Карта сайта

Это автоматически сохраненная страница от 27.03.2014. Оригинал был здесь: http://2ch.hk/b/res/65127517.html
Сайт a2ch.ru не связан с авторами и содержимым страницы
жалоба / abuse: admin@a2ch.ru

Чтв 27 Мар 2014 16:27:15
Доказать, что из определения предела функции в точке по Гейне - следует определение предела функции в точке по Коши.

Уровень формальности: только формулы логики 1-о порядка. Алфавит - только алфавит математической нотации.



Чтв 27 Мар 2014 16:28:00
Доказал.
Абу

Чтв 27 Мар 2014 16:31:06
Ты нарушил условие.

Чтв 27 Мар 2014 16:37:26
>>65127517
Хули там доказывать-то, определение предела последовательности для последовательности аргументов распиши и все.

Чтв 27 Мар 2014 16:38:47

Чтв 27 Мар 2014 16:40:55
Нафига это нужно?

Чтв 27 Мар 2014 16:41:57
>>65128226
Чтобы иметь моральное право на смертном одре сказать "я знаю только то, что ничего не знаю".

Чтв 27 Мар 2014 16:42:56
>>65128226
Это же пиздец интересно. И элитно.

Чтв 27 Мар 2014 16:45:23
>>65128323
Нифига, матлогика - говно, не считая некоторых результатов теории моделей. В любом случае, переписывать доказательства на язык логики первого порядка - неблагодарное занятие.

Чтв 27 Мар 2014 16:53:20
И вообще, я не уверен, что на языке логики первого порядка получится выбрать последовательность.

Чтв 27 Мар 2014 16:59:36
>>65128771
Вообще, задача не полная. Какой язык у тебя, какая теория?
Я так понимаю, теория множеств, вещественные числа, два метрических пространства, натуральные числа и последовательности?

Чтв 27 Мар 2014 17:13:31
Предположим от противного, что предел функции f в точке x_0 не равен L.
Тогда: ? ? > 0 ? ? ?x 0 < |x-x_0|< ? => |f(x) - L| >= ?
Пусть ?n ?_n = 1/n. Тогда |x_n - x_0|< ?_n.
В силу теоремы о двух милиционерах и свойств модуля lim_{n -> ?}x_n = x_0.
Тогда по Гейне lim_{n -> ?}f(x_n) = L.
Значит: ? ? > 0 ?N > 0 ?n n > N => |f(x_n) - L| < ?

Следовательно:
1) ? ? > 0 ?N > 0 ?n n > N => |f(x_n) - L| < ?
2) ? ? > 0 ? ? ?x 0 < |x-x_0|< ? => |f(x) - L| >= ?

Дальше?

Чтв 27 Мар 2014 17:15:42
>>65129061
Да.

Чтв 27 Мар 2014 17:51:05
1/5

Чтв 27 Мар 2014 18:35:39
>>65129771
Это не логика первого порядка, тут ты говоришь какие-то слова, упоминаешь теоремы... Опять же, ты должен доказать, что существует последовательность x_n, для которых |x_n - x_0|< ?_n и |f(x_n)-L|<\epsilon

Чтв 27 Мар 2014 18:53:17
>>65134076
Черт с ним. Как дальше показать противоречивость 1 и 2?

Чтв 27 Мар 2014 19:18:18
>>65134076
Опять же, ты должен доказать, что существует последовательность x_n, для которых |x_n - x_0|< ?_n и |f(x_n)-L|<\epsilon

1. Не "и" а =>
2. Для каждого ?_n выберем x_n = x_0 - (?_n)/2

x_0 - ?_n < x_0 - (?_n)/2 < x_0 + ?_n
|x_n - x_0| < ?_n

Чтв 27 Мар 2014 19:35:23
>>65134966
Там ошибка в 2) следствия не должно быть - вместо него конъюнкция. На самом деле, до этого тоже он забыл потребовать от x_n, чтобы |f(x_n)-L|>\epsilon.
Короче, правильное доказательство - Пучть нет сходимости по Коши. Отрицание сходимости по Коши \exists \epsilon , \forall \delta>0, \exists x, |x-x_0|<\delta && |f(x)-L|>\epsilon.
Возьмём такое \epsilon, и выберем для него для каждого из последовательности \delta_n=1/n по элементу x_n из отрицания сходимости по Коши. С другой стороны, так как \delta_n стремятся к 0, то, по определению, x_n стремится к x_0. Значит, по Гейне, f(x_n) \arrow L, то есть, \forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N, |f(x_n)-L|<\epsilon. Вчастности, в эту формулу можно подставить в каестве эпсилона наш, ранее выбранный, и получить противоречие с выбором x_n.

Чтв 27 Мар 2014 19:40:41
>>65136360
Не =>, а именно "и". Только у меня там опечатка, конечно же, |f(x_n)-L|>\epsilon.
Насчёт "выберем", как математическое доказательство, оно верное, но логика первого проядка настолько формальная вещь, что в ней доказательство этого куда сложнее.

Чтв 27 Мар 2014 20:20:01
>>65137936
Да, я неправ. Отрицание импликации - это коньюнкция.


>>65137560
>Там ошибка в 2) следствия не должно быть - вместо него конъюнкция. На самом деле, до этого тоже он забыл потребовать от x_n, чтобы |f(x_n)-L|>\epsilon.
>В частности, в эту формулу можно подставить в каестве эпсилона наш, ранее выбранный, и получить противоречие с выбором x_n.

То есть:
a = ? ? > 0 ?N > 0 ?n n > N => |f(x_n) - L| < ?
b = ? ? > 0 ? ? ?x 0 < |x-x_0|< ? /\ |f(x) - L| >= ?

формула a сформулирована на языке (?, N), формула b на языке (?, ?). Как перевести b на язык a и показать, что a = ¬b?

Чтв 27 Мар 2014 20:36:58
2/5

Чтв 27 Мар 2014 20:52:10
>>65140629
В одну сторону следствие (из бэ и а следует противоречие) я описал в >>65137560 ( если взять в а и бэ один и тот же эпсилон, и из бэ подобоать последовательность иксов)

Чтв 27 Мар 2014 21:19:48
>>65142696
>подобрать последовательность иксов

То есть:
Пусть N > 0 тогда исходя определим ?_n где n=N+1. Значит в силу b для ?_n существует x_n для которого верна коньюнкция, а значит верно |f(x_n) - L| < ?.
Следовательно исходя из b получили:
с = ? ? > 0 ? N > 0 ?n > N |f(x) - L| >= ?

Значит c = ¬a. Противоречие.

Вроде выпутался, спасибо.


← К списку тредов