срд 05 Мар 2014 01:15:40
Анальчики)

Срд 05 Мар 2014 01:16:50
>>63691295
спасай. мя тут обсырают.

Срд 05 Мар 2014 01:18:40
азаззаза начинаем делать батрудинах))))))))0))нуль))
ставь лойз или сдилаеш лалке сасай))))

Срд 05 Мар 2014 01:19:38
>>63691372
ок бро
>>63691489
а тя мы затролим

Срд 05 Мар 2014 01:19:52
Саге толстякам. А вообще проиграл, лол.

Срд 05 Мар 2014 01:20:26
>>63691489
эй хуйло пошли вк или зассал vk kom /cnn_rea

Срд 05 Мар 2014 01:21:18
>>63691542
азаза да у тибя багет, мамку таввю ипал в пукет )))))11)

Срд 05 Мар 2014 01:23:45
>>63691588
твы шо сука пидар странитса не найдено пишит ты говно зассал ахаххаха)))

Срд 05 Мар 2014 01:25:39

>>63691622
фу мемчики гавно

только ifase только хардкор

Срд 05 Мар 2014 01:27:20
>>63688308
Мимопоссал на вас 35 лет


Срд 05 Мар 2014 01:28:00
>>63691949
Слышь ты!

Срд 05 Мар 2014 01:28:11
Охуеть, ну вы и ебанутые.

Срд 05 Мар 2014 01:28:12
>>63691949
Поссала на тебя в ответ)) грубиян))))


Срд 05 Мар 2014 01:29:02
>>63691997
почому это?

Срд 05 Мар 2014 01:29:29
>>63690397
Ну и идиот, хуле. Что ты в таком возрасте на дваче забыл? И да, мелкобуквенные не нужны.

Срд 05 Мар 2014 01:31:25
>>63692000
Возбудился впервые за месяц.
мимо 35 лет


Срд 05 Мар 2014 01:32:36
>>63691989
Жопой нюхаешь цветы
С трёхметровой высоты
Обосрут тебя коты


Срд 05 Мар 2014 01:32:37
>>63692069
тут весело. а еще я чувствую себя элитой.

Срд 05 Мар 2014 01:33:45
>>63692232
Фуууу jopa(((

Срд 05 Мар 2014 01:34:01
>>63692233
Тебя обижают в школе?

Срд 05 Мар 2014 01:35:05
>>63692291
Чувак это не... ну ладно пусть будет жопа


Срд 05 Мар 2014 01:35:05
>>63692233
> а еще я чувствую себя элитой
Ох лол. Съеби отсюда и до хотя бы 16 не возвращайся.

Срд 05 Мар 2014 01:35:08
>>63692233
А мне дадсать один но у миня интилект как у хлеба, даай дружить

Срд 05 Мар 2014 01:35:24
>>63692308
нет, ну иногда может.

Срд 05 Мар 2014 01:36:09
>>63692371
давай.)

Срд 05 Мар 2014 01:37:31
Двач перестал притворяться.

Срд 05 Мар 2014 01:37:40
Ребят если честно это мой 3 тред на дваче. так что не бейте если чтото не так

Срд 05 Мар 2014 01:38:43
>>63692510
> так что не бейте
Не можем, а жаль. И вообще, сега.

Срд 05 Мар 2014 01:40:02
кто хочет са мной подружится мне двадцать один я учусь в уневерситете и живу с бабушкай у меня есть увличения в компах и я исчудрузей чтобы вместе играть в комп
пишите www.vovapetrov1993@mail.ru

Срд 05 Мар 2014 01:40:19
>>63692560
не хуей! думаешь когда ты свой 1 тред сделал, он прям заебись был?

Срд 05 Мар 2014 01:41:14
>>63692638

ты толстый. а нам и вправду 12.

Срд 05 Мар 2014 01:42:19
>>63692661
Мой первый тред был математическим троллингом с гипотезой Римана, так что всяко лучше. Ах да, ты же не знаешь, что такое гипотеза Римана, совсем забыл. Умри в муках.

Срд 05 Мар 2014 01:42:43
>>63692718
мамка твая толстая, а мне и правда 21 и я учусь в престижном высшем учебном заведении

Срд 05 Мар 2014 01:43:46
>>63692777
говно. прям думаешь если ты что то умное сказал. то автоматически крутой?

Срд 05 Мар 2014 01:45:24
посоны го в дотку шпилить?

Срд 05 Мар 2014 01:45:25
бамп

Срд 05 Мар 2014 01:45:53
>>63692855
Аргументация уровня 6 класса. Приведу тот аргумент, который ты сможешь понять: у миня трипол, я праф, сасируй)))
>>63692923
Сега.

Срд 05 Мар 2014 01:46:11
>>63692922
я с телефа капчую а комп не тянет доту

Срд 05 Мар 2014 01:46:38
>>63688308
Да я лучше за вас, маленьких детей по 12 лет, которые обсуждают пони и смотрят мультики, чем за этих 20летних мамкиных революционеров, которые дальше своего носа не видят, ненавижу людей такого возраста, шума дохуя, а толку нихуя. А вы дети играйте и в школе учитесь, а этих долбоёбов не слушайте.
Мимо старый

Срд 05 Мар 2014 01:46:57

Срд 05 Мар 2014 01:48:14
>>63692950
ну я тебя не понимаю. ты ботан совсем? какие-то математтческие троллинги. хуйня это блядь. в школе математики до пизды и здесь еще?! Охуел

Срд 05 Мар 2014 01:48:52
>>63692962
>>63692962
сосем лалка, я с ноутбука горячего как твой пукан шпилю, а ноуту уже лет 5 отроду, весь раздроченй и то дотку тянет

Срд 05 Мар 2014 01:48:55
>>63692989
Уважаемый сэр, вы, видимо, в значительной степени оторваны от мира. Заверяю вас, что дети в возрасте подобном не столь хороши, как вы желаете их видеть.

Срд 05 Мар 2014 01:49:15
>>63692989
спасибо
>>63693010
привет, бротиш

Срд 05 Мар 2014 01:49:40
>>63693083
QED.
> Умри в муках.

Срд 05 Мар 2014 01:50:10
>>63693115
ну и че. рак тупой.

Срд 05 Мар 2014 01:50:38
>>63692989
обоссы себе ебло пидор гнойный, иди творог еби альтфак хуевв
МАТЬ ТВОЮ ЕБАЛ

Срд 05 Мар 2014 01:51:18
>>63693163
что? я конечно понимаю что ты самый умный дохуя но говори по-человечески.

Срд 05 Мар 2014 01:52:14
>>63693115
ты хуйло невидел как я на пудже в соло отжигаю лалка тупая

Срд 05 Мар 2014 01:52:22
>>63693251
Я не собираюсь изменять свой стиль речи для унтерменшей вроде тебя. Тем более, я уже сказал всё, что хотел.

Срд 05 Мар 2014 01:52:38
>>63693212
Очень толсто. Экран треснул от жира.

Срд 05 Мар 2014 01:53:11
>>63693311
пошел нахуй пидор

Срд 05 Мар 2014 01:53:45
>>63693355
Нет, ты. Соси хуй.

Срд 05 Мар 2014 01:53:49
>>63693299
ура, в моем треде 100 сбщ

Срд 05 Мар 2014 01:53:50
>>63688308
Телефончик-адресок дай, няшка.

Срд 05 Мар 2014 01:54:54
>>63693387
vk /cnn_rea

живу в СПб

Срд 05 Мар 2014 01:54:56
>>63693382
говно тебя кто так разгаваривать учил а?

Срд 05 Мар 2014 01:55:26
Ссу всяким олдфагам в ротешник.
11 лет и с 9 на бордах-кун.

Срд 05 Мар 2014 01:55:36
>>63693435
какой район?

Срд 05 Мар 2014 01:55:52
>>63693311
говнюк ты. ходишь тут и срешь.

Срд 05 Мар 2014 01:55:53
>>63693436
Мамка твоя учила, пока я к ней в спальню ходил.

Срд 05 Мар 2014 01:56:21
>>63693469
уебывай

Срд 05 Мар 2014 01:56:44
Раз уж такой тредхоть и раковый, воспользуюсь случаем.
Ищу тянку моего возраста (12-13 лет) для долгих и серьезных отношений, кидайте мыло.

Срд 05 Мар 2014 01:56:53
>>63693480
Приморский

Срд 05 Мар 2014 01:56:55
>>63693490
Нет, ты. Говнотреды должны быть засыпаны сажей FTGJ.

Срд 05 Мар 2014 01:56:57
Все-еще кукарекаете?

Срд 05 Мар 2014 01:57:32
Пиздец дауны

Срд 05 Мар 2014 01:57:48
>>63693528
Давай, мне 12 лет, ищу горячего анонимуса.
semensosnitsky@yandex.ru

Срд 05 Мар 2014 01:58:29
>>63693528
тут нету таких , а жаль. у нас в классе 6 все девчонки сидят в ВК и инстаграме. пиздец

Срд 05 Мар 2014 01:58:57
>>63693491
у меня для тебя плохие новости, моя мамка членодевка

Срд 05 Мар 2014 01:59:30
>>63693539
говнолюди вроде тебя посасывают влажные хуи.)

Срд 05 Мар 2014 01:59:36
>>63693627
Скинь их страницу, попробую познакомиться.

Срд 05 Мар 2014 01:59:55
>>63693642
Ну так я её в пукан ебал, всё нормально. А отец у тебя, кстати, не шлюха?

Срд 05 Мар 2014 02:00:43
>>63693679
Раздался голос со стороны параши.

Срд 05 Мар 2014 02:00:50
>>63693701
Нет, отец спидозный пидор, сходи проверься.

Срд 05 Мар 2014 02:00:56
Посоны не вырастайте, это ловушка.
мимо 29лвл


Срд 05 Мар 2014 02:01:22
>>63693701
тебе бы провериться не мешало, ато мало ли хуек к 13 годам отвалится, что с женой потом делать будешь

Срд 05 Мар 2014 02:02:30
>>63693757
Зачем мне жена, у меня мамка твоя есть.

Срд 05 Мар 2014 02:02:50
>>63693741
Хуй саси, старикан))о/

Срд 05 Мар 2014 02:02:59
>>63693741
этот пидор прав, детям платят больше

Срд 05 Мар 2014 02:04:17
>>63693843
А мне сколько заплатишь?
мимо-19лвл-ребенок

Срд 05 Мар 2014 02:04:41
16 лвл репортин ин.

Срд 05 Мар 2014 02:05:03
>>63693757
мамке уже 35 и долго она не протянет, я ей мышьяк в спиды подкладываю чтоб комуналкой поскорей завладеть

Срд 05 Мар 2014 02:05:17
Мать опа ебал.

Срд 05 Мар 2014 02:06:07
>>63693932
Лошара ахаха)))
Надо было отсгсать у нее и ввзвать тесака.

Срд 05 Мар 2014 02:06:22
>>63693946
А я помогал.

Срд 05 Мар 2014 02:06:30
>>63693684
нахуй тебе? http://вк /id184190000 вот например

Срд 05 Мар 2014 02:07:04
>>63694001
Хуй ему держал?

Срд 05 Мар 2014 02:07:46
>>63693988
ты глупый? мне 21 год, какой нахуй тесак?

Срд 05 Мар 2014 02:07:51
>>63693946
пидр хуй соси =D

Срд 05 Мар 2014 02:08:09
>>63694041
Нет, дырки свободные в мамке занимал.

Срд 05 Мар 2014 02:08:39
>>63694007
У меня одиночество, хиккуж уже 4 года, выхожу только в универ и до магазина.

Срд 05 Мар 2014 02:10:10
>>63694125
и ты думаешь, что с тобой будет говорить девочка 12 лет, которая даже списать не дает, не то что в попу

Срд 05 Мар 2014 02:10:51
Я хочу ебаться, я школьник.
Латвия, Рига. Пишите ответы <3

Срд 05 Мар 2014 02:12:13
>>63694233
пошли вконташу ,
/cnn_rea

Срд 05 Мар 2014 02:12:13
>>63694190
Будет, толькомты фейк дал. Не бывает у девочек подписок на порнопаблики и овер3к пиздолисов.

Срд 05 Мар 2014 02:13:07
>>63694300
ну ладненько.

Срд 05 Мар 2014 02:14:00
тредик не тони

Срд 05 Мар 2014 02:14:19
>>63694374
Я тебе отписал ж.

Срд 05 Мар 2014 02:14:24
Произво?дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци?рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Содержание

1 История
2 Определение
2.1 Определение производной функции через предел
2.2 Общепринятые обозначения производной функции в точке
3 Дифференцируемость
4 Замечания
5 Геометрический и физический смысл производной
5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой
5.2 Скорость изменения функции
6 Производные высших порядков
7 Способы записи производных
8 Примеры
9 Правила дифференцирования
10 Таблица производных некоторых функций
11 Производная вектор-функции по параметру
12 См. также
13 Примечания
14 Литература
15 Ссылки

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]
Определение

Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции называется такое число ~A, что функцию в окрестности U(x_0) можно представить в виде

f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)

если ~A существует.
Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции f в точке x_0 называется предел, если он существует,

f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

Общепринятые обозначения производной функции y=f(x) в точке x_0

f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
Дифференцируемость
Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная ~f'(x_0) функции f в точке x_0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x_0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

f \in \mathcal{D}(x_0)\Leftrightarrow\exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty).

Для дифференцируемой в x_0 функции f в окрестности U(x_0) справедливо представление

~f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) при x \to x_0.

Замечания

Назовём \Delta x = x - x_0 приращением аргумента функции, а \Delta y = f(x) - f(x_0) или \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) приращением значения функции в точке x_0. Тогда

f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Пусть функция f\colon(a,b) \to \R имеет конечную производную в каждой точке x_0 \in (a,b). Тогда определена произво?дная фу?нкция

f'\colon(a,b) \to \R.

Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры?вно дифференци?руемой и пишут: f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).


Срд 05 Мар 2014 02:15:03
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
Тангенс угла наклона касательной прямой
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние ?x = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла ? наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Основная статья: Касательная прямая

Если функция f\colon U(x_0) \to \R имеет конечную производную в точке x_0, то в окрестности U(x_0) её можно приблизить линейной функцией

f_l(x) \equiv f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Функция f_l называется касательной к f в точке x_0. Число ~f'(x_0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Скорость изменения функции

Пусть s=s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t_0)=s'(t_0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t_0. Вторая производная a(t_0) = s''(t_0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t_0.

Вообще производная функции y=f(x) в точке x_0 выражает скорость изменения функции в точке x_0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y=f(x).
Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).

Если функция f дифференцируема в x_0, то производная первого порядка определяется соотношением

f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).

Пусть теперь производная n-го порядка f^{(n)} определена в некоторой окрестности точки x_0 и дифференцируема. Тогда

f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).

Если функция ~u = f(x, y, z) имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от ~x, y, z, может иметь в некоторой точке ~(x_0,y_0,z_0) частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции ~u = f(x, y, z) эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

~u''_{x^2} = f''_{x^2}(x_0, y_0, z_0) или ~\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x^2}
~u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0) или ~\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x \partial y}

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

~u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Лагранжа f^{(n)}(x_0), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x_0),
f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x_0),
f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x_0),
f^{(4)}(x_0) = f^{IV}(x_0), и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

\frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0)

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

\dot{x}(t_0) — производная первого порядка x по t при t=t_0, или \ddot{f}(x_0) — вторая производная f по x в точке x_0 и т. д.

Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

\mathrm{D}^n\!f(x_0), или иногда \partial^n\!f(x_0).

В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение f_x, f_{xx}; для значения производной в точке — f_x\vert_{x=x_0}. Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

f^{(n)}(x_0)= \frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0) = \overset {\overbrace{\cdot\cdot ... \cdot}^{n\ \mathrm {PA}3}}f(x_0) = \mathrm{D}^n\!f(x_0) = f{\underbrace{_{xx \ldots x}}_{n\ \mathrm{PA}3}}\vert_{x=x_0}.

Срд 05 Мар 2014 02:15:48
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694427

Пусть f(x) = x^2. Тогда

f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.

Пусть f(x) = |x|. Тогда если x_0 \neq 0, то

f '(x_0) = \sgn x_0,

где \sgn обозначает функцию знака.А если x_0 = 0, то f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, а следовательно f'(x_0) не существует.
Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

C'=0
x'=1
\left(f+g\right)'=f '+g'[2]
\left(fg\right)'=f'g+fg'[3]
\left(Cf\right)'=Cf'
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2} …(g ? 0)
\left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2} (g ? 0)
Если функция задана параметрически:

\left\{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right., то y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=y'_t\cdot t'_x=\frac{y'_t}{x'_t}
Основная статья: Дифференцирование сложной функции

\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x
Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

(f g)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}}, где C_n^k — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале (a,b), то она непрерывна на интервале (a,b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y(x)=|x| на [-1,1]);
если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f'(x)=0 (это так называемая лемма Ферма);
производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
(f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x)f'(x)} {f(x)}\right ) (\forall x \in D_f: f(x)>0)

Доказательство [показать]
Таблица производных некоторых функций
Основная статья: Таблица производных
Функция ~f(x) Производная ~f'(x) Примечание
~x^\alpha ~\alpha \cdot x^{\alpha-1}
Доказательство [показать]
~a^x ~a^x\cdot\ln {a}
Доказательство [показать]
~\log_a {x} ~\frac{1}{x\cdot \ln {a}}
~\sin x ~\cos x
~\cos x ~-\sin x
~ \mathrm{tg}\ x ~\frac{1}{\cos^2{x}}
~ \mathrm{ctg}\ x ~-\frac{1}{\sin^2{x}}
~\arcsin{x} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
~\arccos{x} -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
~ \mathrm{arctg}\ x ~\frac{1}{1+x^2}
~ \mathrm{arcctg}\ x ~-\frac{1}{1+x^2}
~ \mathrm{sh}\ x ~ \mathrm{ch}\ x
~ \mathrm{ch}\ x ~ \mathrm{sh}\ x
~ \mathrm{th}\ x ~\frac{1}{\mathrm{ch}^2\ x}
~ \mathrm{cth}\ x ~-\frac{1}{\mathrm{sh}^2\ x}
Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции \mathbf{r}(t) по параметру:

\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}.

Если производная в точке ~t существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут x'(t),\ y'(t),\ z'(t).

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt} — производная суммы есть сумма производных.
\frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} — здесь ~f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt} — дифференцирование скалярного произведения.
\frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t) \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right] — дифференцирование векторного произведения.
\frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right) — дифференцирование смешанного произведения.

Срд 05 Мар 2014 02:16:21
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694461
Интегра?л Ри?мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Содержание

1 Неформальное геометрическое описание
2 Определения
2.1 Через интегральные суммы
2.2 Через суммы Дарбу
3 Свойства
4 Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана
5 История
6 См. также
7 Литература
8 Ссылки

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
Определения
Через интегральные суммы

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n. Длина наибольшего из отрезков \delta R = \max (\Delta x_i ) называется шагом разбиения, где \Delta x_i = x_i - x_{i - 1} — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]. Интегральной суммой называется выражение \sigma _x = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }.

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора \xi _i \in [x_{i-1}, x_i], то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], то есть \int\limits_a^b f(x)\,dx = \lim \limits_{\delta R \to 0} \sigma _x .

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
Через суммы Дарбу
Основная статья: Критерий Дарбу
Свойства

Невырожденность: \int\limits_{a}^{b} 1\,dx = b-a.
Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл на отрезке [a,b] также неотрицателен.
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и \alpha, \beta \in\R, то функция \alpha f + \beta g тоже интегрируема, и \int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx.
Непрерывность: Если интегрируемые функции f_i равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и \lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx. (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть a<b<c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом \int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx.
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a). (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt + C, где C — произвольная константа.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана

Для того, чтобы функция f(x) была интегрируемой в сегменте [a, b], необходимо и достаточно, чтобы сумма \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta_{i} стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения d.

Здесь \omega_{i} — колебание функции f(x) в сегменте \Delta_{i}=[x_{i-1}, x_{i}],

колебание \omega функции f на множестве E — разность \sup_{E} f(x) - \inf_{E} f(x),
диаметр разбиения d = \sup_{i}(x_{i} - x_{i-1})[1].


Срд 05 Мар 2014 02:16:52
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694484
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Содержание

1 Несобственные интегралы I рода
1.1 Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
1.2 Примеры
2 Несобственные интегралы II рода
2.1 Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
2.2 Пример
3 Отдельный случай
4 Критерий Коши
5 Абсолютная сходимость
6 Условная сходимость
7 См. также
8 Список используемой литературы

Несобственные интегралы I рода

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от [a,+\infty ) и \forall A>a\Rightarrow \exists \int \limits _{{a}}^{{A}}f(x)dx. Тогда:

Если \exists \lim _{{A\to +\infty }}\int \limits _{{a}}^{{A}}f(x)dx=I\in {\mathbb {R}}, то используется обозначение I=\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx называется сходящимся.
Если не существует конечного \lim _{{A\to +\infty }}\int \limits _{{a}}^{{A}}f(x)dx (\pm \infty или \nexists ), то интеграл \int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx называется расходящимся к ''\infty '',\ ''\pm \infty '', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от (-\infty ,b] и \forall B<b\Rightarrow \exists \int \limits _{{B}}^{{b}}f(x)dx. Тогда:

Если \exists \lim _{{B\to -\infty }}\int \limits _{{B}}^{{b}}f(x)dx=I\in {\mathbb {R}}, то используется обозначение I=\int \limits _{{-\infty }}^{{b}}f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int \limits _{{-\infty }}^{{b}}f(x)dx называется сходящимся.
Если не существует конечного \lim _{{B\to -\infty }}\int \limits _{{B}}^{{b}}f(x)dx (\pm \infty или \nexists ), то интеграл \int \limits _{{-\infty }}^{{b}}f(x)dx называется расходящимся к ''\infty '',\ ''\pm \infty '', или просто расходящимся.

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}f(x)dx=\int \limits _{{-\infty }}^{{c}}f(x)dx+\int \limits _{{c}}^{{+\infty }}f(x)dx, где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Примеры

\int \limits _{{-\infty }}^{{-1}}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{{a\to -\infty }}\int \limits _{{a}}^{{-1}}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{{a\to -\infty }}{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{a}^{{-1}}=1-\lim _{{a\to -\infty }}{\frac {1}{a}}=1-0=1
Несобственные интегралы II рода

Пусть f(x) определена на (a,b], терпит бесконечный разрыв в точке x=a и \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{{a+\delta }}^{{b}}f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta ). Тогда:

Если \exists \lim _{{\delta \to 0+0}}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in {\mathbb {R}}, то используется обозначение I=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
Если \lim _{{\delta \to 0+0}}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty или \nexists ), то обозначение сохраняется, а {\mathcal {I}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx называется расходящимся к ''\infty '',\ ''\pm \infty '', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на [a,b) , терпит бесконечный разрыв при x=b и \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{{a}}^{{b-\delta }}f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta ). Тогда:

Если \exists \lim _{{\delta \to 0+0}}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in {\mathbb {R}}, то используется обозначение I=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
Если \lim _{{\delta \to 0+0}}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty или \nexists ), то обозначение сохраняется, а {\mathcal {I}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx называется расходящимся к ''\infty '',\ ''\pm \infty '', или просто расходящимся.

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx=\int \limits _{{a}}^{{c}}f(x)dx+\int \limits _{{c}}^{{b}}f(x)dx
Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
Пример

\int \limits _{{0}}^{{1}}{dx \over x}=\lim _{{\delta \to 0+0}}{\Bigl .}\ln |x|{\Bigr |}_{{0+\delta }}^{1}=0-\lim _{{\delta \to 0+0}}\ln \delta =+\infty
Отдельный случай

Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}.

Тогда можно найти несобственный интеграл \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}f(x)dx=\int \limits _{{-\infty }}^{{x_{1}}}f(x)dx+\sum _{{j=1}}^{{k-1}}{\int \limits _{{x_{j}}}^{{x_{{j+1}}}}f(x)dx}+\int \limits _{{x_{k}}}^{{+\infty }}f(x)dx
Критерий Коши

1. Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty ) и \forall A>a\Rightarrow \exists \int \limits _{{a}}^{{A}}f(x)dx={\mathcal {I}}.

Тогда {\mathcal {I}}=\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\int \limits _{{A_{1}}}^{{A_{2}}}f(x)dx\right|<\varepsilon

2. Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{{a+\delta }}^{{b}}f(x)dx={\mathcal {I}}.

Тогда {\mathcal {I}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left|\int \limits _{{a+\delta _{1}}}^{{a+\delta _{2}}}f(x)dx\right|<\varepsilon

Абсолютная сходимость

Интеграл \int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx\ \ \left(\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx\right) называется абсолютно сходящимся, если \int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx\ \ \left(\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx\right)сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Условная сходимость

Интеграл \int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx\ \ называется условно сходящимся, если \int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx\ \ сходится, а \int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx\ \ расходится.

Срд 05 Мар 2014 02:17:30
пидарас весь тред засрал говном.

Срд 05 Мар 2014 02:17:34
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства {{\mathbb{R}}^{3}}, но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Содержание

1 Определения
2 Криволинейный интеграл первого рода
2.1 Свойства
2.2 Вычисление
3 Криволинейный интеграл второго рода
3.1 Свойства
3.2 Вычисление
4 Взаимосвязь криволинейных интегралов
5 Механические приложения
6 См. также

Определения

Пусть l — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

l:\left\{ \begin{align} & x=x\left( t \right) \\ & y=y\left( t \right) \\ & z=z\left( t \right) \\ \end{align}\right.~~~~~, t\in\left[a,b\right] — (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть \theta =\left\{ {{t}_{k}} \right\}_{k=0}^{n} — разбиение отрезка параметризации \left[ a,b \right], причем a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n-1}}<{{t}_{n}}=b.

Зададим разбиение кривой M=\left\{ {{M}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{M}_{k}}=\left( x\left( {{t}_{k}} \right),y\left( {{t}_{k}} \right),z\left( {{t}_{k}} \right) \right)\in l.

За \ {{l}_{k}} обозначим часть кривой от точки \ {{M}_{k-1}} до точки \ {{M}_{k}}, k=\overline{1,n}.

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации \theta : \Delta \theta =\underset{k=\overline{1,n}}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{t}_{k}}-{{t}_{k-1}} \right\}.

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации l: \xi =\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[ {{t}_{k-1}},{{t}_{k}} \right].

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой N=\left\{ {{N}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{N}_{k}}=\left( x\left( {{\xi }_{k}} \right),y\left( {{\xi }_{k}} \right),z\left( {{\xi }_{k}} \right) \right)\in {{l}_{k}}.

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой l: f\left( x,y,z \right), P\left( x,y,z \right), Q\left( x,y,z \right), R\left( x,y,z \right).

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

\sigma \left( f,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{N}_{k}} \right)\left| {{l}_{k}} \right|}.

Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

{{\sigma }_{1}}\left( P,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{P\left( {{N}_{k}} \right)\left( x\left( {{t}_{k}} \right)-x\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)},
{{\sigma }_{2}}\left( Q,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Q\left( {{N}_{k}} \right)\left( y\left( {{t}_{k}} \right)-y\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)},
{{\sigma }_{3}}\left( R,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{R\left( {{N}_{k}} \right)\left( z\left( {{t}_{k}} \right)-z\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}.

Если \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,M,N \right)=I, то говорят, что функция f интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой l, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции f по кривой l и обозначают \int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=I. Здесь \ dl — дифференциал кривой.

Если \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{1}} \left( P,M,N \right)={{I}_{1}}, \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{2}} \left( Q,M,N \right)={{I}_{2}}, \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{3}} \left( R,M,N \right)={{I}_{3}}, то говорят, что функции P, Q и R интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой l, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций P, Q и R по кривой l и обозначают

\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}={{I}_{1}}
\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}={{I}_{2}}
\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{3}}

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций P, Q и R также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции \vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\} и обозначают:

\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx+Q\left( x,y,z \right)dy+R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}=\tilde{I}.

Если кривая l замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка \int{{}} принято писать \oint{{}}.

Срд 05 Мар 2014 02:18:20
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
Криволинейный интеграл первого рода
Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле
Свойства

Линейность:

~\int\limits_l(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int\limits_l fdl + \beta\int\limits_l gdl

Аддитивность: если l_1\cap l_2 в одной точке, то

\int\limits_{l_1\cup l_2}fdl = \int\limits_{l_1}fdl + \int\limits_{l_2}fdl

Монотонность: если f \le g на l, то

\int\limits_l fdl \le \int\limits_l gdl

Теорема о среднем для непрерывной вдоль l функции f:

\exists \xi \in l:\int\limits_{l}{f}dl=f\left( \xi \right)\left| l \right|

Очевидно, что: \int\limits_{l}{d}l=\left| l \right|.

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: \int\limits_{AB}{f}dl=\int\limits_{BA}{f}dl.

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
Вычисление

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f\left( x,y,z \right) определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}}}dt}.

Здесь точкой обозначена производная по t: \dot{x}={x}'\left( t \right).
Криволинейный интеграл второго рода
Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле
Свойства

1. Линейность:

\int\limits_{AB}(\alpha f+\beta g)dx = \alpha\int\limits_{AB}fdx + \beta\int\limits_{AB}gdx

2. Аддитивность:

\int\limits_{AB}fdx + \int\limits_{BC}fdx = \int\limits_{ABC}fdx

3. \int\limits_{BA}f(x,y,z)dx = -\int\limits_{AB}f(x,y,z)dx

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.
Вычисление

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f\left( x,y,z \right) определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt},
\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){y}'\left( t \right)dt},
\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){z}'\left( t \right)dt}.

Если обозначить за {\vec{\tau }} единичный вектор касательной к кривой l, то нетрудно показать, что

{x}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl
{y}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl
{z}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), \vec{\tau }\left( x,y,z \right)=\left\{ \cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right) \right\} — единичный вектор, касательный к кривой l. Пусть также координаты вектор-функции \vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\} определены и интегрируемы вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

\int\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int\limits_{l}{\left( \vec{a},\vec{\tau } \right)dl}
\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl
\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl
\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl


Механические приложения

Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы \mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y,z)) вычисляется по формуле

A = \int\limits_{l} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна ?(x, y, z), выражается интегралом

m = \int\limits_{l} \mu(x, y, z) \, ds

Координаты (xc, yc, zc) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью ?(x, y, z) находятся по формулам:

x_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} x\mu(x, y, z) \, ds,

y_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} y\mu(x, y, z) \, ds,

z_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} z\mu(x, y, z) \, ds,

где m — масса кривой l

Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

I_x = \int\limits_{l} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds,

I_y = \int\limits_{l} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds,

I_z = \int\limits_{l} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z) \, ds

Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

\mathbf{F} = \gamma m_0 \int\limits_{l} \frac{\mu(x, y, z)}{r^3} \, ds,

где ?(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точки с координатами (x0, y0, z0); ? — постоянная тяготения,

\mathbf{r} = (x - x_0)\mathbf{i} + (y - y_0)\mathbf{j} + (z - z_0)\mathbf{k}, \quad \boldsymbol{r} = \left| \mathbf{r} \right|

Срд 05 Мар 2014 02:18:51
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694583
Ко?мпле?ксные[1] чи?сла (устар. мнимые числа[2]) — числа вида x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица; то есть i^2=-1. Множество всех комплексных чисел обычно обозначается \mathbb{C} от лат. complex — тесно связанный.

Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число[3]. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики.

Содержание

1 Определения
1.1 Стандартная модель
1.2 Матричная модель
2 Действия над комплексными числами
3 Геометрическая модель
4 Связанные определения
4.1 Модуль и аргумент
4.2 Сопряжённые числа
5 Представление комплексных чисел
5.1 Алгебраическая форма
5.2 Тригонометрическая форма
5.3 Показательная форма
6 Свойства
6.1 Основная теорема алгебры
6.2 Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
7 История
8 Вариации и обобщения
9 Функции комплексного переменного
10 См. также
11 Примечания
12 Литература
13 Ссылки

Определения
Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y); запись x+iy следует понимать как удобный способ записи пары (x, y).

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

(x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');
(x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида (x,\;0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой 0=(0,\;0), единица — 1=(1,\;0), а мнимая единица — i=(0,\;1). На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен (-1,\;0), то есть -1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.
Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

\begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix}

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},

мнимой единице —

\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.


Замечания

Определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x^2=-1 — ошибочно, так как число (-i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение \sqrt{-1}, ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как арифметический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Во избежание ошибок, выражение с корнями отрицательных величин в настоящее время принято записывать как 5+i\sqrt{3}, а не 5+\sqrt{-3}, несмотря на то, что вплоть до конца XIX века второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9}= 3.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

\left(i\sqrt{3}\right) \cdot \left(i\sqrt{3}\right) = \left(i \cdot \sqrt{3}\right)^2 = i^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = -3.

Действия над комплексными числами

Сравнение

a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

Вычитание

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

Умножение

(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.

Деление

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.

В частности,

\frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i.


Срд 05 Мар 2014 02:19:25
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694609
Геометрическая модель
Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу ~z=x+iy сопоставим точку плоскости с координатами \{x,y\} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.
Связанные определения
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть ~z=x+iy — комплексное число, где ~x и ~y — вещественные числа. Числа x = \Re(z) или \operatorname{Re} ~z и y = \Im(z) или \operatorname{Im} ~z называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.

Если x=0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.
Если y=0, то z является действительным (вещественным) числом.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением |z| = \sqrt{x^2+y^2}. Часто обозначается буквами ~r или ~\rho. Если z является вещественным числом, то |z| совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} имеют место следующие свойства модуля. :

1) | z | \geqslant 0 \,, причём | z | = 0 \, тогда и только тогда, когда z = 0 \,;
2) | z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \, (неравенство треугольника);
3) | z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,;
4) | z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,.

Из третьего свойства следует |a\cdot z| = |a|\cdot |z|, где a\in \mathbb{R}. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем \mathbb{R}.

5) Для пары комплексных чисел z_1 и z_2 модуль их разности |z_1-z_2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол \varphi (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается ~\operatorname{Arg} (z).

Из этого определения следует, что \operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x} ; \cos \varphi = \frac {x} {|z|}; \sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~.
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2 k \pi, где k — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение \varphi, что -\pi<\varphi\leqslant\pi. Часто главное значение обозначается ~\operatorname{arg} (z)[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: ~\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg}(z).

Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z=x+iy, то число \bar z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (часто обозначается также z^*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

\bar{\bar{z}} = z (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:

z\cdot \bar z=|z|^2.
z + \bar z=2Re(z).

Другие соотношения:

\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2.
\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2.

Произведение комплексно-сопряженных чисел важно в квантовой механике, не имеющая физического смысла комплексная волновая функция, исчерпывающе описывающую систему микрочастиц, будучи умноженная на своё комплексное сопряжение даёт имеющую физический смысл плотность вероятности нахождения частицы в рассматриваемой точке.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Обобщение: \overline{p(z)}=p(\bar z), где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

|\bar{z}|=|z|
\mathrm{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.

Алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами всегда имеет либо только действительные корни, если он ещё или только имеет комплексные корни, то комплексные корни всегда попарно комплексно сопряжены.

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2.

Срд 05 Мар 2014 02:19:56
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
Представление комплексных чисел
Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x+iy, где x и y\in\R, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i^2=-1):

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);
(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).

Тригонометрическая форма

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент \varphi (x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).

Показательная форма

Применяя формулу Эйлера к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

z=re^{i\varphi},

где e^{i\varphi} — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

\cos\varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};\quad\sin\varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}.

Свойства
Основная теорема алгебры
Основная статья: Основная теорема алгебры

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.
Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
Основная статья: Формула Муавра
Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),

где r — модуль, а \varphi — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k))]^{1/n}=

=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),
n>1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1.

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в начале координат (см. рисунок).
История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении дают 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение для одного из слагаемых, и нашёл его корни: 5+\sqrt{-15} и 5-\sqrt{-15}. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны» и «Арифметические соображения становятся все более неуловимыми, достигая предела столь же утонченного, сколь и бесполезного»[3]. Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые описал Бомбелли (1572). Он же впервые описал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, однако всё равно считал их бесполезной и хитроумной «выдумкой»[3].

Выражения, представимые в виде a+b\sqrt{-1}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность[3], и для многих других крупных ученых XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными, так же как сомнительными в то время считали и иррациональные числа, и даже отрицательные величины. Лейбниц, например, писал[когда?]: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на это, математики смело применяли формальные методы алгебры вещественных величин и к комплексным, получали корректные вещественные результаты даже из промежуточных комплексных, и это не могло не начать внушать доверие.[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius — мнимый. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. [источник не указан 330 дней]

Существенно ранее, в 1685 году в работе «Алгебра» Валлис (Англия) показал, что комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами можно представить геометрически, точками на плоскости. Но это прошло незамеченным.[3] Следующий раз геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось в работе Весселя (1799). Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл[когда?] Коши. Таким образом было обнаружено, что комплексные числа пригодны и для выполнения чисто алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов на плоскости, что сильно изменило векторную алгебру.

В развитие этого подхода начались поиски способа аналогично представить и вектора в трёхмерном пространстве. В результате пятнадцатилетних поисков[3], в 1843 году Гамильтон предложил обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными; также ему пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

Позднее, в 1919 году, стало понятно, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, так же известной как Процедура Кэли — Диксона[5]. Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «Числа Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры названы Седенионы. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Срд 05 Мар 2014 02:20:30
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
Кватернио?ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются {\mathbb H}.

Предложены Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.[1]

Содержание

1 Определения
1.1 Стандартное
1.2 Как вектор и скаляр
1.3 Через комплексные числа
1.4 Через матричные представления
1.4.1 Вещественными матрицами
1.4.2 Комплексными матрицами
2 Связанные объекты и операции
2.1 Сопряжение
2.2 Модуль
2.3 Обращение умножения (деление)
3 Алгебраические свойства
4 Кватернионы и повороты пространства
5 «Целые» кватернионы
5.1 Целые единичные кватернионы
5.2 Разложение на простые сомножители
6 Функции кватернионного переменного
6.1 Вспомогательные функции
6.2 Элементарные функции
6.3 Регулярные функции
6.4 Производная Гато
7 Виды умножений
7.1 Умножение Грассмана
7.2 Евклидово умножение
7.3 Скалярное произведение
7.4 Внешнее произведение
7.5 Векторное произведение
8 Из истории
9 Новые результаты и направления исследований
9.1 Кватернионы и метрика Минковского
10 См. также
11 Примечания
12 Литература

Определения
Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму \,a+bi+cj+dk, где \,a,b,c,d — вещественные числа, а \,i,j,k — мнимые единицы со следующим свойством: i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1. Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов — \,1,i,j,k — выглядит так:

{\begin{matrix}&\times &{\mathbf 1}&{\mathbf {i}}&{\mathbf {j}}&{\mathbf {k}}\\&{\mathbf 1}&\,1&\,i&\,j&\,k\\&{\mathbf {i}}&\,i&\,-1&\,k&\,-j\\&{\mathbf {j}}&\,j&\,-k&\,-1&\,i\\&{\mathbf {k}}&\,k&\,j&\,-i&\,-1\\\end{matrix}}

Например, \,ij=k, a \,ji=-k.
Как вектор и скаляр

Кватернион представляет собой пару \left(a,{\vec {u}}\right), где {\vec {u}} — вектор трёхмерного пространства, а a\, — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)

Произведение определяется следующим образом:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)

где \cdot обозначает скалярное произведение, а \times — векторное произведение.

В частности,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\right)=\left(0,a{\vec {v}}\right)
\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right)\,
\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)

Заметим, что:

Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Через комплексные числа
Основная статья: Процедура Кэли — Диксона

Произвольный кватернион \ q=a+bi+cj+dk можно представить как пару комплексных чисел в виде

\ q=(a+bi)+(c+di)j

или эквивалентно

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

где \ z_{1},z_{2} — комплексные числа, поскольку \ i^{2}=-1 выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а k=ij.
Через матричные представления
Вещественными матрицами

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

При такой записи:

сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

{\bar q}\mapsto Q^{T};

четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

\left|q\right|^{4}=\det Q.

Комплексными матрицами

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta }&{\bar \alpha }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

здесь {\bar \alpha } и {\bar \beta } обозначают комплексно-сопряжённые числа к \,\alpha и \,\beta .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

комплексному числу соответствует диагональная матрица;
сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

{\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T};

квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

\left|q\right|^{2}=\det Q.


Срд 05 Мар 2014 02:20:54

Срд 05 Мар 2014 02:22:00
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694698
А мне норм.

Связанные объекты и операции

Для кватерниона

\,q=a+bi+cj+dk

кватернион \,a называется скалярной частью \,q, а кватернион \,u=bi+cj+dk — векторной частью. Если \,u=0, то кватернион называется чисто скалярным, а при \,a=0 — чисто векторным.
Сопряжение

Для кватерниона \,q. сопряжённым называется:

{\bar q}=a-bi-cj-dk

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

\overline {pq}={\bar q}{\bar p}

Для кватернионов справедливо равенство

\overline {p}=-{\frac 12}(p+ipi+jpj+kpk)

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

называется модулем \,q. Если \,\left|q\right|=1, то \,q называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: \left\|z\right\|=\left|z\right|.

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное \mathbb{R} ^{4} с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что \left|p\cdot q\right|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|, иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.
Обращение умножения (деление)

Кватернион, обратный по умножению к q, вычисляется так: q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}.
Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще {\mathbb R}, {\mathbb C}, {\mathbb H} являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел[2].

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение q^{2}+1=0 имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.
Кватернионы и повороты пространства
Основная статья: Кватернионы и вращение пространства
Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над \scriptstyle {\mathbb R}, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно \,0 может быть записан в виде q\mapsto \xi q\zeta , где \,\xi и \,\zeta — пара единичных кватернионов, при этом пара \,\left(\xi ,\zeta \right) определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — \,\left(\xi ,\zeta \right) и \,\left(-\xi ,-\zeta \right). Из этого следует, что группа Ли {\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right) поворотов \mathbb{R} ^{4} есть факторгруппа S^{3}\times S^{3}/\mathbb{Z } _{2}, где \,S^{3} обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно \,0 может быть записан в виде u\mapsto \xi u{\bar \xi }, где \,\xi — некоторый единичный кватернион. Соответственно, {\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z } _{2}, в частности, {\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right) диффеоморфно \mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}.
«Целые» кватернионы

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: \left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}.

Целыми по Гурвицу (также engl) принято называть кватернионы a+bi+cj+dk такие, что все 2a,2b,2c,2d — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

чётным
нечётным
простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме 1, нацело (иными словами, \gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2).
Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k,
{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}.

Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра (не путать с трёхмерным многогранником-кубооктаэдром).
Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[3] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона N(q) в произведение простых целых положительных чисел N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n} существует разложение кватерниона q в произведение простых кватернионов q=q_{1}q_{2}...q_{n} такое, что N(q_{i})=p_{i}. Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right),

где \epsilon _{1}, \epsilon _{2}, \epsilon _{3}, … \epsilon _{{n-1}} — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i) имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2

60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2

Общее число разложений такого кватерниона равно 24^{3}\cdot 12=165888

Срд 05 Мар 2014 02:22:32
УРОК МАТЕМАТИКИ ИТТ
>>63694748
Функции кватернионного переменного
Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

\operatorname {sgn}\,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона q в виде

q=a+\left|{\mathbf {u}}\right|{\mathrm {i}}=\left|q\right|{\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}\,{\mathrm {arg}}\,q}}

Здесь a — вещественная часть кватерниона, {\mathrm {i}}=\left|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}. При этом {\mathrm {i}}^{2}=-1, поэтому проходящая через q и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид a+b{\mathrm {i}} для фиксированного единичного вектора {\mathrm {i}}. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Элементарные функции

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}} для комплексных чисел, то f(q)=c+d{\mathbf {i}}, где кватернион q рассматривается в «комплексном» представлении q=a+b{\mathbf {i}}.

Степень и логарифм

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat {{\mathbf {u}}}}\right)

\ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat {{\mathbf {u}}}}

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до 2\pi {\hat {{\mathbf {u}}}}.

Тригонометрические функции

\sin q=\sin a\,\operatorname {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\operatorname {sh}\left|{\mathbf {u}}\right|{\hat {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\operatorname {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\operatorname {sh}\left|{\mathbf {u}}\right|{\hat {{\mathbf {u}}}}

\operatorname {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q}}

Регулярные функции
Основная статья: Кватернионный анализ

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию f как имеющую предел

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\to 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки q вид

f=a+qb

где a,b — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

{\frac {\partial }{\partial {\bar q}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}
{\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

и рассмотрении таких кватернионных функций f, для которых[4]

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q}}}=0

что полностью аналогично использованию операторов {\frac {\partial }{\partial {\bar z}}} и {\frac {\partial }{\partial z}} в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[5].
Производная Гато
Основная статья: Кватернионный анализ

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

\partial f(x)(a)=\lim _{{t\to 0}}(t^{{-1}}(f(x+ta)-f(x)))

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде[6]

\partial f(x)(dx)={\frac {{}_{{(s)0}}\partial f(x)}{\partial x}}dx{\frac {{}_{{(s)1}}\partial f(x)}{\partial x}}

Здесь предполагается суммирование по индексу s. Число слагаемых зависит от выбора функции f. Выражения {\frac {{}_{{(s)0}}\partial f(x)}{\partial x}} и {\frac {{}_{{(s)1}}\partial f(x)}{\partial x}} называются компонентами производной.
Виды умножений
Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (pq).
Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: {\bar p}q. Оно также некоммутативно.
Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2}}.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, \left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b.

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}.

Внешнее произведение

\operatorname {Outer}\left(p,q\right)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2}}.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.
Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

p\times q={\frac {pq-qp}{2}}.

Из истории
Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»[7]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.[8]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[9] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).
Новые результаты и направления исследований
Кватернионы и метрика Минковского

Как алгебра над \scriptstyle {\mathbb R}, кватернионы образуют вещественное векторное пространство \scriptstyle {\mathbb H}, снабжённое тензором третьего ранга S типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, S отображает каждую 1-форму t на \scriptstyle {\mathbb H} и пару векторов \left(a,b\right) из \scriptstyle {\mathbb H} в вещественное число S\left(t,a,b\right). Для любой фиксированной 1-формы t S превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на \scriptstyle {\mathbb H}. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на \scriptstyle {\mathbb H}. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы t, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[10]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[11] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[12].

Срд 05 Мар 2014 02:32:06
Математик-кун, а ты не мог бы меня консультировать, в случае чего? А то я съехал, одни шестерки по алгебре. Хотя недавно восемь получил.

Срд 05 Мар 2014 02:34:43
Лол.

Срд 05 Мар 2014 02:38:06
Тред завайпан, расходимся :с

Срд 05 Мар 2014 02:47:06
>>63688308
Пруфы, что тебе 12? Сфотай с супом отсутствие паспорта.

Срд 05 Мар 2014 03:28:37
sage


← К списку тредов